Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 có đáp án

Lời giải

Số cách chọn một học sinh đi dự hội thảo khoa học là $280 + 325 = 605$. Chọn C.

Lời giải

Trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {a + b} \right)^4}$ có 5 số hạng. Chọn A.

Lời giải

${\left( {x - y} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}$. Chọn D.

Lời giải

Trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {2x - 3} \right)^{a + 1}}$ có 6 số hạng thì $a + 1 = 5 \Leftrightarrow a = 4$. Chọn D.

Lời giải

Số cách chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường là $C_{40}^3 = 9880$. Chọn C.

Lời giải

Số cách chọn hai quyển sách khác bộ môn là $C_5^1 \cdot C_3^1 + C_5^1 \cdot C_6^1 + C_3^1 \cdot C_6^1 = 63$cách. Chọn B.

Lời giải

Hệ số của ${x^4}$ trong khai triển của biểu thức ${\left( {2 + 3x} \right)^5}$ là $C_5^4 \cdot 2 \cdot {3^4} = 810$. Chọn B.

Lời giải

Ta có ${\left( {1 - 5x} \right)^4} = 1 + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 5x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 5x} \right)^3} + {\left( { - 5x} \right)^4}$$= 1 - 20x + 150{x^2} - 500{x^3} + 625{x^4}$.

Tổng các hệ số là $1 - 20 + 150 - 500 + 625 = 256$. Chọn C.

Lời giải

Ta có ${\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 + 5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}x} \right) + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + 10{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 5{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}$

$= 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}$.

Tổng 4 hệ số của 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của $x$ là $1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}$. Chọn B.

Lời giải

Ta có ${\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {\left( {xy} \right)^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{y}} \right)^k}$$= \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {x^{5 - k}} \cdot {y^{5 - 2k}}$.

Số hạng chứa ${x^3}y$ ứng với $k = 2$.

Vậy số hạng chứa ${x^3}y$ trong khai triển trên là $C_5^2 \cdot {x^3}y = 10{x^3}y$. Chọn D.

Lời giải

Hệ số của ${x^2}{y^2}$là $C_4^2 \cdot {2^2} = 24$. Chọn C.

Lời giải

Có 2024 số hạng trong khai triển nhị thức ${\left( {x + 1} \right)^{2023}}$. Chọn D.

Lời giải

Ta có ${\left( {71x + 1} \right)^4} = {\left( {71x} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {71x} \right)^3} + 6 \cdot {\left( {71x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {71x} \right) + 1$.

Vậy hệ số tự do là 1. Chọn D.

Lời giải

Ta có ${\left( {x + 2y} \right)^5} = {x^5} + 5 \cdot {x^4} \cdot \left( {2y} \right) + 10 \cdot {x^3} \cdot {\left( {2y} \right)^2} + 10 \cdot {x^2} \cdot {\left( {2y} \right)^3} + 5 \cdot x \cdot {\left( {2y} \right)^4} + {\left( {2y} \right)^5}$

$= {x^5} + 10 \cdot {x^4} \cdot y + 40 \cdot {x^3} \cdot {y^2} + 80 \cdot {x^2} \cdot {y^3} + 80 \cdot x \cdot {y^4} + 32{y^5}$. Chọn D.

Lời giải

Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển là $C_7^3 \cdot {3^4} = 2835$. Chọn D.

Lời giải

Có $10 + 8 = 18$ cách chọn. Chọn C.

Lời giải

Có $10 + 5 + 3 + 2 = 20$ cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Chọn D.

Lời giải

Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử tập hợp $A$ là $C_6^3$. Chọn A.

Lời giải

Nếu chữ số hàng chục là 1 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 8 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 2 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 7 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 4; 5; 6; 7; 8; 9. Có 6 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 4 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 5; 6; 7; 8; 9. Có 5 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 5 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 6; 7; 8; 9. Có 4 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 7; 8; 9. Có 3 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 7 thì chữ số hàng đơn vị có thể là 8; 9. Có 2 cách chọn.

Nếu chữ số hàng chục là 8 thì chữ số hàng đơn vị là 9. Có 1 cách chọn.

Vậy có $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$ số. Chọn D.

Lời giải

TH1: Chọn 1 nam 2 nữ có $C_4^1C_2^2 = 4$ cách.

TH2: Chọn 2 nam 1 nữ có $C_4^2C_2^1 = 12$ cách.

Vậy có $4 + 12 = 16$ cách. Chọn B.

Lời giải

Có $5! = 120$ số. Chọn B.

Lời giải

Chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử là $A_7^4 = 840$. Chọn C

Lời giải

Có ${\left( {2x - 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {\left( {2x} \right)^5} + C_5^1 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( { - 1} \right) + C_5^2 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5 \cdot {\left( { - 1} \right)^5}$

$= 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1$. Chọn C.

Lời giải

Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm.

Có 9 cách chọn chữ số hàng chục.

Có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy có $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn A.

Lời giải

Số cách sắp xếp 9 bạn học sinh thành một hàng ngang là ${P_9} = 9!$. Chọn B.

Lời giải

$C_n^k = C_n^{n - k}$. Chọn D.

Lời giải

Xét khai triển ${\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {x^5} + C_5^1 \cdot {x^4} + C_5^2 \cdot {x^3} + C_5^3 \cdot {x^2} + C_5^4 \cdot x + C_5^5$.

Với $x = 1$ thì ${\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5$

Suy ra $T = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}$. Chọn A.

Lời giải

Có $A_5^2$ vectơ lập được. Chọn D.

Lời giải

Số cách hoàn thành công việc là $abc$. Chọn B.

Lời giải

Số cách chọn 3 bông hoa có đủ ba màu là $5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$. Chọn C.

Lời giải

a) Gọi số cần lập có dạng $\overline {abcde}$.

Số cần lập là số lẻ nên $e \in \left\{ {3;5;7} \right\}$nên có 3 cách chọn $e$.

Có 6 cách chọn $a$. Có 5 cách chọn $b$. Có 4 cách chọn $c$. Có 3 cách chọn chọn $d$.

Vậy có $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1080$ số lẻ có 5 chữ số khác nhau.

b) TH1: Số có 1 chữ số. Có 9 số.

TH2: Số có 2 chữ số. Có $7 \cdot 7 = 49$.

Suy ra $9 + 49 = 58$ số nhỏ hơn 100.

c) Từ tập trên lập được $A_7^4 = 840$ số có 4 chữ số khác nhau.

Từ tập trên lập được $A_6^4 = 360$ số có 4 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5.

Suy ra từ tập trên lập được $840 - 360 = 480$ số có 4 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5.

d) Từ tập trên lập được $7! = 5040$ số có 7 chữ số khác nhau.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Ta có ${\left( {3x - 2} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3x} \right)^4} \cdot \left( { - 2} \right) + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^4} + {\left( { - 2} \right)^5}$

$= 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 180{x^2} + 240x - 32$.

a) Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển Newton của nhị thức trên là $243{x^5}$.

b) Hệ số của số hạng chứa ${x^2}$ trong khai triển Newton của nhị thức trên là $- 180$.

c) Số hạng không chứa $x$ trong khai triển Newton của nhị thức trên là $- 32$.

d) Tổng các hệ số trong khai triển Newton của nhị thức bằng $243 - 810 + 1080 - 180 + 240 - 32 = 541$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4{x^1} + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

a) Hệ số của ${x^4}$ là 5.

b) Số hạng không chứa $x$ là 1.

c) Thay $x = 1$ vào khai triển trên ta được

${\left( {1 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot {1^1} + C_5^5$$\Leftrightarrow C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}$.

d) Thay $x = 2$ vào khai triển trên ta được

${\left( {2 + 1} \right)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot {2^1} + C_5^5$$\Leftrightarrow 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}$

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải

a) ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4 \cdot {x^3} \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot {x^2} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}$

$= {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}$.

a) Hệ số của ${x^2}$ là $4$.

b) Số hạng không chứa $x$ là 6.

c) Hệ số của ${x^4}$ là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

a) Số cách chọn cốc kem có đúng 2 vị là $C_5^2$.

b) Số cách chọn cốc kem có đủ 2 vị là $C_5^2$.

c) TH1: Chọn được 3 vị có $C_5^3$ cách.

TH2: Chọn được 4 vị có $C_5^4$ cách.

TH3: Chọn được 5 vị có $C_5^5$ cách.

Vậy cách chọn cốc kem có ít nhất 3 vị là: $C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$.

d) Số cách chọn cốc kem có đúng 1 vị sôcôla là 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

a) Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là $C_7^2 \cdot C_9^2$.

b) Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Linh và Hà $C_{14}^3 = 364$ cách.

c) Số cách chọn 4 học sinh sao cho không có hai bạn Linh và Hà là $C_{14}^4 = 1001$.

Suy ra số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Linh và Hà là

$C_{16}^4 - 1001 = 819$ cách.

d) Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là $C_7^1 \cdot C_9^4 + C_7^2 \cdot C_9^3 + C_7^3 \cdot C_9^2 + C_7^4 \cdot C_9^1 = 4221$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải

Ta có ${\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \frac{7}{x} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( {\frac{7}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{7}{x}} \right)^5}$

$= 32{x^5} + 560{x^3} + 3920x + \frac{{13720}}{x} + \frac{{24010}}{{{x^3}}} + \frac{{16807}}{{{x^5}}}$.

a) Có 6 số hạng trong khai triển của biểu thức trên.

b) Hệ số của hạng tử chứa $x$ trong khai triển của biểu thức trên là $3920$.

c) Hệ số của hạng tử không chứa $x$ trong khai triển của biểu thức trên là $0$.

d) ${a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 16807 + 24010 + 13720 + 3920 + 560 + 32 = 59049$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải

a) Số cách xếp các học sinh đó vào một dãy ghế hàng ngang là $9!$.

b) Coi 3 nam sinh là 1 nhóm. Khi đó số cách xếp nhóm 3 nam sinh và 6 nữ sinh là $7!$ cách.

Số cách xếp 3 nam sinh trong 1 nhóm là $3!$ cách.

Vậy có $7! \cdot 3! = 30240$ cách.

c) Số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có đúng 2 học sinh nữ là $C_3^1 \cdot C_6^2 = 45$ cách.

d) Số cách chọn 2 học sinh gồm cả nam và nữ là $3 \cdot 6 = 18$ cách.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

a) Có $C_5^2 = 10$ cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp.

b) Có $C_5^4 \cdot C_4^3 = 20$ cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp.

c) Có $C_5^3 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 = 900$ cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.

d) Có $C_5^1 \cdot C_6^1 \cdot C_4^2 + C_5^1 \cdot C_6^2 \cdot C_4^1 + C_5^2 \cdot C_6^1 \cdot C_4^1 = 720$ cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

a) Có ${6^3} = 216$ số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập $A$.

b) Có $6!$ số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ tập $A$.

c) Gọi số cần lập có dạng $\overline {abc}$.

Số cần lập là số lẻ nên $c \in \left\{ {1;3;5} \right\}$ nên có 3 cách chọn $c$.

Có 6 cách chọn $a$. Có 6 cách chọn $b$.

Suy ra có $6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$ số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số được tạo thành từ tập $A$.

d) Gọi số cần lập có dạng $\overline {abcd}$.

Số cần lập là số chẵn nên $d \in \left\{ {2;4;6} \right\}$ nên có 3 cách chọn $d$.

Có 5 cách chọn $a$. Có 4 cách chọn $b$. Có 3 cách chọn $c$.

Suy ra có $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 180$số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập $A$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Số cách chọn món ăn là 6 cách.

Số cách chọn đồ uống là 5 cách.

Số cách anh Minh chọn thực đơn là $6 \cdot 5 = 30$ cách.

Trả lời: 30.

Lời giải

Số mật khẩu người đó lập được là $A_{10}^3 = 720$ cách.

Trả lời: 720.

Lời giải

TH1: Lấy được 3 quả cầu xanh và 2 quả cầu đỏ có $C_{12}^3 \cdot C_{10}^2 = 9900$ cách.

TH2: Lấy được 4 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có $C_{12}^4 \cdot C_{10}^1 = 4950$ cách.

TH3: Lấy được 5 quả cầu xanh có $C_{12}^5 = 792$ cách.

Suy ra có $9900 + 4950 + 792 = 15642$ cách.

Suy ra $a = 6;b = 4;c = 2$. Vậy $a + b + c = 12$.

Trả lời: 12.

Lời giải

Số cách chọn ra 3 học sinh từ 25 học sinh là $C_{25}^3 = 2300$ cách.

Số cách chọn ra 3 học sinh đều là nữ là $C_{12}^3 = 220$ cách.

Do đó số cách chọn ra 3 học sinh sao cho có nhiều nhất 2 học sinh nữ là:

$2300 - 220 = 2080$cách.

Trả lời: 2080.

Lời giải

Thay $x = 1$ ta có ${\left( {3 - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$$\Leftrightarrow {2^n} = {2^4} \Rightarrow n = 4$.

Ta có ${a_3}$ là hệ số của ${x^3}$. Vậy ${a_3} = - C_4^1 \cdot {3^3} = - 108$.

Trả lời: −108.

Lời giải

Có $C_{11}^3 = 165$ cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp.

Trả lời: 165.

Lời giải

Có $A_{20}^3 = 6840$ cách chọn ra ba học sinh để giao ba nhiệm vụ khác nhau, mỗi học sinh thực hiện một nhiệm vụ.

Trả lời: 6840.

Lời giải

Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển ${\left( {x + 2} \right)^5}$ là $C_5^2 \cdot {2^2} = 40$.

Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển ${\left( {x + 3} \right)^4}$ là $C_4^1 \cdot 3 = 12$.

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển của ${\left( {x + 2} \right)^5} + {\left( {x + 3} \right)^4}$ là $40 + 12 = 52$.

Trả lời: 52.

Lời giải

Ta có ${\left( {\frac{2}{x} - {x^3}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^{4 - k}} \cdot {\left( { - {x^3}} \right)^k}$$= \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} \cdot {2^{4 - k}} \cdot {\left( { - 1} \right)^k} \cdot {x^{4k - 4}}$.

Số hạng không chứa $x$ thì $4k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 1$.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_4^1 \cdot {2^3} \cdot \left( { - 1} \right) = - 32$.

Trả lời: −32.

Lời giải

Với $n \ge 2,n \in \mathbb{N}$, ta có $C_n^2 - n = 20$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 20$$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 40 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 5\end{array} \right. \Rightarrow n = 8$.

Trả lời: 8.

Lời giải

Ta có $A_n^2 - 2n = 10$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n = 10$$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 10$$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 5$.

Với $n = 5$, ta có khai triển

${\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^5} = {\left( {3{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{2}{x}} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^2}} \right) \cdot {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^4} + {\left( { - \frac{2}{x}} \right)^5}$

$= 243{x^{10}} - 810{x^7} + 1080{x^4} - 720x + \frac{{240}}{{{x^2}}} - \frac{{32}}{{{x^5}}}$.

Vậy số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là $1080{x^4}$.

Lời giải

a) TH1: Lấy ra 4 bi xanh. Có 1 cách.

TH2: Lấy ra 4 bi đỏ. Có $C_5^4 = 5$ cách.

TH3: Lấy ra 4 bi trắng. Có $C_7^4 = 35$ cách.

Vậy có $1 + 5 + 35 = 41$ cách lấy ra 4 bi cùng màu.

b) TH1: Lấy 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi trắng có $C_4^2 \cdot C_5^1 \cdot C_7^1 = 210$ cách.

TH2: Lấy 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi trắng có $C_4^1 \cdot C_5^2 \cdot C_7^1 = 280$ cách.

TH3: Lấy 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi trắng có $C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_7^2 = 420$ cách.

Vậy có $210 + 280 + 420 = 910$ cách lấy ra 4 bi có đủ 3 màu.

Lời giải

$S = {2024^4} - 8088 \cdot {2024^3} + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 8096 \cdot {2022^3} + {2022^4}$

$= {2024^4} - 4 \cdot {2024^3} \cdot 2022 + 6 \cdot {\left( {2024 \cdot 2022} \right)^2} - 4 \cdot 2024 \cdot {2022^3} + {2022^4}$

$= {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16$.

Lời giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số cần lập là $\overline {abcd}$.

Số cần lập là số lẻ nên $d \in \left\{ {1;3;5} \right\}$ nên có 3 cách chọn $d$.

Có 5 cách chọn $a$. Có 5 cách chọn $b$. Có 4 cách chọn $c$.

Do đó có $5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300$ số thỏa mãn.

Lời giải

Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự bất kì là ${36^7}$.

Số cách chọn mật khẩu có 7 kí tự không có chữ số nào là ${26^7}$.

Suy ra số cách lập mật khẩu là ${36^7} - {26^7}$.