Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Đổi 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đầu là x (x > 0, km/h).

Vận tốc của ô tô lúc sau là x + 6 (km/h).

Thời gian ô tô dự kiến đi đến B lúc đầu là: $\frac{{120}}{x}$ (giờ).

Trong 1 giờ đầu, ô tô đi được quãng đường x (km) nên quãng đường còn lại là 120 – x (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là $\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ (giờ)

Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình:

$\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ + 1 + $\frac{1}{6}$ = $\frac{{120}}{x}$

$\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{{120}}{x}$

6x(120 – x) + 7x(x + 6) = 720(x + 6)

720x – 6x$^{2}$ + 7x$^{2}$ + 42x = 720x + 4320

x$^{2}$ + 42x – 4320 = 0

x$^{2}$ – 48x + 90x – 4320 = 0

x(x – 48) + 90(x – 48) = 0

(x – 48)(x + 90) = 0

Suy ra x = 48 (thỏa mãn) hoặc x = −90 (loại).

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 km/h.

Đáp án đúng là: A

Đổi 8 giờ 20 phút = $\frac{{25}}{3}$giờ

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x (x > 4, km/h).

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là x + 4 (km/h).

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: $\frac{{80}}{{x + 4}}$ (h).

Thời gian tàu đi ngược dòng là: $\frac{{80}}{{x - 4}}$ (h).

Thời gian cả đi lẫn về hết 8 giờ 20 phút ($\frac{{25}}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{{80}}{{x + 4}} + \frac{{80}}{{x - 4}} = \frac{{25}}{3}$

240(x – 4) + 240(x + 4) = 25(x – 4)(x + 4)

240x – 960 + 240x + 960 = 25x$^{2}$ – 400

25x$^{2}$ − 480x – 400 = 0

25x$^{2}$ – 500x + 20x – 400 = 0

25x(x – 20) + 20(x – 20) = 0

(x – 20)(25x + 20) = 0

Suy ra x = 20 (thỏa mãn) hoặc x = $\frac{{ - 4}}{5}$ (loại).

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h.

Đáp án đúng là: C

Đổi 6 giờ 45 phút = 6,75 giờ.

Gọi thời gian của người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là x (x > 0, giờ)

Quãng đường xa đạp đi được sau 2 giờ là: 2.10 = 20 (km).

Thời gian còn lại đến điểm gặp sau 2 giờ là: x – 2 (giờ)

Quãng đường còn lại của người đi xe đạp đi từ A sau 2 giờ là: 10(x – 2) (km).

Quãng đường người đi từ B đến điểm gặp là 14(x – 2) (km).

Theo đề, hai địa điểm A và B cách nhau 56 km nên ta có phương trình:

20 + 10(x – 2) + 14(x – 2) = 56

24x = 84

x = 3,5 (thỏa mãn)

Do đó, thời gian từ lúc người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là 3,5 giờ hay 3 giờ 30 phút.

Suy ra thời gian hai người đó gặp nhau là: 6,75 + 3,5 = 10,25 (giờ) hay 10 giờ 15 phút.

Khoảng cách từ điểm gặp tới A là: 10.3,5 = 35 (km).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 15 phút và cách A 35 km.

Đáp án đúng là: C

Đổi 8 giờ 30 phút = 8,5 giờ.

Quãng đường mà xe máy đi được từ khi bắt đầu đến khi ô tô khởi hành là:

40(8,5 – 7) = 60 (km).

Gọi x là thời gian để hai xe gặp nhau (x > 0, km/h).

Quãng đường xe máy đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 40x (km).

Quãng đường mà ô tô đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 60x (km).

Hai xe đi cùng chiều và cùng vị trí xuất phát nên quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp xe bằng nhau, do đó ta có: 40x + 60 = 60x

Suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ 30 phút + 3 giờ = 11 giờ 30 phút.

Đáp án đúng là: D

Gọi số học sinh của lớp 8A là x (x ∈ ℕ$^{*}$, học sinh).

Số học sinh lớp 8B là: 94 – x (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 8A là 25%x = 0,25x (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 8B là: 20% (94 – x) = 18,8 – 0,2x (học sinh).

Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21 nên ta có phương trình:

0,25x + 18,8 – 0,2x = 21

0,05x = 2,2

x = 44 (thỏa mãn)

Do đó, số học sinh lớp 8A là 44 học sinh, số học sinh lớp 8B là 40 học sinh.

Đáp án đúng là: A

Gọi số sản phẩm mà mỗi ngày tổ phải làm theo quy định là x (x ∈ ℕ$^{*}$, sản phẩm).

Thời gian tổ hoàn thành công việc theo quy định là: $\frac{{600}}{x}$ (ngày)

Thời gian tổ làm 400 sản phẩm theo quy định là: $\frac{{400}}{x}$ (ngày).

Sau khi tăng năng xuất, mỗi ngày tổ làm số sản phẩm là: x + 10 (sản phẩm).

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là $\frac{{200}}{{x + 10}}$ (ngày).

Vì sau khi tăng năng suất, tổ hoàn thành sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1$

$\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1$

200(x + 10) – 200x = x(x + 10)

x$^{2}$ + 10x – 2000 = 0

x$^{2}$ – 40x + 50x – 2000 = 0

x(x – 40) + 50(x – 40) = 0

(x – 40)(x + 50) = 0

Do đó x = 40 (thỏa mãn) hoặc x = −50 (loại).

Vậy số sản phẩm tổ dự định làm trong 1 ngày là 40 sản phẩm.

Đáp án đúng là: A

Gọi số lớn là x (0 < x < 19).

Số bé là 19 – x.

Theo đề, tổng các bình phương của chúng bằng 185 nên ta có phương trình:

x$^{2}$ + (19 – x)$^{2}$ = 185

x$^{2}$ + x$^{2}$ – 38x + 361 –185 = 0

2x$^{2}$ – 38x + 176 = 0

2x$^{2}$ – 16x – 22x + 176 = 0

2x(x – 8) – 22(x – 8) = 0

(x – 8)(2x – 22) = 0

Suy ra x = 8 hoặc x = 11.

Do x là số lớn nên x = 11.

Vậy số lớn là 11.

>

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (x > 0, m).

Chiều rộng mảnh vườn là: $\frac{{40}}{x}$ (m).

Chiều dài mới khi tăng thêm 2 m là: x + 2 (m).

Chiều rộng khi giảm 1 m là: $\frac{{40}}{x}$ − 1 (m).

Theo đề, nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích không đổi nên ta có phương trình:

(x + 2) $\left( {\frac{{40}}{x} - 1} \right)$ = 40

40 – x + $\frac{{80}}{x}$ −2 = 40

x$^{2}$ + 2x – 80 = 0

x$^{2}$ – 8x + 10x – 80 = 0

x(x – 8) + 10(x – 8) = 0

(x – 8)(x + 10) = 0

Suy ra x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = −10 (loại).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 8 m.

Đáp án đúng là: A

Có 60% = $\frac{3}{5}$.

Gọi số học sinh khá của khối 7 là x (x ∈ ℕ$^{*}$, x < 270 học sinh).

Số học sinh khá của khối 8 là: 270 – x (học sinh).

Theo đề, $\frac{3}{4}$ số học sinh khá của khối 7 bằng 60% số học sinh khá của khối 8 nên ta có phương trình: $\frac{3}{4}$x = $\frac{3}{5}$(270 – x)

$\frac{3}{4}$x = 162 − $\frac{3}{5}$x

$\frac{{27}}{{20}}$x = 162

x = 120 (thỏa mãn).

Vậy số học sinh khá khối 7 là 120 học sinh, số học sinh khá khối 8 là 150 học sinh.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi số xe lúc đầu của đoàn là x (x ∈ ℕ$^{*}$, chiếc).

Số xe của đoàn lúc sau là: x + 3 (chiếc)

Lúc đầu mỗi xe phải chở số tấn hàng là: $\frac{{480}}{x}$ (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: $\frac{{480}}{{x + 3}}$ (tấn).

Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe phải chở ít hơn 8 tấn nên ta có phương trình $\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8$

480(x + 3) – 480x = 8x(x + 3)

480x + 1440 – 480x = 8x$^{2}$ + 24x

8x$^{2}$ + 24x − 1440 = 0

8x$^{2}$ – 96x + 120x – 1440 = 0

8x( x – 12) + 120(x – 12) = 0

(x – 12)(8x + 120) = 0

Suy ra x – 12 = 0 hoặc 8x + 120 = 0.

Do đó, x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = −15 (loại).

Vậy lúc đầu đoàn có 12 chiếc xe.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Quãng đường xe khách đi từ A đến khi hai xe gặp nhau là 50x (km).

b) Sai.

Thời gian để xe con gặp xe khách là: x – 0,5 (giờ).

Quãng đường xe con đi từ B đến khi hai xe gặp nhau là 60(x − 0,5) (km).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn bài toán là: 60(x – 0,5) + 50x = 80.

d) Đúng.

Giải phương trình 60(x – 0,5) + 50x = 80

60x – 30 + 50x = 80

110x = 110

x = 1 (thỏa mãn)

Vậy sau 1 giờ xe khách xuất phát thì hai xe gặp nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Hai người làm công việc 8 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được số công việc là $\frac{1}{8}$ (công việc).

Do đó, mổ giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{8} - \frac{1}{x}$ (công việc).

b) Đúng.

Hai người cùng làm trong 4 giờ thì làm được $4.\frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ (công việc)

Người thứ hai tiếp tục làm một mình trong 12h làm được $12.\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}$ (công việc).

c) Đúng.

Do đó, theo đề có phương trình là $\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1$.

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: $\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1$

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x} = 1$

$2 - \frac{{12}}{x} = 1$

$\frac{{12}}{x} = 1$

x = 12 (thỏa mãn).

Với x = 12 thì một giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{{24}}$ (công việc)

Do đó, thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai nếu làm một mình là:

$1:\frac{1}{{24}} = 24$ (giờ)

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 12 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 24 giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Thời gian phân xưởng may xong 900 bộ quần áo theo kế hoạch là $\frac{{900}}{x}$ (ngày).

b) Đúng.

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng may được số bộ quần áo là x + 10 (bộ)

Thực tế, thời gian phân xưởng may xong 900 bộ quần áo là $\frac{{900}}{{x + 10}}$ (ngày)

c) Sai.

Do phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 10}} = 3$

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: $\frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 10}} = 3$

$\frac{{900\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{900x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}$

900(x + 10) – 900x = 3x(x + 10)

900x + 9 000 – 900x = 3x$^{2}$ + 30x

3x$^{2}$ + 30x – 9 000 = 0

(x – 50)(x + 60) = 0

Do đó, x – 50 = 0 hoặc x + 60 = 0.

Suy ra x = 50 (thỏa mãn) hoặc x = −60 (loại).

Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải may 50 bộ quần áo.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ban đầu, số tiền thưởng mỗi người nhận được là $\frac{{12\,\,600\,\,000}}{x}$ (đồng).

b) Đúng.

Thực tế, có 80% số công nhân tham gia hội thao nên số công nhân tham gia hội thao là 0,8x (người).

c) Sai.

Thực tế, số tiền tưởng mỗi người nhận được là $\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0{,}8x}}$ (đồng).

Vì thực tế, mỗi người nhận thêm được 105 000 đồng nên ta có phương trình:

$\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0{,}8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000}}{x} = 105\,\,000$

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: $\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0{,}8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000}}{x} = 105\,\,000$

$\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0{,}8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000 \cdot 0{,}8}}{{0{,}8x}} = 105\,\,000$

$\frac{{2\,\,520\,\,000}}{{0{,}8x}} = 105\,\,000$

0,8x = 24

x = 30 (thỏa mãn).

Vậy theo dự định, có 30 công nhân tham gia hội thao.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì chiều dài hơn chiều rộng 4 m nên chiều rộng của mảnh vườn là x – 4 (m).

b) Sai.

Chu vi của mảnh vườn là 2(x + x – 4) = 2(2x – 4) = 4x – 8 (m)

Vì chu vi mảnh vườn bằng 40 m nên ta có phương trình 4x – 8 = 40.

c) Sai.

Giải 4x – 8 = 40 được 4x = 48, suy ra x = 12.

Do đó, chiều rộng bằng 12 – 4 = 8 (m).

d) Sai.

Diện tích khu vườn là 12.8 = 96 (m$^{2}$)

Số cây cam trồng được trong vườn là: 96 : 3 = 32 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 520

Gọi x là số đôi giày mà nhóm thợ đóng được mỗi ngày theo kế hoạch (x ∈ ℕ$^{*}$).

Số đôi giày đóng được theo kế hoạch trong 26 ngày là: 26x (đôi giày)

Số đôi giày mỗi ngày đóng được thực tế là: x + 6 (đôi giày).

Tổng số đôi giày đóng được thực tế là 26x + 104 (đôi giày).

Thời gian nhóm thợ đã hoàn thành theo thực tế là: $\frac{{26x + 104}}{{x + 6}}$ (ngày).

Vì nhóm thợ hoàn thành công việc trong 24 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{26x + 104}}{{x + 6}} = 24$

Giải phương trình: $\frac{{26x + 104}}{{x + 6}} = 24$, ta được:

26x + 104 = 24(x + 6)

26x + 104 = 24x + 144

2x = 40

x = 20 (thỏa mãn).

Vậy số đôi giày phải làm theo kế hoạch là 26.20 = 520 (đôi giày).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 30

Đổi 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc ban đầu của xe ô tô là x (km/h, x > 0).

Vận tốc sau đó là 1,2x (km/h).

Thời gian dự kiến đi hết quãng đường là $\frac{{163}}{x}$ giờ.

Thời gian xe đi hết 43 km đầu là $\frac{{43}}{x}$ giờ.

Quãng đường còn lại là 163 – 43 = 120 (km).

Thời gian đi hết quãng đường còn lại là: $\frac{{120}}{{1{,}2x}}$ (giờ).

Theo bài, ta có:

$\frac{{43}}{x} + \frac{2}{3} + \frac{{120}}{{1{,}2x}} = \frac{{163}}{x}$

$43 + \frac{2}{3}x + 120 = 163$

$\frac{2}{3}x = 20$

x = 30 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc lúc đầu của xe là 30 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 18

Gọi tử số của phân số cần tìm là x (x ∈ ℤ, x ≠ 0, x ≠ −2, x ≠ 4).

Mẫu số của phân số đó là: x + 2.

Phân số đã cho là $\frac{x}{{x + 2}}$.

Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được phân số mới là

$\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x - 3}}{{x - 4}}$.

Vì phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho nên ta có phương trình $\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}$

Giải phương trình, ta có: $\frac{{\left( {x - 3} \right)x}}{{\left( {x - 4} \right)x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)x}}$

(x – 3)x = (x + 2)(x − 4)

x$^{2}$ – 3x = x$^{2}$ − 2x − 8

x$^{2}$ – 3x – x$^{2}$ + 2x + 8 = 0

x = 8 (thỏa mãn)

Mẫu số là 8 + 2 = 10

Vậy phân số cần tìm là $\frac{8}{{10}}$.

Tổng của tử và hiệu của phân số cần tìm là: 8 + 10 = 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 150

Gọi giá tiền ban đầu của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là x (nghìn đồng, x > 30).

Theo dự định, số áo bạn Hoa mua được là $\frac{{600}}{x}$ (chiếc)

Thực tế, giá tiễn mỗi chiếc áo là x – 30 (nghìn đồng)

Do đó, số áo thực tế bạn Hoa mua được là $\frac{{600}}{{x - 30}}$ (chiếc)

Thực tế, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với dự định nên ta có phương trình: $\frac{{600}}{{x - 30}} = 1{,}25 \cdot \frac{{600}}{x}$

Giải phương trình, ta được: $\frac{{600}}{{x - 30}} - 1{,}25 \cdot \frac{{600}}{x} = 0$

$\frac{{600}}{{x - 30}} - \frac{{750}}{x} = 0$

$\frac{{600x}}{{\left( {x - 30} \right)x}} - \frac{{750\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = 0$

600x – 750x + 22 500 = 0

150x = 22 5000

x = 150 (thỏa mãn)

Vậy giá tiền ban đầu của mỗi chiếc áo là 150 nghìn đồng

Hướng dẫn giải

Đáp án: 28

Gọi chữ số hàng chục là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Do đó, chữ số hàng đơn vị là 10 – x.

Giá trị của số cần tìm là 10x + 10 – x = 9x + 10.

Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn chữ số đã cho là 12 nên ta có phương trình:

x(10 – x) = 9x + 10 – 12

10x – x$^{2}$ = 9x – 2

x$^{2}$ – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

Do đó, x = 2 (thỏa mãn) hoặc x = −1 (loại).

Vậy số cần tìm là 28.