Bài tập ôn tập Toán 12 Cánh diều Chương 2 có đáp án

Đáp án đúng: D

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD}$$= \overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)$$= \,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)$$= \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB}$.

Đáp án đúng: A

Vì $M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

Mặt khác $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$$= \frac{1}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)$.

Đáp án đúng: A

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} = \overrightarrow a + \overrightarrow c \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} = \overrightarrow b + \overrightarrow d \end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow c = \overrightarrow b + \overrightarrow d$.

Đáp án đúng: D

Vì $BB'C'C$ là hình bình hành nên $\Rightarrow \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'}$

$= - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$$= - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

Đáp án đúng: A

Do $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1$. Vậy $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$.

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\vec a.\overrightarrow b }}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Đáp án đúng: B

Ta có $\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u.\vec v = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0$.

$_{Suy ra}$$cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\vec a.\overrightarrow b }}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$.

Đáp án đúng: A

Ta có ${\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{9}{2}.$ Do đó: $\cos \;\alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{3}{8}$.

Đáp án đúng: B

${\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}$$= 9 + 90 + 25 = 124$$\Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124}$.

Đáp án đúng: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AD.\cos 60^\circ - AB.AC.\cos 60^\circ = 0$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng: C

Vì điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$ nên tọa độ điểm $M\left( {2;\,1;\,0} \right)$.

Đáp án đúng: C

Tọa độ hình chiếu của điểm $A\left( { - 2; - 1;3} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $\left( {0; - 1;3} \right)$.

Đáp án đúng: C

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {1;2;5} \right)$ lên trục $Ox$ có tọa độ là $\left( {1;0;0} \right)$.

Đáp án đúng: D

Ta có: $\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$; $\overrightarrow j = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$; $\overrightarrow k = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$ nên $\overrightarrow b = 2\overrightarrow i - 4\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2\,;\,0\,;\, - 4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow u = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 1\,;\,2\,;\,7} \right)$.

Đáp án đúng: B

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {\,1\,;\,2\,;\,2} \right)$; $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 4 = 1\\{y_D} - 1 = 2\\{z_D} + 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 3\\{y_D} = 3\\{z_D} = - 3\end{array} \right.$.

Đáp án đúng: C

Gọi $B\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng: B

Điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $B$ nên $B$ là trung điểm của đoạn $AA'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 4;3;1} \right)$.

Đáp án đúng: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 4;\,2} \right)$; $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;\,y + 1;\, - 4} \right)$.

Để ba điểm $A,\,B,\,M$thẳng hàng thì $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{ - 4}}{2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 7\end{array} \right.$.

Đáp án đúng: B

Điểm $M\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,{z_0}} \right)$ có điểm đối xứng qua trục $Oy$là điểm $M'\left( { - {x_0}\,;\,{y_0}\,;\, - {z_0}} \right)$.

Vậy điểm $M\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)$ có điểm đối xứng qua trục $Oy$ là điểm $M'\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,3} \right)$.

Đáp án đúng: B

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2.\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}.\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {3;6; - 3} \right)$.

Đáp án đúng: C

Vì $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm $MN$ nên ta có: $2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 0 + 0 + 2}}{4}\\y = \frac{{0 + 2 + 0 + 2}}{4}\\z = \frac{{0 + 0 + 2 + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.$. Vậy $I\left( {1;1;1} \right)$.

Đáp án đúng: A

Ta có: $3\overrightarrow a = \left( {9;12;6} \right)$; $2\overrightarrow b = \left( { - 10;0;6} \right)$; $- \overrightarrow c = \left( { - 1; - 2;4} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c$$= \left( { - 2;10;16} \right)$.

Đáp án đúng: D

Ta có: $I\left( {\frac{{2 - 1}}{2}\,;\,\frac{{1 + 2}}{2}\,;\,\frac{{1 + 1}}{2}} \right)$$\Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,1} \right)$.

Đáp án đúng: C

Đặt $M\left( {x\,;y\,;z} \right)$, khi đó: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x\,;2 - y\,;3 - z} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x\,; - 4 - y\,;9 - z} \right)$.

Ta có: $MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$. Vậy $OM = \sqrt {54}$.

Đáp án đúng: A

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8$.

Đáp án đúng: B

Ta có:$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {5; - 1; - 1} \right).$

Đáp án đúng: C

Ta có trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{a}{3}\\ - 2 = \frac{b}{3}\\3 = \frac{c}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 6\\c = 9\end{array} \right.$.

Khi đó: $a + b + c = 3 + \left( { - 6} \right) + 9 = 6$.

Đáp án đúng: B

Ta có ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 4}}{5}$.

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\, - 2\,;\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1\,;\, - 1\,;\,4} \right)$.

Khi đó $AM = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 3\sqrt 2$.

Đáp án đúng: B

Hai vectơ $\vec a$ và $\overrightarrow b$vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\vec a\,.\,\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

a) Đúng. Theo công thức vì $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

b) Đúng. Ta có:

$\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OG} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {DG} } \right)$$= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$.

c) Đúng.$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = - \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {BG}$.

d) Sai.$\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OG} = \overrightarrow {AO} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {AO} + \frac{1}{4}\left( {4\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$

$= \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Lấy các điểm $M,N,P,Q$lần lượt trên các tia $EA,EB,EC,ED$ sao cho

$\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {EP} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {EQ} = \overrightarrow {{F_4}} {\rm{. }}$

Do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}}$ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ nên $EM = EN = EP = EQ = 4700$.

a) Sai. Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EH}$, với $H$ là trung điểm của $MN$.

$\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EP} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EK}$, với $K$ là trung điểm của $PQ$ suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \ne \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EP} = 2\overrightarrow {EO}$, với $O$ là trung điểm của $MP$.

$\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EO} ,$ với $O$ là trung điểm của $MP$ suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}}$.

c) Đúng.$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = |2\overrightarrow {EO} | = 2EO$. Theo giả thiết, góc giữa $EA$với $\left( {ABCD} \right)$ bằng $60^\circ$ nên góc giữa $EM$với $\left( {MNPQ} \right)$ cũng bằng $60^\circ$ hay $\widehat {SMO} = 60^\circ$.

Xét $\Delta EMO$ có $EM = 4700,\widehat {\,SMO} = 60^\circ$ suy ra $EO = EM\sin 60^\circ = 2350\sqrt 3$.

d) Đúng. Từ đây ta tính được $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2EO = 8141\;{\rm{N}}$.

a) Đúng. Có điểm A trùng với gốc tọa độ ${\rm{O}},D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;{y_D};0} \right)$.

Mà $AD = 7$, suy ra ${y_D} = 7$ hay $D\left( {0;7;0} \right)$.

b) Đúng. Các điểm $C,D$ có tung độ bằng nhau và bằng 7.

c) Sai. Ta có tọa độ điểm $D'\left( {0;7;3{,}5} \right)$ và điểm $C'\left( {6;7;3{,}5} \right)$.

Suy ra vectơ $\overline {C'D'} \left( { - 6;0;0} \right)$.

d) Sai. Ta có điểm $A'\left( {0;0;3{,}5} \right)$ và điểm $C'\left( {6;7;3{,}5} \right)$.

Tọa độ trung điểm của $A'{\rm{C'}}$ là $\left( {\frac{{6 + 0}}{2};\frac{{7 + 0}}{2};\frac{{3{,}5 + 3{,}5}}{2}} \right) = \left( {3;3{,}5;3{,}5} \right)$.

Mà bóng đèn được treo cách trần nhà $0{,}5{\rm{\;m}}$.

Vậy bóng đèn nằm tại vị trí có toạ độ $\left( {3;3{,}5;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2$, $\overrightarrow {BC} = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5$.

a) Đúng.$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$ do đó $AB \bot AC$, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Sai. Chu vi của tam giác là $AB + AC + BC = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 5$.

c) Sai. Diện tích là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

d) Đúng. Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của $BC$ có tọa độ $I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)$.

a) Đúng. Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $\left( {2;1;0{,}5} \right)$.

b) Sai. Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $\left( { - 1; - 1{,}5;0{,}8} \right)$.

c) Sai. Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng$\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

d) Đúng. Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1{,}5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0{,}8 - 0{,}5} \right)}^2}} = \sqrt {15{,}34} \approx 3{,}92\left( {{\rm{km}}} \right)$.

a) Sai. Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác $OABC$ là hình chữ nhật, suy ra ${x_A} = {x_B} = 4,{y_C} = {y_B} =$ 5. Do $A$ nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ điểm $A$ là $\left( {4;0;0} \right)$.

b) Sai. Tường nhà là hình chữ nhật, suy ra ${y_H} = {y_C} = 5,{z_H} = {z_E} = 3$. Do $H$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên tọa độ điểm $H$ là $\left( {0;5;3} \right)$.

c) Sai. Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt phẳng lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$. Do mặt phẳng $\left( {Ozx} \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ nên góc $PFE$ là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.

Ta có $\overrightarrow {FP} = \left( { - 2;0;1} \right),\overrightarrow {FE} = \left( { - 4;0;0} \right)$.

Suy ra ${\rm{cos}}\widehat {PFE} = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} \left| \cdot \right|\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Do đó, $\widehat {PFE} \approx 26{,}6^\circ$. Vậy góc dốc của mái nhà khoảng $26{,}6^\circ$.

d) Sai. Chiều cao bằng cao độ của điểm $P$ suy ra $h = 4$.

a) Đúng. Dựa vào hình vẽ, máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Đúng. Dựa vào hệ tọa độ trong hình vẽ, ta thấy vị trí của máy bay tại thời điểm 9h30’ là $A\left( {150;300;9} \right)$.

c) Sai. Gọi $B\left( {150;1086;9} \right)$ là vị trí của máy bay tại thời điểm 10h30'.

Quãng đường máy bay đi được trong 1 giờ là khoảng cách từ A đến B.

Có $AB = \sqrt {{{(1086 - 300)}^2}} = 786$.

Vận tốc giá theo hướng Đông: $v = 10{\rm{\;m}}/{\rm{s}} = 36\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)$

Vận tốc của máy bay là $\frac{{786}}{1} - 36 = 750\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)$.

d) Sai. Từ lúc 10h30', vận tốc máy bay theo hướng Đông là ${v_T} = - 800{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$.

Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$ là vị trí của máy bay tại thời điểm 11h.

Có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = {x_B}}\\{y = {y_B} + {v_T}.t}\\{z = {z_B}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 150}\\{y = 1086 - 800.\frac{1}{2}}\\{z = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 150}\\{y = 686}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Suy ra $C\left( {150;686;9} \right)$.

Vậy máy bay cách gốc tọa độ khoảng 702 km.

a) Sai.$\overrightarrow {AB} = \left( {20;\,30;\,30} \right)$; $\overrightarrow {AD} = \left( {4;\,6;\,6} \right)$.

Ta có $\frac{{20}}{4} = \frac{{30}}{6} = \frac{{30}}{6}$.

Suy ra $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AD}$ cùng phương.

$\Rightarrow$ 3 điểm $A$, $B$, $D$ thẳng hàng.

Do đó flycam bay qua vị trí $D\left( {5;\,8;\,9} \right)$.

b) Sai.Flycam ở vị trí $A\left( {1;\,2;\,3} \right)$ và sau 10 phút nó ở vị trí $B\left( {21;\,32;\,33} \right)$.

$\Rightarrow$$\overrightarrow {AB} = 10\overrightarrow v$$\Leftrightarrow \overrightarrow v = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{10}} = \left( {2;\,3;\,3} \right)$.

c) Đúng. Độ lớn của vận tốc flycam là $\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {22}$(m/phút).

d) Đúng.Tại thời điểm $t = 0$, flycam ở vị trí $A$ và sau 15 phút flycam ở vị trí $C$.

Suy ra $\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow v$$\Leftrightarrow \left( {{x_C} - 1;\,{y_C} - 2;\,{z_C} - 3} \right) = 15\left( {2;\,3;\,3} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 31\\{y_C} = 47\\{z_C} = 48\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {31;\,47;\,48} \right)$.

a) Sai. Kẻ $TM \bot Oy$, $CN \bot Oy$.

Vì $T$ là hình chiếu của $Q$ lên $\left( {Oxy} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} = - OD = - \left( {AD - OA} \right) = - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.$.

${z_Q} = QT = 7$

Suy ra $Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)$.

b) Đúng. Vì $C \in \left( {Oxy} \right)$ nên ${z_C} = 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - OD = - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.$.Suy ra $C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)$.Vậy $\overrightarrow {OC} = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)$.

c) Đúng Gọi $L$ là trung điểm của $FG$.

Ta có: ${z_K} = OK = AE = 5$.

Suy ra $K\left( {0;\,0;\,5} \right)$.

$\Rightarrow OK = 5$.

$B$, $C$ lần lượt là hình chiếu của $F$, $G$ lên $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $F\left( {2;\,6;\,5} \right)$, $G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)$.

Mà $L$ là trung điểm của $FG$ nên $L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)$$\Rightarrow KL = 2\sqrt {10}$.

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ $O$ đến $K$sau đó nối thẳng đến camera là

$OK + KL = 5 + 2\sqrt {10}$ (m)

d) Sai.$FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}} = 8$ (m) .

$GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {13}$ (m).

Suy ra ${S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13}$$\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích lợp tôn mái nhà là $2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13}$$\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

$16\sqrt {13} \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000$ (đồng).

a) Sai.Tàu thám hiểm ở vị trí $A\left( {25; - 15; - 10} \right)$.

Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là $OA = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt {38} \approx 30{,}8\;{\rm{km}}$.

b) Đúng. Radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 $> 30$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là

$OB = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\;{\rm{km}} < 30\;{\rm{km}}$.

Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí $C\left( {15;y;0} \right)$.

Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là $OC = \sqrt {{{15}^2} + {y^2}}$.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì: $OC < 30 \Leftrightarrow {15^2} + {y^2} < {30^2} \Leftrightarrow - 15\sqrt 3 < y < 15\sqrt 3$.

Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt 3 \;{\rm{km}}{\rm{.}}$

Gán các lực $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SC} .$

Vì $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|$ và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng $60^\circ$ nên $S.ABC$ là hình chóp đều.

Gọi $M$ là trung điểm $BC,\,\,G$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).$

Ta có $\widehat {SBG} = 60^\circ \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.$

Đặt $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).$

Vì $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.$

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11{,}5\left( {\rm{N}} \right).$

Đáp án:11,5.

Đặt $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25$ N, $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25$ N, $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 4$ N.

Theo giả thiết ta có

${\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = {25^2} + {12^2} + {4^2} + 2.25.12\cos 100^\circ$

nên $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5{\rm{,}}1$ N.

Đáp án: 5,1.

${\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = {25^2} + {12^2} + {4^2} + 2.25.12\cos 100^\circ$

$\overrightarrow {OA} = \left( { - 16; - 10;10} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2\sqrt {114} \approx 21{,}35\,\,{\rm{(km)}}.$

Khinh khí cầu bay theo hướng của vectơ $\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)$, do đó vị trí của máy bay ở vị trí $M$ thì $\overrightarrow {OM} = t\overrightarrow v ,(0 \le t \le 10)$. Suy ra $M\left( {4t - 16;3t - 10; - t + 10} \right),(0 \le t \le 10),$$t\;$(giờ).