Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có v$_{1}$ = 0, v$_{2}$ = 2, v$_{3}$ = 4, v$_{4}$ = 6, v$_{5}$= 8.

Dễ thấy các số hạng của dãy số (v$_{n}$) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.

Do đó (v$_{n}$) là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 $\Rightarrow$ Dãy (1) là cấp số cộng.

• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau $\Rightarrow$ Dãy (2) không phải cấp số cộng.

• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 $\Rightarrow$ Dãy (3) là cấp số cộng.

• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 $\Rightarrow$ Dãy (4) là cấp số cộng.

Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1; 3; 4.

Đáp án đúng là: D

Có w$_{1}$ = 2, w$_{2}$ = –6, w$_{3}$ = 18, w$_{4}$ = –54.

$\Rightarrow$ Ta kết luận w$_{n}$ không phải một cấp số cộng.

Vậy D là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13

Suy ra: (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = −13.

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A: u$_{n}$ = −3 − 8n.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = −3 − 8(n + 1) = −11 − 8n

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8

$\Rightarrow$ (u$_{n}$): u$_{n}$ = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.

• Xét phương án B: u$_{n}$ = n + 2.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = n + 1+ 2 = n + 3;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (n + 3) − (n + 2) = 1

$\Rightarrow$ (u$_{n}$): u$_{n}$ = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.

• Xét phương án C: u$_{n}$ = 3n.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = 3(n + 1) = 3n + 3;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = 3n + 3 – 3n = 3

$\Rightarrow$ C (u$_{n}$) là một cấp số cộng với công sai d = 3.

• Xét phương án D: u$_{n}$ = n + 2:

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = 3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 8;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = [3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 8] − [ 3.(−4)$^{n}$ − 8] = 3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 3.(−4)$^{n}$.

$\Rightarrow$ (u$_{n + 1}$ − u$_{n}$) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.

Nên dãy số (u$_{n}$) không là cấp số cộng.

$\Rightarrow$ D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 2; u$_{4}$ = 2; u$_{5}$ = 2...

Dự đoán: u$_{n}$ = 2 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Ta chứng minh u$_{n}$ = 2 bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 ta có: u$_{1}$ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u$_{k}$ = 2.

Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay u$_{k}$ $_{+}$ $_{1}$ = 2.

Theo giả thiết ta có: ${u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + {\rm{2}}} = 2$

$\Rightarrow$ Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u$_{n}$ = u$_{n + 1}$ nên u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = 0.

$\Rightarrow$ Dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1

$\Rightarrow$ u$_{n}$ là cấp số cộng có công sai bằng 1.

Đáp án đúng là: A

• Ta có: v$_{n+1}$ = −2(n + 1)$^{2}$ + (n + 1) + 1= −2n$^{2}$ − 3n

Xét hiệu: v$_{n + 1}$ − v$_{n}$ = (−2n$^{2}$ − 3n) − (−2n$^{2}$ + n + 1) = −4n – 1.

Do đó, hiệu (v$_{n + 1}$ − v$_{n}$) còn phụ thuộc vào n nên (v$_{n}$) không là cấp số cộng.

• Ta có: u$_{n + 1}$ = – 2(n + 1)$^{2}$ + (n + 1) + 1

Xét hiệu: u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = −2(n + 1)$^{2}$ + 2n$^{2}$ + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.

$\Rightarrow$ (u$_{n}$) không là cấp số cộng.

+ Ta có: ${w_1} = - 1\,;\,\,{w_2} = 1\,;\,\,{w_3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ w$_{3}$ − w$_{2}$ ≠ w$_{2}$ − w$_{1}$ nên dãy số (w$_{n}$) không phải là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u}_{1}=-6;{u}_{2}=\frac{-9}{2};{u}_{3}=-6$

Ta thấy: u$_{1}$ + u$_{3}$ ≠ 2u$_{2}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) đã cho không là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 2; u$_{4}$ = 2; u$_{5}$ = 2...

Dự đoán: u$_{n}$ = 2 ∀n ∈ ℕ$^{*}$ .

Ta chứng minh u$_{n}$ = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u$_{1}$ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u$_{k}$ = 2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay u$_{k+1}$ = 2.

Theo giả thiết ta có: ${u_{k + 1}} = \sqrt {3{u_k} - 2} = \sqrt {3\,\,.\,\,2 - 2} = 2$

$\Rightarrow$ Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u$_{n}$ = u$_{n + 1}$ nên u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = 0.

$\Rightarrow$ Dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = 0.

Đáp án đúng là: C

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ (gọi là công sai).

Đáp án đúng là: A

Ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp kề nhau trong từng dãy số:

Với dãy A: 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2; 10 – 8 = 2.

Hiệu luôn là hằng số 2 nên dãy A là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có u$_{n + 1}$= u$_{n}$ + 5 => u$_{n + 1}$ u$_{n}$ = 5.

Suy ra dãy số này lập thành một cấp số cộng và có công sai d = 5.

Đáp án đúng là: A

Ta thực hiện trừ các cặp số hạng liên tiếp kề nhau từ trái qua phải:

${u_2} - {u_1} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

${u_3} - {u_2} = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

${u_4} - {u_3} = \frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Vì tất cả các hiệu số hạng liên tiếp đều cho ra cùng một hằng số duy nhất là $\frac{1}{3}$, nên đây là cấp số cộng có công sai $d = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng này lần lượt là u$_{1}$ = x; u$_{2}$ = 11; u$_{3}$ = 17; u$_{4}$ = y.

Ta có d = u$_{3}$ – u$_{2}$ = 17 – 11 = 6.

Khi đó u$_{2}$ – u$_{1}$ = d ⇔ 11 – x = 6 ⇔ x = 5.

Có u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = 17 + 6 = 23 => y = 23.

Do đó P = x + y = 28.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. u$_{2}$ – u$_{1}$ = −2 + 5 = 3.

b) Đúng. Kiểm tra tiếp các cặp còn lại: 1 – (2) = 3; 4 – 1 = 3. Hiệu luôn cố định bằng 3.

c) Đúng. Cấp số cộng có u$_{1}$ = −5 và d = 3.

d) Sai. u$_{5}$ = u$_{4}$ + d = 4 + 3 = 7.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{2}$ = u$_{1}$ – 2 = 4 – 2 = 2; u$_{3}$ = u$_{2}$ – 4 = 2 – 4 = 2.

b) Đúng. u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = −2n.

c) Sai. Định nghĩa cấp số cộng yêu cầu hiệu số bắt buộc phải là một hằng số không đổi.

d) Đúng. Lập luận này hoàn toàn chính xác theo đúng định nghĩa kiểm tra tính chất cấp số cộng.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Định nghĩa cấp số cộng chỉ xét cấu trúc hiệu hai số liên tiếp, còn số hạng đầu u$_{1}$ có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào tùy ý (dương, âm, hoặc bằng 0).

b) Đúng. u$_{n + 1}$ u$_{n}$ = log$_{2}$3.

c) Đúng. Dãy số (u$_{n}$) đã cho là một cấp số cộng với công sai d = log$_{2}$3.

d) Sai. ${v_{n + 1}} - {v_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2 = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d \cdot \left( {2{u_n} + d} \right)$.

Biểu thức này chứa biến số u$_{n}$ (thay đổi theo n) nên dãy mới không phải là cấp số cộng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b = d.

b) Đúng. Từ b – a = c – b => a + c = 2b.

c) Sai. Có (b + k) – (a + k) = b – a = (c + k) – (b + k) = c – b = d.

Do đó bộ ba số mới này vẫn lập thành một cấp số cộng.

d) Đúng. Có 2b – 2a = 2(b – a) = 2d và 2c – 2b = 2(c – b) = 2d.

Do đó ba số 2a; 2b; 2c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng mới.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_3} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}$.

b) Đúng. Nghịch đảo các giá trị tương ứng ở ý a: ${v_1} = \frac{1}{1} = 1,{v_2} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2,{v_3} = \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = 3$.

c) Đúng. ${v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} = 1 + {v_n} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = 1$.

d) Đúng. Vì hiệu v$_{n + 1}$– v$_{n}$ = 1 là hằng số cố định nên dãy số mới (v$_{n}$) chính xác là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai d = 1.

Đáp án: 4

d = −9 – (−13) = 4.

Đáp án: 6

Ta có u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = m – 2.

Để dãy số này là một cấp số cộng và có công sai d = 4 thì m – 2 = 4 ⇔ m = 6.

Đáp án: 2

Dãy 1: u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = −3 (là hằng số không đổi => là cấp số cộng).

Dãy 2: v$_{n + 1}$– v$_{n}$ = n (hiệu số chứa biến n, thay đổi theo thời gian => Loại).

Dãy 3: $\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = 2$ (đây là định nghĩa của cấp số nhân => Loại).

Dãy 4: ${y_{n + 1}} - {y_n} = \sqrt 2$ (là hằng số chứa căn thức cố định => là cấp số cộng).

Vậy có tất cả 2 dãy số thỏa mãn yêu cầu là Dãy 1 và Dãy 4.

Đáp án: −2

Gọi 5 số hạng trong dãy lần lượt là u$_{1}$ = −17; u$_{2}$ = −12; u$_{3}$ = −7; u$_{4}$ = x; u$_{5}$ = 3.

Ta có d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 5.

Do đó u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = −7 + 5 = −2 = x.

Đáp án: 26

Ta có d = 14 – 11 = 3.

Khi đó u$_{4}$ = 17 + 3 = 20; u$_{5}$ = 20 + 3 = 23; u$_{6}$ = 23 + 3 = 26.