Bài tập Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Gọi P là trung điểm của BC.

Vì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AP vuông góc với BC

DP vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{PA}=0$ .

Vậy BC vuông góc với AD

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\begin{matrix}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB} \\ =SA.SC.\cos \widehat{ASC}-SA.SB.\cos \widehat{ASB} \\ =0\end{matrix}$

Vậy SA vuông góc với BC.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\overrightarrow{A{A}_{1}}.\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B{B}_{1}}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$(sử dụng các vectơ bằng nhau và tính chất hình bình hành)

$=\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_{1}}.\overrightarrow{BC}=0$

Vậy góc giữa AA$_{1}$ và B$_{1}$D$_{1}$ bằng $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ ,$\overrightarrow{ND}=k\overrightarrow{NB}$ , suy ra $\frac{MB}{MA}=\frac{NB}{ND}=-\frac{1}{k}$ .

Từ đó suy ra MN // AD (định lí Thalès đảo trong tam giác ABD). (1)

Gọi I là trung điểm của BC, thì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AI vuông góc với BC

DI vuông góc với BC

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IA})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IA}=0$

Do đó, BC vuông góc với AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC và MN vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: C

Đặt AB = AD = AC = a.

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AB.AD.\cos 60^{\circ}-AB.AC.\cos 60^{\circ}=a.a.\frac{1}{2}-a.a.\frac{1}{2}=0$

Do đó, AB vuông góc với CD.

Dễ thấy MN, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC và ABD.

Khi đó, MN // PQ // AB và MN = PQ = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{a}{2}$nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có:

MN // AB

NP // CD (do NP là đường trung bình của tam giác BCD)

AB ⊥ CD

Khi đó, MN ⊥ NP.

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Ta có: AC = $a\sqrt{2}$

⇒ AC$^{2}$ = 2a$^{2}$ = SA$^{2}$ + SC$^{2}$

Do đó tam giác SAC vuông tại S.

Khi đó: $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{SC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{SC})=90^{\circ}$

Do đó, MN vuông góc với SC hay $(NM,SC)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD

Do đó: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})$

Tam giác ABC có AB = AC và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ nên tam giác ABC đều

Do đó, CI vuông góc với AB (1).

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI vuông góc với AB (2).

Từ (1) và (2) có:

$\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB}=0$.

Do đó, IJ vuông góc với AB.

Đáp án đúng là: B

Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

Đáp án đúng là: B

Hướng giải trên là đúng.

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng định lý: $\left\{ \begin{array}{l}a//b\\d \bot a\end{array} \right. \Rightarrow d \bot b$.

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng định lý: $\left\{ \begin{array}{l}a//b\\d \bot a\end{array} \right. \Rightarrow d \bot b$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel (SAB)\\(SAB) \cap (ABCD) = AB\\(\alpha ) \cap (ABCD) = MN\end{array} \right.$ ⇒ MN // AB.

Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel (SAB)\\(SBC) \cap (SAB) = SB\\(\alpha ) \cap (SBC) = NP\end{array} \right.$ ⇒ NP // SB.

$\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel (SAB)\\(SAD) \cap (SAB) = SA\\(\alpha ) \cap (SAD) = MQ\end{array} \right.$ ⇒ MQ // SA

Vì (α) ∥ (SAB) nên:

Hai mặt phẳng (α) và (SAB) cắt mặt phẳng (ABCD) theo hai giao tuyến lần lượt là MN và AB ⇒ MN ∥ AB (*)

Hai mặt phẳng (α) và (SAB) cắt mặt phẳng (SCD) theo hai giao tuyến lần lượt là PQ và d = (SAB)∩(SCD). Do đó PQ ∥ d (1)

Mà ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD

Lại có CD ⊂ (SCD), AB ⊂ (SAB) ⇒ giao tuyến d = (SAB)∩(SCD) chính là đường thẳng đi qua S và song song với AB ⇒ d ∥ AB (2)

Từ (1), (2) ⇒ PQ ∥ AB (**)

Từ (*), (**) ⇒ MN ∥ PQ

Mà AB ∥ CD ⇒ MN ∥ PQ ∥ AB ∥ CD

Vì △SAB vuông cân tại A ⇒ AB ⊥ SA

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AB\\MQ\parallel SA\\AB \bot SA\end{array} \right.$ ⇒ MN ⊥ MQ

Vậy MNPQ là hình thang vuông

Đáp án đúng là: D.

Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}IF//CD\\IF = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.$

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}JE//CD\\JE = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.$

⇒ $\left\{ \begin{array}{l}IF = JE\\IF//JE\end{array} \right.$ ⇒ Tứ giác IEJF là hình bình hành.

Mặc khác: $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{IJ}} = \frac{1}{2}AB\\JE = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.$, mà AB = CD ⇒ IJ = JE.

Do đó, IJEF là hình thoi ⇒ $\left( {IE,JF} \right) = {90^ \circ }$.

Đáp án đúng là: D.

Gọi P là trung điểm của cạnh AC.

Ta có PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}PN//CD\\PN = \frac{1}{2}CD = \frac{d}{2}\end{array} \right.$

Lại có PM là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}PM//AB\\PM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}\end{array} \right.$

Do PN // CD và PM // AB nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính bằng hoặc là bù với $\widehat {MPN}$của tam giác MNP.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP ta có:

$\begin{array}{l}M{N^2} = P{M^2} + P{M^2} - 2 \cdot PM \cdot PN \cdot \cos \widehat {MPN}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2} \cdot \cos \widehat {MPN}(1)\end{array}$

Theo giả thiết bài toán, ta có:

$\begin{array}{l}M{N^2} + \frac{{c.d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}\\ \Rightarrow - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = 0\end{array}$

Vì c, d > 0 ⇒ $\cos \widehat {MPN} = 0 \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^ \circ }$.

Do đó, tam giác MNP vuông tại P ⇒ $PM \bot PN$⇒ $\left( {AB,CD} \right) = {90^ \circ }$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Theo tính chất về góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu a ∥ b thì góc giữa đường thẳng a và đường thẳng c bằng góc giữa đường thẳng b và đường thẳng c. Tức là (a, c) = (b, c).

b) Đúng. Vì c ∥ b, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c. Do đó (a, b) = (a, c).

c) Sai. Điều kiện a ⊥ c và b ⊂ (α) không đủ để kết luận a ∥ b

Trong không gian, hai đường thẳng a và b phân biệt có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

d) Sai. Vì a ⊥ c nên góc (a, c) = 90°

Tuy nhiên, điều này không suy ra được (a, b) = (c, b) vì góc (a, b) và (c, b) phụ thuộc hoàn toàn vào vị trí tương đối giữa đường thẳng b với hai đường thẳng a và c.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Trong △SBD, M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD

Do đó, MN là đường trung bình của △SBD ⇒ MN ∥ BD.

b) Đúng. Xét hai đường thẳng MN và AC:

AC ⊂ (ABCD), MN ⊂ (SBD), (SBD) ∩ (ABCD) = BD

Đường thẳng AC cắt giao tuyến BD tại tâm O của hình thoi ABCD, nhưng điểm O không thuộc đường thẳng MN

Do MN ∥ BD và AC ∩ BD = O ∉ MN, hai đường thẳng MN và AC không cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau

Vậy MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau.

c) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau

⇒ AC ⊥ BD.

d) Đúng. Vì MN ∥ BD (theo câu a) nên góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng góc giữa hai đường thẳng BD và AC, tức là (MN, AC) = (BD, AC)

Mặt khác, do AC ⊥ BD (theo câu c) nên góc (BD, AC) = 90°

Vậy (MN, AC) = 90°.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

b) Đúng. Trong mặt phẳng (ABC) có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\MN//AB\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot AC$.

c) Đúng. SA = SB = AB = a ⇒ SAB là tam giác đều.

Ta có MN // AB nên $\left( {MN,SB} \right) = \left( {AB,SB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ$.

d) Đúng. Gọi I là trung điểm của SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên $\left( {SC,AB} \right) = \left( {IM,MN} \right)$.

Mà $BN = \sqrt {A{B^2} + A{N^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},SN = \sqrt {S{C^2} - N{C^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$NI = \frac{{\sqrt {2\left( {B{N^2} + S{N^2}} \right) - S{B^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $MN = MI = \frac{a}{2}$.

Xét tam giác IMN có: $\cos \widehat {NMI} = \frac{{M{N^2} + I{M^2} - I{N^2}}}{{2 \cdot MN \cdot IM}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {NMI} = 120^\circ$.

⇒ $\left( {SC,AB} \right) = \left( {IM,MN} \right) = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Do góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với chúng nên vị trí của điểm O không làm ảnh hưởng góc giữa hai đường thẳng.

b) Sai. Do a và b là hai đường thẳng chéo nhau và cùng vuông góc với đường thẳng c thì chưa chắc đã song song. Ví dụ: a và c cùng nằm trên một mặt phẳng, b chéo a và b vuông góc với mặt phẳng đó thì a và b đều đồng thời vuông góc với c nhưng không song song.

c) Sai. Nếu ban đầu a và b vuông góc thì a′ và b′ cũng chắc chắn vuông góc do góc giữa hai đường thẳng a và b cũng chính là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′.

d) Sai. Hai đường thẳng a′ và b ′ cắt nhau tại O nên chúng đồng phẳng, đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng a′ và b′ nên ∆ phải nằm trong mặt phẳng chứa a′ và b′. Trong khi đó, a và b lại là hai đường thẳng chéo nhau nên ∆, a, b sẽ không thể đồng phẳng hay chúng không thể cắt nhau.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. VìSA ⊥ AB (theo giả thiết)

⇒Góc giữa hai đường thẳng AB và SA bằng 90°, tức là (AB, SA) = 90°

b) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên CD ∥ AB

Mặt khác, ta có SA ⊥ AB

⇒ SA ⊥ CD.

c) Sai. Vì ABCD là hình thoi nên BC ∥ AD

Do đó, góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng góc giữa hai đường thẳng SD và AD, tức là (SD, BC) = (SD, AD)

Vậy mệnh đề (SD, BC) = (SD, CD) là sai.

d) Đúng. Xét △SAD:

Theo giả thiết SA ⊥ AD, do đó △SAD vuông tại A

Ta có: SA= $a\sqrt 3$ và AD = a (vì ABCD là hình thoi cạnh a)

Xét △SAD vuông tại A, ta có:

SD = $\sqrt {S{A^2} + A{D^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}$ = 2a (định lý Pytago)

Vậy SD = 2a.

Đáp án: 90.

Gọi P là trung điểm của CD.

Ta có: NP // SC ⇒ $\left( {MN,SC} \right) = \left( {MN,NP} \right)$.

Xét tam giác MNP có: $MN = NP = \frac{a}{2},MP = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

⇒ $M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}$ ⇒ Tam giác MNP vuông tại N.

⇒ $\widehat {MNP} = {90^ \circ } \Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = \left( {MN,NP} \right) = 90^\circ$.

Đáp án: 1,6.

Gọi P là trung điểm AB. Ta có NP là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ $\left\{ \begin{array}{l}NP//AC\\NP = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Tương tự ta có MP là đường trung bình của tam giác ABD.

⇒ $\left\{ \begin{array}{l}MP//BD\\MP = \frac{1}{2}BD = \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Khi đó: $\left( {AC,BD} \right) = \left( {PN,PM} \right) = \widehat {MPN} = {90^ \circ }$hay tam giác MNP vuông tại P

Xét tam giác MNP vuông tại P, ta có:

MN = $\sqrt {P{N^2} + M{P^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}$ = $\frac{{\sqrt {10} }}{2}$ ≈ 1,6 (định lý Pytago)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN bằng 1,6.

Đáp án: 45

Vì ABCD là hình vuông nên CD ∥ AB

Do đó, góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng SB và AB: (SB, CD) = (SB, AB)

Theo giả thiết, SA ⊥ AB nên tam giác SAB vuông tại A

Mặt khác, ta có SA = a và AB = a (do ABCD là hình vuông cạnh a)

⇒ Tam giác SAB vuông cân tại A ⇒ $\widehat {SBA}$ = 45°

Vậy (SB, CD) = (SB, AB) = $\widehat {SBA}$ = 45°.

Đáp án: 90

Vì ABCD là hình thoi nên cạnh CD song song với cạnh AB, tức là CD ∥ AB

Do đó, góc giữa hai đường thẳng SM và CD bằng góc giữa hai đường thẳng SM và AB: (SM, CD) = (SM, AB)

Xét △SAB có SA = SB = a nên △SAB cân tại S

Vì M là trung điểm của AB nên SM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của △SAB

⇒ SM ⊥ AB

Do SM ⊥ AB nên (SM, AB) = 90°

Vậy (SM, CD) = 90°.

Đáp án: 0,48

Xét △SBC có SB = SC = $\sqrt 2$ nên △SBC cân tại S

Vì M là trung điểm của cạnh BC nên đường trung tuyến SM đồng thời là đường cao của △SBC

⇒ SM ⊥ BC, do đó △SMC vuông tại M

Do M là trung điểm của BC nên: MC = $\frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Xét △SMC vuông tại M (do SM ⊥ BC), ta có:

SM = $\sqrt {S{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}$ = $\sqrt {\frac{5}{4}}$ = $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$ (định lý Pytago)

Vì △SMC vuông tại M nên diện tích △SMC là:

S$_{△}$$_{SMC}$ = $\frac{1}{2} \cdot SM \cdot MC$ = $\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ = $\frac{{\sqrt {15} }}{8}$ ≈ 0,48.