Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số (u$_{n}$): $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.$ ta có:

$$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{{u_n}}}:\frac{9}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = {{\rm{u}}_{{\rm{n}} - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2.{\rm{ }}$$

Do đó có: u$_{1}$ = u$_{3}$ = u$_{5}$ = … = u$_{2n+ 1}$ = ... (1)

Và u$_{2}$ = u$_{4}$ = u$_{6}$ = ... = u$_{2n}$ = ... (2)

Theo đề bài có ${{\rm{u}}_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3 \,\, \left( 3 \right)$

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u$_{1}$= u$_{2}$ = u$_{3}$ =...= u$_{2n}$ = u$_{2n+ 1}$ =....

Vậy (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}:\frac{{10}}{{{8^n}}} = \frac{1}{8}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân với $q = \frac{1}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$.(–1); u$_{3}$ = u$_{2}$.(–1); u$_{4}$ = u$_{3}$.(–1); …

Do đó, dãy số (4) là một cấp số nhân có q = –1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 1 + 10}} = {\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)^{n + 11}}$

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 11}}:{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}} = \frac{{ - 1}}{5}{\rm{ }}$ (không đổi)

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

• Xét dãy số u$_{n}$, ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - (n + 1)}}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}$

⇒ $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}:\frac{{{2^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - n}}}} = - 6$ (không đổi)

Do đó, dãy (u$_{n}$) là cấp số nhân.

• Xét dãy số w$_{n}$ = 5$^{–n}$, ta có: w$_{n + 1}$= 5$^{– n – 1}$

⇒ w$_{n+1}$ = 5$^{–1}$.w$_{n}$

⇒ (w$_{n}$) là cấp số nhân.

Ta có: v$_{n}$ = u$_{n}$+ 3 ( 1) nên v$_{n + 1}$ = u$_{n + 1}$ + 3 (2).

Theo đề bài: u$_{n + 1}$= 4u$_{n}$ + 9 ⇒ u$_{n + 1}$ + 3 = 4u$_{n}$ + 9 + 3 = 4(u$_{n}$ + 3) (3)

Thay (1) và (2) vào (3) được: v$_{n + 1}$ = 4v$_{n}$ ∀n ≥ 1

$\Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4$ (không đổi).

Vậy (v$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v$_{1}$ = u$_{1}$ + 3 = 5.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số: 128; –64; 32; –16; 8; …

Có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = \frac{1}{2}$ là một số không đổi.

Suy ra dãy số 128; –64; 32; –16; 8; … là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...$

Có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\left( {\frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}}} \right)$.

Do đó: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...$ không là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A

• Với ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{n - 3}}}}:\frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 3$ là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}$ là một cấp số nhân.

• Với ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = (n + 2).3$^{n}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 3}}} \right){{.3}^{n + 1}}}}{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){{.3}^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = (n + 2).3$^{n}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = n$^{2}$, ta có: $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = n$^{2}$ không là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

• Với u$_{n}$ = 7 – 3n, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - 3\left( {n + 1} \right)}}{{7 - 3n}} = \frac{{4 - 3n}}{{7 - 3n}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát u$_{n}$ = 7 – 3n không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = 7 – 3$^{n}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 - {3^{n + 1}}}}{{7 - {3^n}}} = 1 - \frac{{{{2.3}^n}}}{{7 - {3^n}}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = 7 – 3$^{n}$ không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ =$\frac{7}{{3n}}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{7}{{3\left( {n + 1} \right)}}:\frac{7}{{3n}} = \frac{n}{{n + 1}}$ không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = $\frac{7}{{3n}}$không là một cấp số nhân.

• Với u$_{n}$ = 7.3$^{n}$, ta có:

$q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3$ là một số không đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát: u$_{n}$ = 7.3$^{n}$ là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

Nếu (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q, ta có: u$_{n + 1}$ = u$_{n}$q => q = $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

A, là cấp số nhân với q = -1.

B, không là cấp số nhân.

C, là cấp số nhân với q = 0.

D, là cấp số nhân với q = $\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy, với ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ, dãy số (u$_{n}$) = 2$^{n}$ có tính chất $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{2^n}}}{{{2^{n - 1}}}} = 2$ là cấp số nhân với công bội q = 2, u$_{1}$ = 2.

Đáp án đúng là: A

Dãy số ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 9 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Lập tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

A. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot n}} = - \frac{{n + 1}}{n}$ => (u$_{n}$) không phải là cấp số nhân.

B. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}}$=> (u$_{n}$) không phải là cấp số nhân,

C. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2$=> u$_{n + 1}$ = 2u$_{n}$ => (u$_{n}$) là cấp số nhân có công bội bằng 2.

D. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}$ => (u$_{n}$) không phải là cấp số nhân.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, không phải là hằng số nên (a$_{n}$) không phải cấp số nhân.

b) Đúng. $\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \frac{{\left( {n + 3} \right) \cdot {3^{n + 1}}}}{{\left( {n + 2} \right) \cdot {3^n}}} = \frac{{3\left( {n + 3} \right)}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, không phải là hằng số nên (b$_{n}$) không phải là cấp số nhân.

c) Sai. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra c$_{1}$ = 2; c$_{2}$ = 3; c$_{3}$ = 2; c$_{4}$ = 3;...

Vì $\frac{{{c_3}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}$ nên (c$_{n}$) không phải là cấp số nhân.

d) Đúng. $\frac{{{d_{n + 1}}}}{{{d_n}}} = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^{2\left( {n + 1} \right) + 1}}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}} = 16,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Vậy (d$_{n}$) là một cấp số nhân có công bội q = 16.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3$.

Vậy tỉ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất là $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3$.

b) Đúng. Xét các tỉ số: $\frac{{{u_2}}}{{u_1^{}}} = \frac{6}{2} = 3$; $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{18}}{6} = 3$; $\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3$.

Các tỉ số đều bằng 3 nên tỉ số của hai số hạng liên tiếp bất kì trong bốn số hạng trên luôn bằng 3.

c) Đúng. Theo câu b), ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3$ với mọi cặp số hạng liên tiếp đã cho.

Do đó, dãy số là cấp số nhân với u$_{1}$ = 2, công bội q = 3.

d) Sai. Ta có: u$_{5}$ = u$_{4}$q = 54.3 = 162.

Vậy số hạng tiếp theo của cấp số nhân này theo quy luật trên bằng 162.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: u$_{2}$ = 3u$_{1}$ = 3.2 = 6; u$_{3}$ = 3u$_{2}$ = 3.6 = 18.

Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy là 2; 6; 18.

b) Sai. Ta có u$_{n + 1}$ = 3u$_{n}$ nên u$_{n + 1}$ - u$_{n}$ = 3u$_{n}$ - u$_{n}$ = 2u$_{n}$.

Vậy hiệu giữa hai số hạng liên tiếp của dãy được xác định bởi công thức u$_{n + 1}$ - u$_{n}$ = 2u$_{n}$, ∀n ≥ 1.

c) Sai. Theo định nghĩa, một dãy số là cấp số cộng khi hiệu của hai số hạng liên tiếp không đổi. Với dãy đã cho: u$_{2}$ - u$_{1}$ = 4; u$_{3}$- u$_{2}$ = 12; u$_{4}$ - u$_{3}$ = 36.

Các hiệu này không bằng nhau nên dãy số không phải là cấp số cộng.

d) Đúng. Theo giả thiết, u$_{n + 1}$= 3u$_{n}$, ∀n ≥ 1. Suy ra $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3,\forall n \ge 1$.

Do tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng 3, nên dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân có công bội q = 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{1}$ = sin$\frac{\pi }{6}$.2$^{1}$ = 1.

b) Sai. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^{n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}}} = 2$.

Vậy tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp của dãy bằng 4.

c) Đúng. Vì $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^{n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}}} = 2$ là hằng số nên (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội

q = 2.

d) Đúng. Đặt v$_{n}$ = $u_n^2$.

Khi đó: ${v_n} = {\left( {\sin \frac{\pi }{6} \cdot {2^n}} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot {4^n}$

Suy ra $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4$.

Do đó (v$_{n}$) là cấp số nhân có công bội q = 4.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Xét $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{27}}{{81}} = \frac{1}{3}$; $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{9}{{27}} = \frac{1}{3}$; $\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Vậy mỗi số hạng bằng $\frac{1}{3}$ số hạng đứng trước nó.

b) Sai. Xét u$_{2}$ - u$_{1}$ = 27 - 81 = -54; u$_{3}$ - u$_{2}$ = 9 - 27 = -18; u$_{4}$ - u$_{3}$ = 3 - 9 = -6.

Các hiệu không bằng nhau nên dãy số không phải là cấp số cộng.

c) Đúng. Các số hạng của dãy đều dương.

d) Đúng. Ta có: u$_{5}$ = u$_{4}$q = 3.$\frac{1}{3}$ = 1.

Đáp án: 3.

Ta có: v$_{n}$ = u$_{n}$ + x => u$_{n}$ = v$_{n}$ - x => u$_{n + 1}$ = v$_{n + 1}$- x.

Theo giả thiết ta có: u$_{n + 1}$ = 4u$_{n}$ + 9

=> (v$_{n + 1}$ - x) = 4(v$_{n}$ - x) + 9

⇔ v$_{n + 1}$= 4v$_{n}$ - 3x + 9.

Để dãy số (v$_{n}$) là cấp số nhân thì -3x + 9 = 0 => 3x = 9 ⇔ x = 3.

Vậy x = 3 để dãy số (v$_{n}$) là cấp số nhân.

Đáp án: 108.

Ta có: v$_{n + 1}$ = u$_{n + 1}$ + 2 (1)

Thay u$_{n + 1}$= 3u$_{n}$ + 4 vào (1) ta được: v$_{n + 1}$= (3u$_{n}$ + 4) + 2 = 3u$_{n}$ + 6= 3(u$_{n}$ + 2).

Vì v$_{n}$ = u$_{n}$ + 2nên v$_{n + 1}$= 3v$_{n}$.

Do đó, (v$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q = 3.

Ta có: v$_{1}$ = 4; v$_{2}$ = 3v$_{1}$ = 4.3 = 12; v$_{3}$ = v$_{2}$.3 = 12.3 = 36; v$_{4}$ = 3v$_{3}$ = 3.36 = 108.

Đáp án: -384.

Ta có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2$; $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{12}}{{ - 6}} = - 2$.

Suy ra dãy số là cấp số nhân có công bội q = -2.

Do đó, $\frac{{{u_8}}}{{{u_1}}} = {q^7} \Rightarrow \frac{{{u_8}}}{3} = {\left( { - 2} \right)^7} \Rightarrow {u_8} = - 384$.

Đáp án: 3.

Dãy 1. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 3}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9$ nên dãy 1 là cấp số nhân.

Dãy 2. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot {5^{3\left( {n + 1} \right) + 2}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot {5^{3n + 2}}}} = - 1 \cdot {5^3} = - 125$ nên dãy 2 là cấp số nhân.

Dãy 3. Ta có: ${u_2} = u_1^2 = 3;\,\,{u_3} = u_2^2 = 16;\,\,{u_4} = u_3^2 = 256$.

Suy ra $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{2} = 2$ và $\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{256}}{{16}} = 16$ => $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}$ do đó, dãy 3 không phải là cấp số nhân.

Dãy 4. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{9}{{{u_n}}}}}{{\frac{9}{{{u_{n - 1}}}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_{n - 1}},\forall n \ge 2$.

Do đó, có: u$_{1}$ = u$_{3}$ = u$_{5}$ = ... = u$_{2n + 1}$... (1) và u$_{2}$ = u$_{4}$ = u$_{6}$ = ... = u$_{2n}$ = .... (2)

Theo đề bài, ta có: u$_{1}$ = 3 => u$_{2}$ = $\frac{9}{{{u_1}}}$ = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra u$_{1}$ = u$_{2}$ = u$_{3}$ = u$_{4}$ = u$_{5}$ = ... = u$_{2n}$ = u$_{2n + 1}$. Do đó, dãy 4 là cấp số nhân với công bội q = 1.

Vậy có 4 dãy là cấp số nhân, đó là: dãy 1, dãy 2, dãy 4.

Đáp án: 2.

Ta có: u$_{n + 1}$ = 3.2$^{(n + 1) + 1}$.

Xét tỉ số: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3 \cdot {2^{\left( {n + 1} \right) + 1}}}}{{3 \cdot {2^{n + 1}}}} = \frac{{3 \cdot {2^{n + 2}}}}{{3 \cdot {2^{n + 1}}}} = \frac{{{2^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = 2$. Vậy k = 2.