Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang cân lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hình 1: Tứ giác là hình thang cân vì

+ Hai góc kề cạnh bên có tổng bằng 180° nên tứ giác là hình thang.

+ Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau bằng 70° nên hình thang là hình thang cân.

Hình 2: Tứ giác không là hình thang cân.

Hình 3: Tứ giác là hình thang cân vì

+ Hai góc kề cạnh bên có tổng bằng 180° nên tứ giác là hình thang.

+ Hai cạnh bên của hình thang bằng nhau nên hình thang là hình thang cân.

Hình 4: Tứ giác là hình thang cân vì

+ Hai góc kề cạnh bên có tổng bằng 180° nên tứ giác là hình thang.

+ Hai đường chéo của hình thang bằng nhau nên hình thang là hình thang cân.

Do đó có 3 hình vẽ là hình thang cân

Đáp án đúng là: B

Hình 1: Tứ giác không phải là hình thang cân vì hai góc kề cạnh bên không bù nhau.

Hình 2: Tứ giác là hình thang cân vì

+ Hai góc kề cạnh bên có tổng bằng 180° nên tứ giác là hình thang.

+ Hai cạnh bên của hình thang bằng nhau nên hình thang là hình thang cân.

Hình 3: Tứ giác là hình chữ nhật.

Hình 4: Tứ giác là hình bình hành.

Đáp án đúng là: A

Do D, E là trung điểm của hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC (DE là đường trung bình của ∆ABC) nên tứ giác BCED là hình thang.

∆ABC là tam giác cân nên $\widehat {\,B\,} = \widehat {\,C\,}$.

Do đó, tứ giác BCED là hình thang cân.

Đáp án đúng là: D

Ta có: EF // CD do đó tứ giác CDEF là hình thang.

Xét hai tam giác vuông ADE và BCF, ta có:

+ AE = BF

+ AD = BC

=> ∆ADE = ∆BCF (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra DE = CF.

Hình thang CDEF có hai cạnh bên bằng nhau nên CDEF là hình thang cân.

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác vuông ADE và BCE, ta có:

+ AE = BE

+ AD = BC

=> ∆ADE = ∆BCE (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra DE = CE hay ∆CDE là tam giác cân tại E.

FG // CD (FG là đường trung bình của ∆CDE) suy ra CDFG là hình thang.

Lại có F, G là trung điểm của DE và CE mà DE = CE.

Suy ra DF = CG => Hình thang CDFG có hai cạnh bên bằng nhau nên nó là một hình thang cân.

Đáp án đúng là: C

Do AB // EF => Tứ giác ABEF là hình thang.

Xét hai tam giác vuông ADF và BCE, ta có:

+ DF = CE

+ AD = BC

=> ∆ADF = ∆BCE (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra AF = BE

Hình thang ABEF có hai cạnh bên bằng nhau nên ABEF là hình thang cân.

Đáp án đúng là: D

Do DE // CF nên tứ giác CDEF là hình thang.

E, F là các điểm đối xứng với D, C qua đoạn thẳng AB.

Mà AD và BC vuông góc với AB.

=> AB là đường trung trực của DE và CF.

Khi đó CD = EF.

Hình thang CDEF có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác là hình thang cân.

Đáp án đúng là: B

Ta có: DE // CG và DE = CG suy ra tứ giác CDEG là hình bình hành.

Suy ra EG // CD.

Tương tự, ta cũng có tứ giác CEGF là hình bình hành nên EG // CF.

Khi đó ba điểm D, C, F thẳng hàng và EG // DF hay tứ giác DEGF là hình thang.

Mà hình thang lại có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác là hình thang cân.

Đáp án đúng là: C

Do AD và BC cùng vuông góc với d => AD // BC

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

AB và CD đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

Do đó AB = CD.

Hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Đáp án đúng là: A

Gọi G là giao điểm của AD và CE, suy ra G là trung điểm của CE.

F đối xứng với B qua A, E đối xứng với C qua G mà AG // BC

=> EF // BC // AG

Do đó tứ giác ADEF là hình thang.

Lại có AF = AB = CD mà CD = DE => AF = DE

Hình thang ADEF có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác là hình thang cân.

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Đáp án đúng là: A

Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat {NMQ} + \widehat Q = 180^\circ$ và $\widehat {NMQ} + \widehat {NMx} = 180^\circ$ nên $\widehat Q = \widehat {NMx}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // PQ, do đó MNPQ là hình thang.

Để hình thang này trở thành hình thang cân, hai góc kề một đáy phải bằng nhau, tức là $\widehat M = \widehat N.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng dấu hiệu nhận biết thông qua đường chéo, nếu hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau (AC = BD = 10 cm) thì nó là hình thang cân.

Đáp án đúng là: D

Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì IA = IB nên tam giác IAB là tam giác cân tại I.

b) Đúng. Vì AB // CD nên $\widehat {IAB} = \widehat {ICD}$ và $\widehat {IBA} = \widehat {IDC}.$

Mà $\widehat {IAB} = \widehat {IBA}$ (vì ∆IAB cân tại I).

Do đó $\widehat {ICD} = \widehat {IDC}.$ Khi đó ∆ICD cân tại I nên IC = ID.

c) Đúng. Vì IA = IB và IC = ID nên IA + IC = IB + ID, suy ra: AC = BD.

d) Đúng. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ∆MNP cân tại M nên $\widehat N = \widehat P$.

b) Sai. Tứ giác EFPN có cạnh EF // NP nên tứ giác EFPN là hình thang.

Lại có $\widehat N = \widehat P$ nên EFPN là hình thang cân.

c) Đúng. Vì EFPN là hình thang cân nên NE = PF.

d) Đúng. Vì MN = MP (vì ∆MNP cân tại M) và NE = PF nên ME = MF.

Do đó điểm M nằm trên đường trung trực của EF.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

(trường hợp hai góc ADC, BCD cùng tù tương tự)

a) Đúng. A, B thuộc đường thẳng a; C, D thuộc đường thẳng b. Vì a // b nên AB // CD.

b) Sai. Do vẽ cung tròn tâm A và B cùng một bán kính nên AD = BC.

c) Đúng. Xét ∆AHD vuông tại H và ∆BKC vuông tại K có:

AD = BC, AH = BK (do cùng là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b song song với nhau)

Do đó ∆AHD = ∆BKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

d) Đúng. Vì ∆AHD = ∆BKC nên $\widehat {ADH} = \widehat {BCK}$

Tứ giác ABCD có AB // CD nên là hình thang.

Lại có $\widehat {ADH} = \widehat {BCK}$ nên hình thang ABCD là hình thang cân.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì MN // PQ và ME ⊥ PQ, NF ⊥ PQ nên ME = NF (cùng là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song với nhau).

b) Đúng. Xét ∆MEP có $\widehat {PME} = \widehat {QNF}.$ và ∆NFQ có $\widehat {NQF} + \widehat {QNF} = 90^\circ .$

Mà $\widehat {MPE} = \widehat {NQF}$ nên

Xét ∆MEP vuông tại E và ∆NFQ vuông tại F có:

ME = NF và $\widehat {PME} = \widehat {QNF}$

Do đó ∆MEP = ∆NFQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

c) Đúng. Vì ∆MEP = ∆NFQ nên MP = NQ.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ nên nó là hình thang.

Lại có MP = NQ nên MNPQ là hình thang cân.

d) Sai. Tứ giác MNPQ là hình thang cân nhưng hình thang cân không có tính chất hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình thang có $\widehat A = \widehat B$ nên nó là hình thang cân.

b) Sai. Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat C = \widehat D.$

Vì DI là tia phân giác của góc D nên $\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat D$

Vì CI là tia phân giác của góc C nên $\widehat {BCI} = \widehat {ICD} = \frac{1}{2}\widehat C$

Mà $\widehat C = \widehat D$ nên $\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \widehat {BCI} = \widehat {ICD}.$

c) Đúng. Vì $\widehat {IDC} = \widehat {ICD}$ nên ∆CID cân tại I.

d) Đúng. Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với CD.

Vì d ⊥ CD và AB // CD nên d ⊥ AB.

Vì ∆CID cân tại I nên IC = ID.

Xét ∆ADI và ∆BCI có:

ID = IC, $\widehat {ADI} = \widehat {BCI}$ và AD = BC (vì ABCD là hình thang cân).

Do đó ∆ADI = ∆BCI (c.g.c).

Suy ra AI = BI, nên I nằm trên đường trung trực của AB.

Như vậy đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB.

Đáp án: 30.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên đã là hình thang. Để ABCD là hình thang cân thì $\widehat A = \widehat B.$

Tức là 3x – 10° = x + 50°.

Suy ra: 2x = 60°

Do đó x = 30°.

Đáp án: 25.

Vì tứ giác ABCD có AB // CD nên nó là hình thang.

Lại có $\widehat C = \widehat D$ nên ABCD là hình thang cân.

Suy ra AC = BD.

Hay 2x – 5 = x + 10

Nên x = 15.

Độ dài là: AC = 2.15 – 5 = 25 (cm).

Đáp án: 6.

Vì OM = ON nên ∆OMN cân tại O, suy ra $\widehat {OMN} = \widehat {ONM}.$

Vì MN // PQ nên $\widehat {OMN} = \widehat {OPQ}$ và $\widehat {ONM} = \widehat {OQP}.$

Do đó $\widehat {OPQ} = \widehat {OQP}$ nên ∆OPQ cân tại O, suy ra OP = OQ.

Khi đó MP = NQ = 10 cm.

Mà MP = OM + OP nên OP = MP – OM = 10 – 4 = 6 cm.

Đáp án: 110.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ nên MNPQ là hình thang.

Lại có MP = NQ nên MNPQ là hình thang cân.

Xét ∆MQP và ∆NPQ có:

MQ = NP, MP = NQ, PQ là cạnh chung

Do đó ∆MQP = ∆NPQ (c.c.c).

Suy ra $\widehat {QMP} = \widehat {PNQ}$

Mà $\widehat {QMN} = \widehat {PNM}$ (do MNPQ là hình thang cân) nên $\widehat {QMN} - \widehat {QMP} = \widehat {PNM} - \widehat {PNQ}$ hay $\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = 35^\circ .$

Do đó ∆OMN cân tại O, suy ra $\widehat {MON} = 180^\circ - \widehat {OMN} - \widehat {ONM} = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ .$

Đáp án: 40.

Trường hợp 1. AB // CD.

⦁ Khi đó ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD.

Dễ dàng chứng minh được $\widehat A + \widehat D = 180^\circ$

Suy ra 3x + x + 20° = 180°

Hay 4x = 160° nên x = 40°.

⦁ Để ABCD là hình thang cân thì $\widehat A = \widehat B = 120^\circ$ tức là 3x = 120°, nên x = 40°.

Kết hợp 2 điều kiện ta có x = 40° là giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2. AD // BC.

⦁ Khi đó ABCD là hình thang có hai đáy là AD và BC.

Dễ dàng chứng minh được $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$

Suy ra 3x + 120° = 180°

Hay 3x = 60° nên x = 20°.

⦁ Để ABCD là hình thang cân thì $\widehat A = \widehat D$.

Suy ra 3x = x + 20°

Hay 2x = 20° nên x = 10°.

Kết hợp 2 điều kiện ta thấy trường hợp này không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy x chỉ có một giá trị là 40 (độ).