Bài tập ôn tập Toán 10 Cánh diều Chương 3 có đáp án

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x \ne 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 3\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. Chọn C.

Ta có $f\left( 1 \right) = - {1^2} + 3 \cdot 1 - 4 = - 2$; $f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 8$;

$y = f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} + 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 14$; $f\left( 2 \right) = - {2^2} + 3 \cdot 2 - 4 = - 2$. Chọn C.

Thay tọa độ điểm $M\left( { - 3;19} \right)$ vào phương trình ta được $19 = {\left( { - 3} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 4$ (đúng).

Vậy điểm $M\left( { - 3;19} \right)$ thuộc đồ thị (P). Chọn D.

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số là $I\left( {2;5} \right)$.

Vì $a = - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. Chọn D.

Tọa độ đỉnh của $\left( P \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 2}} = 1\\y = 2 \cdot {1^2} - 4 \cdot 1 + 3 = 1\end{array} \right.$.

Suy ra tung độ của đỉnh $I$ là 1. Chọn B.

Gọi $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0\\c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1$. Chọn B.

Vì bề lõm của $\left( P \right)$ quay lên trên nên $a > 0$.

Đồ thị hàm số $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $c = 0$.

Hoành độ của đỉnh $I$ là $x = - \frac{b}{{2a}} < 0$ mà $a > 0 \Rightarrow b > 0$.

Vậy $a > 0,b > 0,c = 0$. Chọn B.

Vì đồ thị hàm số $y = a{x^2} - x + c$ đi qua điểm $A\left( { - 3;27} \right)$ và $B\left( {0; - 3} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {\left( { - 3} \right)^2} + 3 + c = 27\\a \cdot {0^2} - 0 + c = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a + c = 24\\c = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 3\end{array} \right.$. Chọn A.

Theo đề ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 2}}{{2a}} = 1\\4a - 4 + c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 0\end{array} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - 2x$.

Thay tọa độ điểm $A\left( { - 1;3} \right)$ vào $\left( P \right)$ ta được: $3 = {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right)$ (đúng).

Vậy điểm $A\left( { - 1;3} \right)$ thuộc $\left( P \right)$. Chọn A.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0$.

Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên $a < 0$.

Hoành độ đỉnh của $\left( P \right):x = - \frac{b}{{2a}} > 0$ mà $a < 0 \Rightarrow b > 0$.

Vậy $a < 0,b > 0,c > 0$. Chọn C.

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left( {\frac{1}{6};\frac{{25}}{{12}}} \right)$.

Vì $a = - 3 < 0$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{{25}}{{12}}$ khi $x = \frac{1}{6}$. Chọn A.

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left( {2; - 1} \right)$.

Vì $a = 1 > 0$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ trên đoạn $\left[ { - 1;4} \right]$ là 8, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ trên đoạn $\left[ { - 1;4} \right]$ là −1.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ trên đoạn $\left[ { - 1;4} \right]$ là 7. Chọn C.

$\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm $x = - 1$; $x = 5$ và $f\left( x \right) > 0$ với $x \in \left( { - 1;5} \right)$.

Do đó đây là bảng xét dấu của tam thức $f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5$. Chọn A.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$2{x^2} + 3x - 1 = x + 3$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 1;x = - 2$ vào bất phương trình $x + 3 \ge 0$ ta thấy $x = 1;x = - 2$ đều thỏa mãn.

Vậy $x = 1;x = - 2$ là nghiệm của phương trình.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 5. Chọn C.

${x^2} - 4x + 4 > 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2$.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Chọn A.

${x^2} - 8x + 7 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.$.

Suy ra tập $\left[ {6; + \infty } \right)$ có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. Chọn B.

$2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x$$\Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow x \in \emptyset$.

Vậy phương trình vô nghiệm. Chọn C.

${x^2} - x - 12 \le 0$$\Leftrightarrow - 3 \le x \le 4$.

Vì $x$ là số thực dương lớn nhất nên $x = 4$. Chọn D.

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( 2 \right) = - 2$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( 0 \right) > 0$.

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$.

d) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - 4; - 1} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; - 2} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng $x = 2$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số, đỉnh $I$ của đồ thị hàm số có tọa độ là $\left( {2; - 2} \right)$.

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$.

d) Gọi $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right),\left( {2; - 2} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\4a + 2b + c = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 6\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} - 8x + 6$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Trục đối xứng của $\left( P \right)$ có phương trình là $x = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {5; - 49} \right)$ vào hàm số, ta được $- 49 = - 3 \cdot {5^2} + 4 \cdot 5 + 6$ (đúng).

Vậy $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {5; - 49} \right)$.

c) Thay $x = 0$, vào hàm số ta được $y = - 3 \cdot {0^2} + 4 \cdot 0 + 6 = 6$.

Vậy $\left( P \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $6$.

d) $\left( P \right)$ có tọa độ đỉnh $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{4}{{2\left( { - 3} \right)}} = \frac{2}{3}\\y = - 3 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4 \cdot \frac{2}{3} + 6 = \frac{{22}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};\frac{{22}}{3}} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2$.

b) Tọa độ đỉnh $I$ của $\left( P \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\\y = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)$.

Vì $a = 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$.

c) Vì $a = 1 > 0$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.

d) Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $\left( P \right)$ cắt trục $Ox$ tại $B\left( {3;0} \right),A\left( {1;0} \right)$.

Có ${S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có tọa độ đỉnh của $\left( P \right)$ là $\left( { - 1;0} \right)$.

b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

c) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên $a > 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0$.

Hoành độ của đỉnh $I$ là $x = - \frac{b}{{2a}} < 0$ mà $a > 0$ nên $b > 0$.

Vậy $a > 0,b > 0,c > 0$.

d) Theo đề ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 1\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ bằng 4.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Trục đối xứng của parabol là $x = - 1$.

b) Parabol có bề lõm quay lên.

c) $f\left( 0 \right) < 0$.

d) $f\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow - 3 < x < 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < 0$ là $S = \left( { - 3;1} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $D = \mathbb{R}$.

b) Tọa độ đỉnh của parabol là $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1\\y = {1^2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {1; - 9} \right)$.

c) Có $f\left( x \right) \le 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của $x$.

d) $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 4\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$ và $f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - 2;4} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số

a) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có $\Delta > 0$.

b) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = 1;x = 3$.

c) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hệ số $a < 0$.

d) $f\left( x \right) > 0$$\Leftrightarrow 1 < x < 3$ mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 2$.

Vậy bất phương trình $f\left( x \right) > 0$có 1 nghiệm nguyên.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Điều kiện ${x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.

b) $\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 2025$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Vì $f\left( x \right) \ge 0$ nên để $f\left( x \right) \le 0$ thì $f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.$.

d) Theo câu c, có 2 nghiệm để $f\left( x \right) \le 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Biểu thức $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$ là một tam thức bậc hai.

b) Thay $x = 3$ vào bất phương trình ta được ${3^2} - 3 \cdot 3 + 2 \ge 0$ (đúng).

Vậy $x = 3$ là một nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 3x + 2 \ge 0$.

c) $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0$$\Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nguyên nào của $x$ để $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0$.

d) Điều kiện ${x^2} - 3x + 2 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.$.

Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2}$ là $D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Để hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a > 0$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{{2a}} = 2\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\end{array} \right.$ (1).

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$ nên $c = 6$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4 = 4a + 2b + c\\c = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.$. Suy ra $P = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 6 = - 6$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge - 1\end{array} \right.$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 1;1} \right]$.

Suy ra $m = - 1;n = 1$. Vậy $T = m + n = 0$.

Theo đề ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\x = - \frac{b}{{2a}} = - 2\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\4a - b = 0\\4a - 2b + c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{4}{3}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.$.

Do đó $P = a + b - c$$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3} = - \frac{2}{3} \approx - 0{,}67$.

Gọi $x$(nghìn đồng, $0 \le x \le 20$) là giá giảm mỗi chiếc bánh của cửa hàng.

Khi đó số lượng bánh bán ra mỗi ngày là $100 + 10x$ (chiếc bánh).

Giá mỗi chiếc bánh là $20 - x$ (nghìn đồng).

Doanh thu của cửa hàng là $y = \left( {100 + 10x} \right)\left( {20 - x} \right)$$= - 10{x^2} + 100x + 2000$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 10{x^2} + 100x + 2000$, $0 \le x \le 20$.

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left( {5;2250} \right)$.

Vì $a = - 10 < 0$ và $5 \in \left[ {0;20} \right]$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là 2250 khi $x = 5$.

Vậy doanh thu lớn nhất cửa hàng có thể đạt được là 2250 nghìn đồng.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Phương trình $\left( P \right):y = - a{x^2} + h\left( {a > 0} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( { - 64;72} \right),A\left( { - 81;0} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - 4096a + h = 72\\ - 6561a + h = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{72}}{{2465}}\\h \approx 192\end{array} \right.$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192 m.

$\sqrt {2x - 1} = 2 - x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\2x - 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2x - 1 = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm. Do đó $m + 2025 = 2026$.

$- {x^2} + 5x - 4 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;4} \right)$.

Suy ra $a = 1;b = 4$. Do đó $M = 3a + 2b = 11$.

Để $f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Tổng các giá trị nguyên của $m$ là 9.

Gọi $x$ (km, $0 < x < 5$) là chiều dài từ A đến B.

Suy ra chiều dài từ B đến chân Ngọn Hải Đăng là $5 - x$ (km).

Khi đó chiều dài từ B đến C là $\sqrt {{1^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {26 - 10x + {x^2}}$ (km).

Theo đề ta có $2x + 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13$$\Leftrightarrow 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13 - 2x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 2x \ge 0\\9\left( {26 - 10x + {x^2}} \right) = {\left( {13 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\5{x^2} - 38x + 65 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện $0 < x < 5$, ta có $x = \frac{{13}}{5}$.

Tổng chiều dài dây điện kéo từ A đến C là $\frac{{13}}{5} + \sqrt {26 - 10 \cdot \frac{{13}}{5} + {{\left( {\frac{{13}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{26}}{5} = 5{,}2$ km.

Để bất phương trình vô nghiệm thì ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {m^2} - 28m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\0 < m < 28\end{array} \right.$.

Mà $m \in \left[ {0;30} \right]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3;...;27} \right\}$.

Vậy có 27 giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm.

a) $y\left( {10} \right) = - \frac{{9{,}8}}{{300}} \cdot {10^2} + 10 = \frac{{101}}{{15}}$ (m).

b) Tọa độ đỉnh của quỹ đạo là $I\left( {\frac{{750}}{{49}};\frac{{375}}{{49}}} \right)$.

Vì $a = - \frac{{9{,}8}}{{300}} < 0$ nên độ cao lớn nhất của quả tên lửa trong quá trình bay là $\frac{{375}}{{49}}$ m.

Vì $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( { - 1; - 3} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - 1\\4a + 2b + c = 3\\a - b + c = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} + x - 3$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ với $a < 0$.

Khi đó $\left( P \right)$ nhận $x = 0$ làm trục đối xứng và đi qua điểm $G\left( {0;3} \right),E\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = 3\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{9}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3$.

Cho $y = 0$$\Rightarrow - \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\x = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$.

Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng là $3\sqrt 3$ m.

Để doanh nghiệp có lãi thì $- 200{x^2} + 92000x - 8400000 > 0$$\Leftrightarrow 125{,}5 < x < 334{,}4$.

Vậy để có lãi thì doanh nghiệp nên sản xuất từ 125 đến 334 sản phẩm.

Nửa chu vi tấm sắt là $48:2 = 24$ (cm).

Gọi chiều dài của tấm sắt là $x\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chiều rộng của tấm sắt là $24 - x$ (cm).

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 24 - x\\x < 24\end{array} \right. \Leftrightarrow 12 < x < 24$ (1).

Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4$ (cm$^{2}$).

Để diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm$^{2}$ thì $x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4 \ge 92$$\Leftrightarrow - {x^2} + 24x - 108 \ge 0$$\Leftrightarrow 6 \le x \le 18$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $12 < x \le 18$.

Vậy tấm sắt có chiều dài thuộc nửa khoảng $\left( {12;18} \right]$.