Bài tập ôn tập chương II có đáp án

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát: ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c) với a, b, c là các số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Khi đó trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án A có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 1 và c = 3.

Chọn A.

Đáp án đúng là C

Có vô số cặp số (x$_{0}$; y$_{0}$) thỏa mãn 2x$_{0}$ + y$_{0}$ > 3.

Do đó bất phương trình 2x + y > 3 có vô số nghiệm.

Đáp án đúng là D

Vẽ đường thẳng d: x – y =3

Ta có: 0 – 0 = 0 < 3

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x – y = 3 có chứa điểm O(0; 0) không kể biên.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bao gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khi đó chỉ có đáp án A là thỏa mãn là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn A.

Đáp án đúng là D

Thay tọa độ từng điểm và hệ bất phương trình ta thấy đáp án D đúng

$\{\begin{matrix}-3-1=-4<-3 \\ 2.1=2\ge -4\end{matrix}$

Ta có: $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$

$\Leftrightarrow 3(x+y)\ge 2(2x-y+1)$

$\Leftrightarrow x-5y\le -2$

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: $-$x – 5y = 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính -0 – 5.0 = 0 <2

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (kể cả đường thẳng d) không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).

Xác định miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x + y < 1.

- Ta vẽ đường thẳng d: x + y = 1.

- Ta có: 0 + 0 = 0 < 1.

Do đó miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x+ y < 1là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Xác định miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình 2x – y ≥ 3.

- Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.

- Ta có: 2.0 – 0 = 0 < 3.

Do đó miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình $2x-y\ge 3$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là phần không bị gạch chéo trong hình vẽ, không kể biên là đường thẳng d và kể cả biên là đường thẳng d’.

+) Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}y-2x\le 2 & \\ y\le 4 & \\ x\le 5 & \\ x+y\ge -1 & \end{matrix}$

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2.

- Vẽ đường thẳng y – 2x = 2

- Ta có: 0 – 2.0 = 0 < 2.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y – 2x $\le$2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y – 2x = 2 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm O(0; 0).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 4.

- Vẽ đường thẳng y = 4.

- Ta có 3 $\le 4$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y $\le$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 4 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm (0; 3).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 5.

- Vẽ đường thẳng x = 5.

- Ta có 3 $\le 5$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x $\le 5$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 5 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm (3; 0).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ – 1.

- Vẽ đường thẳng x + y = -1

- Ta có: 0 + 0 = 0 > -1.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + y $\le$-1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = -1 (tính cả đường thẳng đó) và không chứa điểm O(0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác ABCD (miền tô màu vàng) với tọa độ các đỉnh A(1; 4); B(5; 4); C(5; – 6); D(– 1; 0)

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = – x – y được xác định với (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh A; B; C; D.

F(1; 4) = – 1 – 4 = – 5

F(5; 4) = – 5 – 4 = – 9

F(5; – 6) = – 5 – (– 6) = 1

F(– 1; 0) = – (– 1) – 0 = 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F là 1 tại (x;y) = (-1;0) hoặc (x;y) = (5;-6) và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là -9 tại (x;y) = (5;4)

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 1 200).

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là 1 200 – x – y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: x ≥ 3y hay x – 3y ≥ 0.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: 1 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 1 000.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{matrix}0\le x\le 1200 \\ 0\le y\le 1200 \\ x-3y\ge 0 \\ x+y\ge 1000\end{matrix}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm

A(1 000;0), B(750;250), C(1 200;400), D(1 200;0).

Lợi nhuận bác An thu được là: F(x;y) = 7%x + 8%y + 12%(1200 – x – y) = 144 – 0,05x – 0,04y (triệu đồng)

Tính giá trị của F(x;y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1 000;0) = 144 – 0,05.1 000 – 0,04.0 = 94;

F(750;250) = 144 – 0,05.750 – 0,04.250 = 96,5;

F(1 200;400) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.400 = 68;

F(1 200;0) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.0 = 84;

Suy ra F(x;y) lớn nhất bằng 96,5 khi x = 750, y = 250.

Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu đồng vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu đồng vào trái phiếu ngân hàng và 200 triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi x (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài truyền hình và y (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài phát thanh. (0 ≤ x ≤ 360, 0 ≤ y ≤ 900).

Chi phí công ty chi trả cho quảng cáo trong một tháng là: 400x + 80y (nghìn đồng)

Vì công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới nên ta có:

400x + 80y ≤ 160 000 hay 5x + y ≤ 2 000.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{matrix}0\le x\le 360 \\ 0\le y\le 900 \\ 5x+y\le 2000\end{matrix}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD với tọa độ các điểm là O(0;0), A(0;900), B(220;900), C(360;200), D(360;0).

Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x; y) = x + 8y.

Tính giá trị F(x; y) tại các điểm O, A, B, C, D, ta có:

F(0;0) = 0 + 8.0 = 0;

F(0;900) = 0 + 8.900 = 7 200;

F(220;900) = 220 + 8.900 = 7 420;

F(360;200) = 360 + 8.200 = 1 960;

F(360;0) = 360 + 8.0 = 360;

Suy ra hàm F(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 7 420 tại x = 220, y = 900.

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo 900 giây trên các đài phát thanh và 220 giây trên đài truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất.