Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án

Thay tọa độ điểm $\left( {3;0} \right)$ vào bất phương trình ta được $3\left( {3 - 1} \right) + 2 \cdot 0 = 6 < 5$ (vô lí).

Vậy điểm $\left( {3;0} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn B.

Thay tọa độ điểm $\left( {2;0} \right)$ vào bất phương trình ta được $2 \cdot 2 - 0 - 2 \ge 0$ (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x - y - 2 \ge 0$ là nửa mặt phẳng I kể cả bờ $d$. Chọn B.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$ và $\left( { - \frac{2}{3};0} \right)$ có phương trình là $- 3x + 2y = 2$.

Điểm $\left( { - 1;1} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là $- 3x + 2y \ge 2$. Chọn C.

Thay điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình ta được: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \ge 0$ (luôn đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng $3x - 2y + 1 = 0$ (bao gồm đường thẳng). Chọn B.

Thay tọa độ điểm $\left( {0; - 2} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 - 5 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 > 0\\2 \cdot 0 + \left( { - 2} \right) + 5 > 0\\0 + \left( { - 2} \right) + 1 < 0\end{array} \right.$(đúng).

Vậy điểm $\left( {0; - 2} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn D.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 < 5\\0 - 2 \cdot 0 < 9\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn D.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {3;0} \right)$ và $\left( {0;\frac{3}{2}} \right)$ có phương trình là $x + 2y = 3$.

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm nên thay điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào biểu thức ta được $0 + 2 \cdot 0 < 3$.

Vậy phần không tô màu là miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y < 3$. Chọn D.

Biểu thức $F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm

$O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {2;4} \right),D\left( {0;4} \right)$.

Ta có $F\left( {0;0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$;

$F\left( {1;0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5$;

$F\left( {4;3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26$;

$F\left( {2;4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18$;

$F\left( {0;4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $F$ là 26. Chọn B.

Biểu thức $F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 4 điểm $A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {3;2} \right),D\left( {1;1} \right)$.

Ta có $F\left( {0;2} \right) = 15 \cdot 0 + 30 \cdot 2 = 60$;

$F\left( {2;3} \right) = 15 \cdot 2 + 30 \cdot 3 = 120$;

$F\left( {3;2} \right) = 15 \cdot 3 + 30 \cdot 2 = 105$;

$F\left( {1;1} \right) = 15 \cdot 1 + 30 \cdot 1 = 45$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = 15x + 30y$ là 45. Chọn D.

Số tiền ông An phải trả khi đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là $900 \cdot 5 + 8 \cdot x$ (nghìn đồng).

Số tiền ông An phải trả khi đi trong hai ngày cuối tuần là $1500 \cdot 2 + 10 \cdot y$ (nghìn đồng).

Theo đề ta có: $900 \cdot 5 + 8x + 1500 \cdot 2 + 10y \le 14000$$\Leftrightarrow 4x + 5y \le 3250$. Chọn B.

Gọi $x,y\left( {x,y > 0} \right)$ lần lượt là số phút gọi nội mạng và ngoại mạng.

Theo đề ta có $1000x + 1500y < 200000$$\Leftrightarrow 2x + 3y < 400$.

Thay $x = 100;y = 50$ vào bất phương trình ta được $2 \cdot 100 + 3 \cdot 50 < 400$ (đúng).

Vậy có thể sử dụng 100 phút gọi nội mạng và 50 phút gọi ngoại mạng. Chọn A.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $ABC$ (kể các các cạnh) (phần tô màu) như hình vẽ.

Biểu thức $F = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm $A\left( { - 2;6} \right),B\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

Khi đó $F\left( { - 2;6} \right) = 6 + 2 = 8$; $F\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{7}{3} + \frac{1}{3} = - 2$; $F\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = - 2$.

Vậy giá trị lớn nhất là $F = 8$ khi $x = - 2;y = 6$. Chọn C.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $OAB$ kể cả các cạnh (phần tô màu).

Biểu thức $F\left( {x;y} \right) = x + 2y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {2;0} \right)$.

Ta có $F\left( {0;0} \right) = 0 + 2 \cdot 0 = 0$; $F\left( {0;3} \right) = 0 + 2 \cdot 3 = 6$; $F\left( {2;0} \right) = 2 + 2 \cdot 0 = 2$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $F$ là 6. Chọn A.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác (phần tô màu) như hình vẽ. Chọn C.

Từ hình vẽ ta thấy điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Thay tọa độ điểm $\left( {0;1} \right)$ vào hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}0 - 2 \cdot 1 \le 0\\0 + 3 \cdot 1 \ge - 2\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Do đó phần không tô màu kể cả biên là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.$. Chọn D.

Vẽ đường thẳng $x + y = 2$trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình ta được $0 + 0 \ge 2$ (vô lí).

Vậy điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ bờ là đường thẳng $x + y = 2$ (bao gồm đường thẳng $x + y = 2$). Chọn B.

Từ hình vẽ, ta có điểm $\left( {2;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

Thay $\left( {2;0} \right)$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 > 0\\2 \cdot 2 - 0 > 1\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy phần không tô màu (không chứa biên) biểu diện tập nghiệm của bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.$. Chọn B.

Thay tọa độ điểm $\left( {2;2} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 - 3 < 0\\2 \cdot 2 - 2 + 5 \ge 0\end{array} \right.$ (vô lí).

Do đó điểm $\left( {2;2} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn B.

a) Tổng số tiền loại 20 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là $20x$ nghìn đồng.

b) Tổng số tiền loại 10 nghìn đồng mà bạn Nam đã ủng hộ là $10y$ nghìn đồng.

c) Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là $20x + 10y$ nghìn đồng.

d) Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là $20x + 10y \le 450$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Điều kiện $x \ge 0;y \ge 0$.

b) Tổng diện tích cho $x$ là số xe du lịch và $y$ là số xe tải là $3x + 5y$ (m$^{2}$).

Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 5y \le 150\\x + y \le 40\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)$.

c) Tổng doanh thu của bãi xe trong 1 đêm là $F\left( {x,y} \right) = 40x + 50y$.

d) Doanh thu của bãi xe đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 4 điểm $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {25;15} \right),C\left( {40;0} \right)$.

Khi đó $F\left( {0{,}0} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0$; $F\left( {0;30} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 30 = 1500$;

$F\left( {25{,}15} \right) = 40 \cdot 25 + 50 \cdot 15 = 1750$; $F\left( {40;0} \right) = 40 \cdot 40 + 50 \cdot 0 = 1600$.

Vậy để có doanh thu cao nhất, chủ bãi xe cho đăng kí 25 chiếc xe du lịch và 15 chiếc xe tải một đêm.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Miền nghiệm của bất phương trình (*) chứa đường thẳng $\Delta :3x + 2y = 6$.

b) Bất phương trình $\left( * \right)$ có vố số nghiệm.

c) Thay tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình ta được $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \ge 6$ (vô lí).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O bờ là đường thẳng $\Delta :3x + 2y = 6$ (kể cả đường thẳng $\Delta :3x + 2y = 6$) (phần không tô màu).

d) Cặp số $\left( {0;0} \right)$ không là một nghiệm của bất phương trình (*).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Hệ bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay cặp số $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 2 \cdot 1 + 3 \le 2\\ - 1 + 2 \cdot 3 \ge 4\\1 + 3 \le 5\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy cặp số $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm D của hệ là miền tam giác $ABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)$

d) Biểu thức $F\left( {x,y} \right) = - x + y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong 3 điểm $A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {1;4} \right)$.

Khi đó $F\left( {0{,}2} \right) = 0 + 2 = 2$; $F\left( {2{,}3} \right) = - 2 + 3 = 1$; $F\left( {1{,}4} \right) = - 1 + 4 = 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x,y} \right) = - x + y$ trên miền D xác định bởi hệ trên bằng 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Thay $\left( {x;y} \right) = \left( {m;1} \right)$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le 3\\m - 1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 1\end{array} \right.$$\Rightarrow m = 1$.

Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$.

b) Thay $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 2 \le 3\\1 - 2 \ge 0\\2 \ge 0\end{array} \right.$ (vô lí).

Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là một miền tam giác $ABC$ (phần tô màu) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$.

d) Biểu thức $F = 2x + 3y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong ba điểm $O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$.

Khi đó $F\left( {0{,}0} \right) = 0;F\left( {1;1} \right) = 5;F\left( {\frac{3}{2};0} \right) = 3$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 2x + 3y$ là 5.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ là $1{,}5x + 1{,}2y \le 10$.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$vào bất phương trình ta được $1{,}5 \cdot 0 + 1{,}2 \cdot 0 \le 10$ (đúng)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $1{,}5x + 1{,}2y \le 10$ là nửa là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d:1{,}5x + 1{,}2y = 10$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay điểm $\left( {0;0} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6 \le 0\\0 \ge 0\\2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \le 0\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy $\left( {0;0} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) Thay điểm $\left( {1; - 1} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 \le 0\end{array} \right.$ (vô lí).

Vậy $\left( {1; - 1} \right)$không là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $ABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)$.

Biểu thức $L = y - x$ đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm $A\left( {0;2} \right),B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)$.

Ta có $L\left( {0{,}2} \right) = 2 - 0 = 2$; $L\left( {\frac{7}{4},\frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}$; $L\left( {0, - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3} - 0 = - \frac{1}{3}$.

Vậy $a = 2;b = - \frac{{11}}{{12}}$. Suy ra $a + b = \frac{{13}}{{12}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Theo đề ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 240\\y \ge 40\\x \ge 3y\end{array} \right.$.

b) Miền nghiệm của bất phương trình là miền tam giác $ABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình.

c) Thay tọa độ điểm $C\left( {200;40} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}200 + 40 \le 240\\40 \ge 40\\200 \ge 3 \cdot 40\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy điểm $C\left( {200;40} \right)$thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.

d) Dựa vào miền nghiệm của hệ bất phương trình câu b, ta có điểm $B\left( {180;60} \right)$ là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là $15000x$ đồng, số tiền An có thể mua xoài là $30000y$ đồng ($x,y > 0$).

b) Theo đề có $15000x + 30000y \le 200000$$\Leftrightarrow 3x + 6y \le 40$.

c) Thay $\left( {5;4} \right)$ vào bất phương trình ta được $3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 \le 40$ (đúng).

Vậy cặp số $\left( {5;4} \right)$thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$.

d) Thay $x = 4;y = 5$ vào bất phương trình ta được $3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \le 40$ (vô lí).

Vậy An không thể mua $4$kg cam, 5 kg xoài trong tuần.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay tọa độ điểm $\left( {1;3} \right)$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 1 + 3 \le 6\\1 + 3 \le 4\\1 \ge 0{,}3 \ge 0\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy điểm $\left( {1;3} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2;0} \right)$.

d) ${S_{OABC}} = {S_{AHB}} + {S_{OHBK}} + {S_{BKC}}$$= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Số tiền lãi khi bán $x$ ly trà sữa là $7x$ nghìn đồng;

Số tiền lãi khi bán $y$ cái bánh ngoạt là $5y$ nghìn đồng.

Theo đề ta có $7x + 5y \ge 350$.

Suy ra $b = 5;c = 350$. Khi đó $S = 3b + 4c = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 350 = 1415$.

Theo đề ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.$(I).

Lợi nhuận thu được là $F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;50} \right),B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right)$.

Khi đó $F\left( {0{,}0} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0$; $F\left( {0{,}50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500$;

$F\left( {20{,}40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 2000$; $F\left( {40{,}0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600$.

Lợi nhuận lớn nhất là 2000 nghìn đồng khi sản xuất 20 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II.

Suy ra $x = 20;y = 40$. Do đó $x + y = 60$.

Biểu thức $F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong 5 điểm

$O\left( {0;0} \right),A\left( {4;3} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {0;4} \right),E\left( {1;0} \right)$.

Khi đó $F\left( {0{,}0} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$; $F\left( {4{,}3} \right) = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26$; $F\left( {2{,}4} \right) = 5 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 18$;

$F\left( {0{,}4} \right) = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8$; $F\left( {1{,}0} \right) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5$.

Giá trị lớn nhất của biểu thức $F\left( {x,y} \right) = 5x + 2y$ là 26.

Theo đề ta có $277x + 18y \ge 1000$.

Suy ra $b = 277;a = 1000$. Do đó $T = \frac{a}{2} - b = \frac{{1000}}{2} - 277 = 223$.

Vì $x = 3;y = 2$ là nghiệm của bất phương trình nên $2 \cdot 3 + \left( {m - 1} \right) \cdot 2 \le 24$$\Leftrightarrow m \le 10$.

Mà $m$ nguyên và $m \in \left[ {0;20} \right]$ nên $m \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}$.

Vậy số 11 số nguyên $m$ thỏa mãn.

Gọi $x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$ lần lượt là số quyển vở và bút bi An mua.

Theo đề ta có $7000x + 5000y \le 100000$$\Leftrightarrow 7x + 5y \le 100$.

Mà An đã mua 10 quyển vở nên $x = 10$.

Khi đó $7 \cdot 10 + 5y \le 100$$\Leftrightarrow y \le 6$.

Vậy An có thể mua tối đa 6 chiếc bút bi.

Gọi $x,y\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ lần lượt là số vở và bút bạn Hoa có thể mua.

Theo bài ta có $6x + 8y \le 30$.

Ta lấy gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ thay vào bất phương trình ta được $6 \cdot 0 + 8 \cdot 0 \le 30$(đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d:6x + 8y = 30$ chứa gốc tọa độ, (kể cả đường thẳng $d$) (miền tô màu).

Vì $x,y \ge 1$ nên các cặp $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;1} \right)$.

Vậy bạn Hoa có thể mua được nhiều nhất 3 chiếc bút sao cho có cả hai loại.

Theo đề ta có $26x + 20y \ge 46$.

Suy ra $a = 26;b = 20$. Do đó $S = a - b = 26 - 20 = 6$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $ABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với $A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)$.

Biểu thức $T = 3x - 2y - 4$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm $A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)$.

Ta có $T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 17$; $T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 3$;

$T\left( {5{,}4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là $- 17$ khi $x = - 5;y = - 1$.

Suy ra $x_0^2 + y_0^2 = 26$.

Ta có $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0$$\Leftrightarrow 3x + 2y - 6 \le 0$.

Vẽ đường thẳng $3x + 2y - 6 = 0$ trên hệ trục tọa độ.

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $3x + 2y - 6 = 0$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ (kể cả đường thẳng $3x + 2y - 6 = 0$) (phần không tô màu).

Vì $x,y$ là các số nguyên dương nên có 3 điểm $\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right)$.

Vậy có 3 điểm thỏa mãn.

Gọi $x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$ lần lượt là số bao thức ăn loại X, Y gia đình cần mua.

Số đơn vị chất dinh dưỡng A trong hỗn hợp thức ăn trên là $2x + y \ge 12$.

Số đơn vị chất dinh dưỡng B trong hỗn hợp thức ăn trên là $4x + 3y \ge 32$.

Số đơn vị chất dinh dưỡng C trong hỗn hợp thức ăn trên là $4x + 5y \ge 40$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \ge 12\\4x + 3y \ge 32\\4x + 5y \ge 40\end{array} \right.$.

Chi phí cần mua hai loại thức ăn trên là $F\left( {x,y} \right) = 700x + 600y$ (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $F\left( {x,y} \right)$ khi $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền có các đỉnh $A\left( {0;12} \right),B\left( {2;8} \right),C\left( {5;4} \right),D\left( {10;0} \right)$.

Khi đó $F\left( {0;12} \right) = 7200$ nghìn đồng;

$F\left( {2;8} \right) = 6200$ nghìn đồng;

$F\left( {5;4} \right) = 5900$ nghìn đồng;

$F\left( {10;0} \right) = 7000$ nghìn đồng.

Vậy gia đình cần mua 5 bao thức ăn loại X và 4 bao thức ăn loại Y để chi phí mua thức ăn nhỏ nhất.

a) Thời gian lắp ráp tối đa mỗi ngày là $3 \cdot 8 = 24$ giờ.

Thời gian hoàn thiện tối đa mỗi ngày là $4 \cdot 8 = 32$ giờ.

Thời gian lắp ráp cần để sản xuất $x$ chiếc bàn và $y$ chiếc ghế là $1{,}5x + y$ (giờ).

Thời gian hoàn thiện cần để sản xuất $x$ chiếc bàn và $y$ chiếc ghế là $x + 2y$(giờ).

Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\1{,}5x + y \le 24\\x + 2y \le 32\\y \le 3{,}5x\end{array} \right.$ (I).

b) Tiền lãi mà xưởng thu được là $F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y$ nghìn đồng.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh (phần tô màu) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {4;14} \right),B\left( {8;12} \right),C\left( {16;0} \right)$.

Ta có $F\left( {0{,}0} \right) = 600 \cdot x + 450 \cdot 0 = 0$; $F\left( {4{,}14} \right) = 600 \cdot 4 + 450 \cdot 14 = 8700$;

$F\left( {8{,}12} \right) = 600 \cdot 8 + 450 \cdot 12 = 10200$; $F\left( {16{,}0} \right) = 600 \cdot 16 + 450 \cdot 0 = 9600$.

Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất là 10200 nghìn đồng khi $x = 8;y = 12$.

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được lãi cao nhất.

+) Vẽ đường thẳng $x - 3y = - 3$ trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình $x - 3y \ge - 3$ ta được $0 - 3 \cdot 0 \ge - 3$ (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $x - 3y \ge - 3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 0) bờ là đường thẳng $x - 3y = - 3$ (kể cả đường thẳng $x - 3y = - 3$).

+) Vẽ đường thẳng $2x + y \le 4$ trên mặt phẳng tọa độ.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào bất phương trình $2x + y \le 4$ ta được $2 \cdot 0 + 0 \le 4$ (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ bờ là đường thẳng $2x + y = 4$(kể cả đường thẳng $2x + y = 4$).

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tô màu như hình vẽ.

a) Cặp số $\left( {30;50} \right)$ là nghiệm của bất phương trình trên vì $30 + 8 \cdot 50 - 200 \ge 0$ (đúng).

b) Cặp số $\left( {0;0} \right)$không là nghiệm của bất phương trình trên vì $0 + 8 \cdot 0 - 200 \ge 0$ (vô lí).

c) Vẽ đường thẳng $x + 8y - 200 = 0$.

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $\left( {0;0} \right)$ bờ là đường thẳng $x + 8y - 200 = 0$ (kể cả đường thẳng $x + 8y - 200 = 0$) (phần tô màu).

Vì $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.$ là nghiệm của bất phương trình nên ta có $m \cdot \frac{1}{2} - \left( {1 + 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 8$.

Vì $m$ là giá trị nhỏ nhất nên $m = - 8$.