Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = S'(t) = −3t$^{2}$ + 6t = −3(t$^{2}$ – 2t + 1) + 3 = −3(t – 1)$^{2}$ + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi t = 1.

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi t = 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: v = s' = −t$^{2}$ + 12t; v' = −2t + 12; v' = 0 $\Leftrightarrow$ t = 6.

Bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 6.

Giá trị lớn nhất là v(6) = 36 m/s.

Đáp án đúng là: B

Ta có v = S' = −t$^{2}$ + 8t + 9, t ∈ (0; 10).

Có v' = −2t + 8; v' = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4 ∈ (0; 10).

Bảng biến thiên:

Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là 25 m/s tại t = 4.

Đáp án đúng là: A

Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b $\le$ 48

Ta có: $ab = 48 \Leftrightarrow b = \frac{{48}}{a}$. Chu vi: $P\left( a \right) = 2\left( {a + \frac{{48}}{a}} \right)$.

Có $P'\left( a \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{a^2}}}} \right);P'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4\sqrt 3$.

Bảng biến thiên:

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là $16\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng

x ($0 < x < \frac{{15}}{2}$).

Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng 15 – 2x và chiều dài bằng 24 – 2x.

Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích V = x(15 – 2x)(24 – 2x) = 4x$^{3}$ – 78x$^{2}$ + 360x.

Xét hàm f(x) = 4x$^{3}$ – 78x$^{2}$ + 360x trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$.

Có f'(x) = 12x$^{2}$ – 156x + 360 = 0 x = 3 hoặc x = 10.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$ tại x = 3 hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi x (m), y (m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

Theo giả thiết ta có 0,6xy = 0,096 $\Rightarrow y = \frac{4}{{25x}}$.

Ta có diện tích mặt đáy là $xy = x.\frac{4}{{25x}} = 0{,}16$.

Giá tiền làm kính mặt đáy là 0,16.100000 = 16000 đồng.

Diện tích xung quanh bể là 2x.0,6 + 2y.0,6 = $1{,}2\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right)$.

Giá tiền làm kính các mặt xung quanh là $1{,}2\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right).70000 = 84000\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right)$ (đồng).

Tổng chi phí là $f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right) + 16000 \ge 84000.2\sqrt {x.\frac{{0{,}16}}{x}} + 16000 = 83200$ đồng.

Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng 83200 đồng.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = (0; +∞).

Có $c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{t^2} + 1}}$; c'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 1 (vì t > 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Đáp án đúng là: B

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập x chiếc điện thoại là f(x) = x(6000 – 3x).

Ta có: f'(x) = −6x + 6000. Khi đó, f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1000.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) là:

Vậy đại lí nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với 3 000 000 (nghìn đồng).

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao hộp quà lần lượt là x (cm) và y (cm) (x > 0, y > 0).

Theo giả thiết, ta có: 2x$^{2}$ + 4xy = 200 $\Rightarrow y = \frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}$ và x < 10 (vì y > 0).

Xét hàm số $V(x) = {x^2}\left( {\frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}} \right) = 50x - \frac{1}{2}{x^3}\left( {0 < x < 10} \right)$ là thể tích của hộp quà mà bạn Hoa gấp được.

Ta có: $V'\left( x \right) = 50 - \frac{3}{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{100}}{3}}$.

Bảng biến thiên của hàm số V(x) là:

Vậy bạn Hoa có thể gấp hộp quà có thể tích lớn nhất là $V\left( {\sqrt {\frac{{100}}{3}} } \right) \approx 192(c{m^3}).$

Đáp án đúng là: A

Giả sử có n máy in thì chi phí cố định là 50n (n = {1; 2; 3; …; 8}).

Để in 50000 tờ cần $\frac{{50000}}{{3600n}} = \frac{{125}}{{9n}}$ (giờ in).

Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n +10) nghìn đồng.

Khi đó tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:

$f\left( n \right) = 50n + \frac{{10\left( {6n + 10} \right).125}}{{9n}} = \frac{{450{n^2} + 7500n + 12500}}{{9n}}$.

Để lãi là nhiều nhất thì tổng chi phí là thấp nhất, vậy ta tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí.

Thay các giá trị n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ta thấy giá trị nhỏ nhất là $f\left( 5 \right) = \frac{{12250}}{9}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi cạnh đáy hình vuông x (cm), x > 0.

Tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng 243 cm$^{2}$ nên ta có: x$^{2}$ + 4xh = 243.

Suy ra $h = \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}$.

Thể tích bể là $V = {x^2} \cdot \frac{{243 - {x^2}}}{{4x}}$$= \frac{1}{4}\left( {243x - {x^3}} \right)$.

Có $V' = \frac{1}{4}\left( {243 - 3{x^2}} \right)$; V' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 9 vì x > 0.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa bảng biến thiên, ta có để thể tích lớn nhất thì x = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có V(t) = S'(t) = −6t$^{2}$ + 48t + 6; V'(t) = −12t + 48; V'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4.

Ta có bảng biến thiên

Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 102 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t; N"(t) = −6t + 24; N"(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4.

Có N'(0) = 0; N'(4) = 48; N'(12) = −144.

Vậy virus sẽ lây lan nhanh nhất vào tuần thứ 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có h'(t) = −2t + 12; h'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 6.

Có h(0) = 0; h(6) = 36; h(12) = 0.

Vậy chiều cao lớn nhất của cây đạt được vào tháng thứ 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

P'(t) = 5e$^{-0{,}1t}$ – 0,5te$^{-0{,}1t}$; P"(t) = −0,5e$^{-0{,}1t}$ −0,5e$^{-0{,}1t}$ + 0,05te$^{-0{,}1t}$ = −e$^{-0{,}1t}$ + 0,05t e$^{-0{,}1t}$;

P"(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 20.

Bảng biến thiên như sau:

Vậy tốc độ tăng dân số nhanh nhất là vào năm thứ 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Quãng đường chất điểm đó di chuyển được là

s(3) = −2×3$^{3}$ + 45×3$^{2}$ = 351 m.

b) Đúng. v(t) = s'(t) = −6t$^{2}$ + 90t.

c) Sai. a(t) = v'(t) = −12t + 90.

Khi đó a(5) = −12×5 + 90 = 30 m/s$^{2}$.

d) Sai. Có v'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ −12t + 90 = 0 $\Leftrightarrow$ t = 7,5.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm bằng 337,5 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Gọi x là chiều rộng đáy bể (x > 0). Suy ra chiều dài đáy bể là 3x.

Khi đó thể tích của bể là V = 3x$^{2}$h.

b) Đúng. Diện tích nguyên vật liệu xây bể là S = 3x$^{2}$ + 8xh.

c) Đúng. Vì V = 18 nên 3x$^{2}$h = 18 $\Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}$.

d) Sai. Với $h = \frac{6}{{{x^2}}}$. Khi đó $S = 3{x^2} + \frac{{48}}{x}$.

Có $S' = 6x - \frac{{48}}{{{x^2}}}$; $S' = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích nguyên vật liệu nhỏ nhất đạt được khi x = 2m, h = 1,5 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có $C'\left( v \right) = - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2}$; C'(v) = 0 $\Leftrightarrow$ v = 80 (vì 0 < v ≤ 120).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất khi xe chạy với tốc độ v = 80 km/h.

b) Sai. Vì hàm số nghịch biến trên (0; 80) nên 60 < 80 thì C(60) > C(80).

c) Đúng. Dựa bảng biến thiên ta có C(120) > C(80).

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, chi phí xăng đạt giá trị nhỏ nhất là 400 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền mà cửa hàng sẽ tăng giá, (x > 0).

Khi đó giá bán mỗi bánh xà phòng là 30 + x (nghìn đồng).

Số bánh xà phòng bán được khi tăng giá là 5000 – 100x (bánh).

Lợi nhuận thu được là f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x) (nghìn đồng).

Ta có f(x) = (30 + x)(5000 – 100x) – 18(5000 – 100x)

= 150000 – 3000x + 5000x – 100x$^{2}$ – 90000 + 1800x

= −100x$^{2}$ + 3800x + 60000.

Ta có f'(x) = −200x + 3800; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 19.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Sai. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần tăng thêm 19000 đồng.

b) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi bánh xà phòng cần bán với giá

30000 + 19000 = 49000 đồng.

c) Đúng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi bánh xà phòng lãi

49000 – 18000 = 31000 đồng.

d) Sai. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số bánh xà phòng bán ra giảm 100‧19 = 1900 bánh.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì cạnh của đáy hộp là 6 – 2 = 4 dm.

Khi đó diện tích của đáy hộp là 4‧4 = 16 dm$^{2}$.

b) Đúng. Thể tích hộp khi cắt hình vuông có cạnh bằng 1 dm là V = 16‧1 = 16 dm$^{3}$.

c) Đúng. Gọi x (dm) là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi, (0 < x < 3).

Cạnh hình vuông đáy có độ dài là 6 – 2x (m).

Diện tích hình vuông đáy là (6 – 2x)$^{2}$ (m$^{2}$).

Thể tích hộp là V(x) = x(6 – 2x)$^{2}$ = 4x$^{3}$ – 24x$^{2}$ + 36x.

d) Đúng. Ta có V'(x) = 12x$^{2}$ – 48x + 36; V'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy cắt bỏ hình vuông có cạnh bằng 1 dm thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Có C(t) = 20(e$^{-0{,}2t}$ – e$^{-1{,}2t}$).

C'(t) = 20(−0,2e$^{-0{,}2t}$ + 1,2e$^{-1{,}2t}$);

C'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ −0,2e$^{-0{,}2t}$ + 1,2e$^{-1{,}2t}$ = 0 $\Leftrightarrow \frac{{{e^{ - 1{,}2t}}}}{{{e^{ - 0{,}2t}}}} = \frac{{0{,}2}}{{1{,}2}} = \frac{1}{6}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{e^t}}} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = \ln 6$.

Ta có C(0) = 0; C(ln6) ≈ 11,6; C(10) ≈ 2,7.

Vậy nồng độ chất A đạt giá trị lớn nhất khi t = ln6. Suy ra b = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Có h'(t) = −2t + 6; h'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 3.

Ta có h(0) = 0; h(3) = 9; h(6) = 0.

Vậy con diều đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là 9 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20

Ta có N'(t) = 60t – 3t$^{2}$; N'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 0 hoặc t = 20.

Ta có N(0) = 1000; N(20) = 5000; N(30) = 1000.

Vậy số vi khuẩn lớn nhất sau 20 phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Có $R'\left( x \right) = \frac{{25000{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2}}},x \ge 0$.

$R''\left( x \right) = \frac{{ - 25000{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + 25000{e^{ - x}} \cdot 2 \cdot \left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right) \cdot 5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}}$.

$R''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 5$.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bán hàng đạt tối đa tại thời điểm x = ln5.

Suy ra a = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có v(t) = s'(t) = 12t – 3t$^{2}$.

Có v'(t) = 12 – 6t = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2 $\in$ [0; 4].

Ta có v(0) = 0; v(2) = 12; v(4) = 0.

Vậy chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.