Bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: d$_{1}$: 3x – y – 7 = 0 hay y = 3x – 7

Do 3 ≠ −2 nên d$_{1}$ và d$_{2}$ là hai đường thẳng cắt nhau.

b) Đúng.

Thay x = 2, y = −1 vào d$_{1}$, d$_{2}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}3.2 - \left( { - 1} \right) - 7 = 0\\ - 2.2 + 3 - \left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.$ (đúng).

Do đó, I(2; −1) thuộc cả hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$.

c) Sai.

Thay x = 2, y = −1 vào d$_{3}$ ta được: 3.2 – 2.(−1) – 7 = 1 ≠ 0.

Do đó, đường thẳng d$_{2}$ không đi qua điểm I(2; −1).

d) Sai.

Vì hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ cùng đi qua điểm I(2; −1) nhưng d$_{3}$không đi qua điểm I(2; −1).

Do đó ba đường thẳng d$_{1}$, d$_{2}$ và d$_{3}$ không đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d$_{3}$): y = 2x + 1 nên n = 2.

b) Sai.

Ta có: (d): y = 2x + 2.

Vì A là giao điểm của (d) và (d$_{1}$) nên ta có: 2x + 2 = 5x + 1, suy ra x $= \frac{1}{3}.$

Với x = $\frac{1}{3}$ thì y = 5.$\frac{1}{3}$ + 1 = $\frac{8}{3}.$ Vậy A$\left( {\frac{1}{3};\;\,\frac{8}{3}} \right).$

c) Đúng.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm nên điểm A$\left( {\frac{1}{3};\;\,\frac{8}{3}} \right)$ thuộc đường thẳng (d$_{2}$). Do đó, $\frac{8}{3} = \frac{1}{3} + 2{\rm{m}}$, suy ra m = $\frac{7}{6}.$

d) Đúng.

Ta có: (d$_{2}$): y = x + $\frac{7}{3}$. Với x = 0 thì y = $\frac{7}{3}$.

Vậy đường thẳng (d$_{2}$) cắt trục tung tại điểm B$\left( {0;\;\,\frac{7}{3}} \right).$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Gọi A là giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d$_{1}$).

Khi đó: x + m = 2x + 1 nên x = m – 1.

Với x = m – 1 thì y = m – 1 + m = 2m – 1.

Vậy A(m – 1; 2m – 1).

b) Đúng.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm thì điểm A(m – 1; 2m – 1) thuộc đường thẳng (d$_{2}$).

Suy ra 2m – 1 = 3(m – 1) + 4 – 2m,

2m – 1 = m + 1,

m = 2.

c) Đúng.

Ta có: (d): y = x + 2. Vì C là giao điểm của đường thẳng (d) và trục Ox nên C(–2; 0).

d) Sai.

Vì D là giao điểm của đường thẳng (d) và trục Oy nên D(0; 2). Suy ra OD = 2.

Tam giác COD có: $\widehat {{\rm{COD}}} = 90^\circ$ và OC = OD nên tam giác COD vuông cân tại O.

Diện tích tam giác COD là: $\frac{1}{2}$OC.OD = $\frac{1}{2}$.2.2 = 2 (đvdt).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng y = x + 5 và y = 3x – 5.

Khi đó: x + 5 = 3x – 5. Suy ra x = 5.

Với x = 5 thì y = 5 + 5 = 10. Do đó, I (5; 10).

b) Sai.

Xét phương trình: m$^{2}$x + 1 = x + 5

(m$^{2}$ – 1)x = 4

x = $\frac{4}{{{\rm{m}}{}^2 - 1}}$.

Do đó, y = $\frac{{5{{\rm{m}}^2} - 1}}{{{\rm{m}}{}^2 - 1}}$.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là $\left( {\frac{{\rm{4}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}{\rm{;}}\,\,\frac{{{\rm{5}}{{\rm{m}}^2} - 1}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}} \right)$.

c) Đúng.

Thay x = 5, y = 10 vào d$_{1}$ được: 10 = 5m$^{2}$ + 1, suy ra m$^{2}$ $= \frac{9}{5}.$

Do đó, m $= \sqrt {\frac{9}{5}}$ hoặc m = –$\sqrt {\frac{9}{5}}$.

d) Sai.

Do phần c) ta thấy d$_{1}$ qua I(5; 10) khi m $= \sqrt {\frac{9}{5}}$ hoặc m = –$\sqrt {\frac{9}{5}}$.

Mà d$_{2}$ và d$_{3}$ cũng đi qua điểm I(5; 10).

Vậy có tất cả 2 giá trị của m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng (d): y = –x + 1; (d’): y = 3x + 2.

Khi đó: –x + 6 = 3x + 2. Suy ra x = 1.

Với x = 1 thì y = –1 + 6 = 5. Do đó, I (1; 5).

b) Đúng.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì I (1; 5) thuộc đường thẳng (d”): y = x + m.

Suy ra: 5 = 1 + m, suy ra m = 4.

Do đó, (d”): y = x + 4.

c) Sai.

Vì M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d”) với hai trục Ox và Oy nên M(–4; 0); N(0; 4).

d) Đúng.

Suy ra: OM = 4 và ON = 4.

Vậy OM + ON = 4 + 4 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Vì (d) đi qua điểm A(4; 1) nên 4 = n.1 + 2, suy ra n = 2. Do đó, (d): y = 2x + 2.

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng (d): y = 2x + 2; (d$_{1}$): y = –2x + 1.

Do đó, 2x + 2 = –2x + 1, suy ra x = $\frac{{ - 1}}{4}$.

Với x = $\frac{{ - 1}}{4}$ thì y = 2. $\frac{{ - 1}}{4}$ + 2 = $\frac{3}{2}$. Do đó, A$\left( {\frac{{ - 1}}{4};\;\,\frac{3}{2}} \right)$.

Để 3 đường thẳng đã cho đồng quy tại 1 điểm thì I$\left( {\frac{{ - 1}}{4};\;\,\frac{3}{2}} \right)$ thuộc đường thẳng (d$_{2}$): y = x + 2m.

Do đó, $\frac{3}{2} = \frac{{ - 1}}{4} + 2{\rm{m}}$, suy ra m = $\frac{7}{8}.$ Vậy n + 8m = 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = $\frac{1}{2}$x – 5 thì ta có:

$\frac{1}{2}$(m – 2) = −1 hay m = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Để song song với đường thẳng y = 2x – 3 thì đường thẳng d có hệ số a = 2.

Ta có: m – 2 = 2 hay m = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Để đường thẳng song song với trục hoành thì phương trình đường thẳng có hệ số bằng 0.

Ta có: m – 2 = 0 khi m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 14

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (d$_{1}$): y = 2x – 1, (d$_{2}$): y = x + 3.

Do đó, 2x – 1= x + 3, suy ra x = 4.

Với x = 4 thì y = 2.4 – 1= 7. Do đó, A(4; 7).

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm thì A(4; 7) thuộc đường thẳng (d$_{3}$): y = mx + n.

Do đó, 7 = 4m + n. Vậy 2n + 8m = 14.