Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 6 có đáp án

Đồ thị có dạng $y = {a^x}$ với $a > 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;8} \right)$. Suy ra $a = 8$. Vậy $y = {8^x}$. Chọn A.

Đồ thị hàm số có dạng $y = {\log _a}x$ với $a > 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {5;1} \right)$ nên $a = 5$. Vậy $y = {\log _5}x$. Chọn A.

Điều kiện $2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$. Chọn D.

${2^{2x + 1}} - {4^x} < 16$$\Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^{2x}} < 16$$\Leftrightarrow {2^{2x}} < {2^4}$$\Leftrightarrow 2x < 4 \Leftrightarrow x < 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;2} \right)$. Chọn D.

Điều kiện: $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$.

${\log _{0{,}3}}\left( {3x - 2} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow 3x - 2 \le 1$$\Leftrightarrow 3x \le 3 \Leftrightarrow x \le 1$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {\frac{2}{3};1} \right]$. Chọn C.

Điều kiện: $x > 0$.

${\log _{\frac{1}{3}}}x = - 2$$\Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}} = 9$. Chọn C.

Điều kiện: $x > 0$.

$2{\log _2}\left( {2x} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}{x^2} < 5$$\Leftrightarrow 2 + 2{\log _2}x - {\log _2}x < 5$$\Leftrightarrow {\log _2}x < 3$$\Leftrightarrow x < 8$.

Kết hợp điều kiện ta có $0 < x < 8$ mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của bất phương trình. Chọn A.

Số tiền ông An nhận được sau $n$ năm là ${P_n} = 100{\left( {1 + 8{,}4\% } \right)^n}$.

Theo đề ta có $100{\left( {1 + 8{,}4\% } \right)^n} \ge 300$$\Leftrightarrow {\left( {1 + 8{,}4\% } \right)^n} \ge 3$$\Leftrightarrow n \ge {\log _{\left( {1 + 8{,}4\% } \right)}}3 \approx 14$.

Vậy sau ít nhất 14 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi ít nhất 300 triệu. Chọn A.

Điều kiện $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$.

${\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2$$\Leftrightarrow 3x - 2 = 4$$\Leftrightarrow x = 2$. Chọn A.

${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2x - 1}} < {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x + 3}}$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{1 - 2x}} < {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x + 3}}$$\Leftrightarrow 1 - 2x < x + 3$$\Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$.

Vì $x$ nguyên thuộc $\left[ { - 100;100} \right]$ nên $x \in \left\{ {0;1;2;...;100} \right\}$.

Do đó có 101 nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình. Chọn D.

Ta có ${3^x} < 2 \Leftrightarrow x < {\log _3}2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)$. Chọn A.

Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến nên $a > 1$.

Hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến nên $0 < b < 1$.

Do đó $0 < b < 1 < a$. Chọn D.

a) Điều kiện $x > 0$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

b) ${\log _3}x = 1$$\Leftrightarrow x = 3$.

c) ${\log _3}x < 2 \Leftrightarrow x < 9$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình $\left( {0;9} \right)$.

d) Ta có ${\log _3}x < 4 \Leftrightarrow x < {3^4} = 81$.

Mà $x > 0,x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {1;2;3;...;80} \right\}$.

Để $y \in \mathbb{Z}$ thì $x \in \left\{ {1;3;9;27} \right\}$.

Vậy có 4 điểm M có tọa nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Hàm số $y = {\log _{\frac{e}{2}}}x$ có cơ số $\frac{e}{2} > 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ có cơ số $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của hàm số đó.

c) Hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ có cơ số $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2$.

Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {2;\frac{1}{4}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $M = a\sqrt a$$M = a \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{2}}}$.

b) ${\log _a}{\left( {a\sqrt a } \right)^2}$$= {\log _a}{a^3} = 3$.

c) Ta có $M > 1$$\Leftrightarrow {a^{\frac{3}{2}}} > 1$$\Leftrightarrow a > 1$.

d) ${M^{{{\log }_a}4}} = {\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}4}} = {4^{\frac{3}{2}}} = 8$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

b) Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

c) Thay $x = 4$ vào hàm số ta được $y = {\log _2}4 = 2$.

Vậy đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đi qua điểm $\left( {4;2} \right)$.

d) $T = f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{2}{3}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right) + ... + f\left( {\frac{{63}}{{64}}} \right)$$= {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\frac{2}{3} + {\log _2}\frac{3}{4} + ... + {\log _2}\frac{{63}}{{64}}$

$= {\log _2}\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{{63}}{{64}}} \right)$$= {\log _2}\frac{1}{{64}} = - 6$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;0} \right)$.

Ta có đồ thị như sau

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng $y = - x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = {a^x}$ tại điểm $\left( {0;1} \right)$ có hoành độ không âm.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ nên $a = 3$. Vậy $y = {3^x}$.

c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

d)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y = \frac{1}{3}$ tại điểm có hoành độ âm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Điều kiện $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$.

b) ${\log _2}\left( {3 - x} \right) \ge 1$$\Leftrightarrow 3 - x \ge 2$$\Leftrightarrow x \le 1$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;1} \right]$.

c) Vì $x$ nguyên dương nên $x = 1$.

Vậy số giá trị nguyên dương thuộc tập nghiệm của bất phương trình là 1.

d) $x = 2$ không thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

$x = {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3;y = {\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4$.

a) $4{x^2} + 3{y^2} = 4 \cdot {3^2} + 3 \cdot {4^2} = 84$.

b) $7x \cdot 2y = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 168$.

c) $5x + 3y = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 27$.

d) $x = 3;y = 4$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) ${\log _2}10 = {\log _2}\left( {2 \cdot 5} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}5 = 1 + a$.

b) ${\log _2}\frac{1}{5} = {\log _2}{5^{ - 1}} = - {\log _2}5 = - a$.

c) ${4^a} = {4^{{{\log }_2}5}} = {2^{2{{\log }_2}5}} = {5^2} = 25$.

d) ${a^2} = {\left( {{{\log }_2}5} \right)^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\{x^2} + 4x > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 0$.

b) ${\log _3}\left( {2x + 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right)$$\Leftrightarrow 2x + 3 = {x^2} + 4x$$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Vì $x > 0$ nên $x = 1$.

Tổng bình phương các nghiệm là 1.

c) Phương trình có 1 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Điều kiện $2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{3}{2}$.

Tập xác định của hàm số $D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

b) $f\left( x \right) = 1$ $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1$$\Leftrightarrow 2x + 3 = 3$$\Leftrightarrow x = 0$.

c) Ta có $f\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) < 2$$\Leftrightarrow 2x + 3 < 9$$\Leftrightarrow x < 3$.

Kết hợp với điều kiện ta có $S = \left( { - \frac{3}{2};3} \right)$, mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.

Vậy có 4 giá trị nguyên của $x$ để $f\left( x \right) < 2$.

d) Vì hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)$ đồng biến trên $\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$ nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2$.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;3} \right]$ là 3.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $P = \frac{1}{2}{\log _a}b - 2{\log _b}{a^3}$$= \frac{1}{2}{\log _a}b - 6{\log _b}a = \frac{1}{2} \cdot 50 - \frac{6}{{50}} = \frac{{622}}{{25}} \approx 24{,}9$.

Trả lời: 24,9.

$P = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0{,}75}} - {25^{0{,}5}} = {3^2} + {3^{ - 3}} - 5 = 9 + \frac{1}{{27}} - 5 \approx 4{,}04$.

Trả lời: 4,04.

$P = {\log _{\frac{{{a^3}}}{b}}}x$$= \frac{1}{{{{\log }_x}\frac{{{a^3}}}{b}}}$$= \frac{1}{{{{\log }_x}{a^3} - {{\log }_x}b}}$$= \frac{1}{{3{{\log }_x}a - {{\log }_x}b}}$$= \frac{1}{{\frac{3}{{{{\log }_a}x}} - \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}}$$= \frac{1}{{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}}} = \frac{6}{7} \approx 0{,}86$.

Trả lời: 0,86.

Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là cường độ của trận động đất ở Michigan và ở California.

Trận động đất ở Michigan có cường độ là 6 độ Richter nên: ${M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 6 = \log A - \log {A_0}$.

Trận động đất ở California có biên độ là 2A, khi đó cường độ của trận động đất ở California là:

${M_2} = \log 2A - \log {A_0} = \log 2 + \log A - \log {A_0} = \log 2 + 6 \approx 6{,}3$ (độ Richter).

Trả lời: 6,3.

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}100 = C \cdot {e^{k \cdot 2}}\\300 = C \cdot {e^{k \cdot 4}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{{100}}{3}\\k = \frac{{\ln 3}}{2}\end{array} \right.$. Suy ra $y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2}t}}$.

Vậy sau $t = 5$, có khoảng $y = \frac{{100}}{3} \cdot {e^{\frac{{\ln 3}}{2} \cdot 5}} \approx 520$ (con).

Trả lời: 520.

${2^{2x + 1}} - {2^{x + 3}} - 2m = 0$$\Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - {2^3} \cdot {2^x} - 2m = 0$$\Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2x}} - 8 \cdot {2^x} - 2m = 0$.

Đặt $t = {2^x},t > 0$. Khi đó phương trình trở thành $2{t^2} - 8t - 2m = 0$ (*).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 + 4m > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\ - m > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow - 4 < m < 0$.

Suy ra $a = - 4;b = 0$. Do đó $a + b = - 4$.

Trả lời: −4.

${\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}}$$= \frac{{{{\log }_3}\left( {9 \cdot 5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2 \cdot 3} \right)}}$$= \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_3}2}}$$= \frac{{2 + \frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}}$$= \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{1 + \frac{1}{a}}}$$= \frac{{a\left( {2b + 1} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}$.

Suy ra $m = 1;n = 2;p = 1$. Do đó $m + n + p = 4$.

Trả lời: 4.

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x < 24\end{array} \right.$.

Đặt $f\left( x \right) = {\log _2}x$. Khi đó ${\log _2}y = f\left( y \right),{\log _2}\left( {24 - x} \right) = f\left( {24 - x} \right)$.

Do cơ số 2 > 1 nên hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra $f\left( y \right) \le f\left( {24 - x} \right) \Leftrightarrow y \le 24 - x$.

Theo giả thiết thì $y > 0,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \ge 1 \Rightarrow 24 - x \ge 1 \Rightarrow x \le 23$.

Kết hợp $x > 0,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;22;23} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Như vậy có $1 + 2 + 3 + ... + 22 + 23 = \frac{{23 \cdot 24}}{2} = 276$ cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trả lời: 276.

Ta có ${4^x} + {4^{ - x}} = 7$$\Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} = 7$$\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 7$$\Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7$$\Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3$.

Vậy $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4 \cdot {2^x} - 4 \cdot {2^{ - x}}}}$$= \frac{{5 + 3}}{{8 - 4 \cdot 3}} = - 2$.

Trả lời: −2.

Ta có ${\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1$$\Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6$ là hình tròn (C) tâm $I\left( {1; - 2} \right)$, bán kính $R = \sqrt 6$.

Ta lại có $P = 3x + 4y \Rightarrow 3x + 4y - P = 0$ là phương trình đường thẳng d.

Để tồn tại cặp số $x,y$ sao cho $P$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$ phải có điểm chung.

Khi đó $d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6$$\Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6$$\Leftrightarrow - 5\sqrt 6 \le P + 5 \le 5\sqrt 6$

$\Leftrightarrow - 5\sqrt 6 - 5 \le P \le 5\sqrt 6 - 5$.

Do đó ${P_{\max }} = 5\sqrt 6 - 5 \Rightarrow M = 6;m = - 5$.

Vậy $M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1$.

Trả lời: 1.

Ta có $f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right) + \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{1 - \left( {1 - x} \right)}}} \right)$$= \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2x}}{{1 - x}} + \frac{1}{2}{\log _2}\frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}$

$= \frac{1}{2}{\log _2}\left[ {\frac{{2x}}{{1 - x}} \cdot \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}} \right]$$= \frac{1}{2}{\log _2}4 = 1$.

Ta có $S = \left[ {f\left( {\frac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2024}}{{2025}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{2023}}{{2025}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{{1012}}{{2025}}} \right) + f\left( {\frac{{1013}}{{2025}}} \right)} \right] = 1012$.

a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên ${P_0} = 1000$.

Sau hai ngày, số lượng vi khuẩn là $P = 125\% \cdot 1000 = 1250$.

Ta có $P\left( 2 \right) = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow 1250 = 1000 \cdot {a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{4} \Rightarrow a \approx 1{,}12$.

b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là $P\left( 5 \right) = 1000 \cdot {\left( {1{,}12} \right)^5} \approx 1800$.

c) Với $P\left( t \right) = 2{P_0} \Leftrightarrow 2{P_0} = {P_0} \cdot {1{,}12^t} \Leftrightarrow {1{,}12^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{1{,}12}}2 \approx 6{,}1$ ngày.

Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng gấp đôi số lượng ban đầu.

Ta có $V\left( t \right) \le 300 \Leftrightarrow 780 \cdot {\left( {0{,}905} \right)^t} \le 300$$\Leftrightarrow {\left( {0{,}905} \right)^t} \le \frac{5}{{13}}$$\Leftrightarrow t \ge {\log _{0{,}905}}\frac{5}{{13}} \approx 9{,}6$ (do 0 < 0,905 < 1).

Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

a) ${4^{2x + 2}} = 8$$\Leftrightarrow {2^{4x + 4}} = {2^3}$$\Leftrightarrow 4x + 4 = 3$$\Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \frac{1}{4}$.

b) Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x > 1$.

${\log _2}\left( {3x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2$$\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 2$$\Leftrightarrow \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 4$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.$. Vì $x > 1$ nên $x = \frac{5}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{3}$.