Bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\frac{1}{4} \ne \frac{1}{2}$ nên hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m. Vậy a) đúng.

b) Đúng.

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có x = m$^{2}$ – y.

Thay x = m$^{2}$ – y vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta có: 4(m$^{2}$ – y) + 2y = 3, suy ra –2y + 4m$^{2}$ = 3 suy ra ${\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}$. Vậy ${\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}$.

c) Sai.

Với ${\rm{y}} = \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2}$ thì ${\rm{x}} = {{\rm{m}}^2} - \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2}$. Vậy ${\rm{x}} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2}$.

d) Đúng.

Ta có: ${\rm{x}} + {\rm{y}} = \frac{{ - 2{{\rm{m}}^2} + 3}}{2} + \frac{{4{{\rm{m}}^2} - 3}}{2} = \frac{{2{{\rm{m}}^2}}}{2} = {{\rm{m}}^2} \ge 0$ với mọi giá trị của m.

Vậy có vô số giá trị của m để x + y là số không âm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì $\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 2}}$ nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m. Vậy a) sai.

b) Đúng.

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 3y = 3m – 6 nên y = m – 2. Vậy y = m – 2.

c) Đúng.

Với y = m – 2 thay vào phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta có x + m – 2 = 3m – 1, suy ra x = 2m + 1.

Do đó, xy = (m – 2)(2m + 1) = 2m$^{2}$ – 3m – 2. Vậy xy = 2m$^{2}$ – 3m – 2.

d) Sai.

Ta có: $2{{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} - 2 = 2\left( {{{\rm{m}}^2} - 2 \cdot {\rm{m}} \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} - \frac{{25}}{{16}}} \right) = 2{\left( {{\rm{m}} - \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{{25}}{8} \ge - \frac{{25}}{8}$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\rm{m}} - \frac{3}{4} = 0$ nên ${\rm{m}} = \frac{3}{4}$.

Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất khi ${\rm{m}} = \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có: x = 2 – (m + 1)y.

b) Đúng.

Thay x = 2 – (m + 1)y vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có

(m + 1)[2 – (m + 1)y] + y = m + 2

2(m + 1) – (m + 1)$^{2}$y + y = m + 2

(m$^{2}$ + 2m)y = m

m(m + 2)y = m (1)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì m ≠ 0 và m ≠ –2.

Từ (1) ta có: ${\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}}$.

c) Sai.

Thay ${\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}}$ vào x = 2 – (m + 1)y ta có: ${\rm{x}} = 2 - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}$.

d) Sai.

Ta có: x – y $= \frac{{{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}} - \frac{1}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 3 - 1}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} + 2}} = 1$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\frac{{2{\rm{m}} - 1}}{{2{\rm{m}}}} \ne \frac{1}{1}$ hay –1 ≠ 1 (luôn đúng) nên hệ phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất (x; y) với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{\rm{2m}} - 1} \right){\rm{x}} + {\rm{y}} = 2\\{\rm{2mx}} + {\rm{y}} = {\rm{m}} + 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2mx}} - {\rm{x}} + {\rm{y}} = 2\\{\rm{2mx}} + {\rm{y}} = {\rm{m}} + 1\end{array} \right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta được x = m – 1.

c) Đúng.

Thay x = m – 1 vào phương trình hai trong hệ đã cho ta được

2m(m – 1) + y = m + 1

y = m + 1 – 2m$^{2}$ + 2m

y = –2m$^{2}$ + 3m + 1.

d) Đúng.

Ta có: y – 3x = –2m$^{2}$ + 3m + 1 – 3(m – 1) = –2m$^{2}$ + 4 ≤ 4 với mọi giá trị của m.

Vậy có vô số giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì $\frac{3}{1} \ne \frac{1}{2}$ nên hệ phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất (x; y) với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có: x = 1 + m – 2y.

c) Đúng.

Thay x = 1 + m – 2y vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 3(1 + m – 2y) + y = 3 + 2m hay 3 + 3m – 5y = 3 + 2m, suy ra ${\rm{y}} = \frac{{\rm{m}}}{5}$.

Thay ${\rm{y}} = \frac{{\rm{m}}}{5}$ vào x = 1 + m – 2y ta có: x = 1 + m – 2.$\frac{{\rm{m}}}{5} = \frac{{5 + 3{\rm{m}}}}{5}.$

d) Sai.

Để x và y là hai số đối nhau thì y = –x.

Do đó, $\frac{{5 + 3{\rm{m}}}}{5} = - \frac{{\rm{m}}}{5}$, suy ra 5 + 3m = –m, suy ra m = $\frac{{ - 5}}{4}.$

Vậy m = $\frac{{ - 5}}{4}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $\frac{{\rm{m}}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - {\rm{m}}}}$ suy ra m$^{2}$ ≠ 4 suy ra m ≠ 2 và m ≠ –2.

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = mx – 2m.

Thay y = mx – 2m vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 4x – m(mx – 2m) = m + 6 nên x(–m$^{2}$ + 4) + 2m$^{2}$ = m + 6 nên ${\rm{x}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 6}}{{{{\rm{m}}^2} - 4}} = \frac{{\left( {2{\rm{m}} + 3} \right)\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}}{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)\left( {{\rm{m}} + 2} \right)}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}$.

Với ${\rm{x}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}$ thì ${\rm{y}} = {\rm{m}} \cdot \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}} - 2{\rm{m}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} + 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 4{\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}$.

Để x$^{2}$ = y$^{2}$ thì ${\left( {\frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2}$

(2m + 3)$^{2}$ – m$^{2}$ = 0

(2m + 3 – m)(2m + 3 + m) = 0

(m + 3)(3m + 3) = 0

m + 3 = 0 hoặc 3m + 3 = 0

m = –3 (thỏa mãn) hoặc m = –1 (thỏa mãn).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $\frac{{\rm{1}}}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - {\rm{m}}}}$ suy ra m ≠ 1.

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có x = y + 2m.

Thay x = y + 2m vào phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có y + 2m – my = m – 2, suy ra y(1 – m) = –m – 2, suy ra ${\rm{y}} = \frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 1}}$.

Ta có: $\frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} - 1 + 3}}{{{\rm{m}} - 1}} = 1 + \frac{3}{{{\rm{m}} - 1}}$.

Để y là số nguyên thì $\frac{3}{{{\rm{m}} - 1}}$ là số nguyên, suy ra m – 1 là ước của 3.

Suy ra m – 1 Î{1; –1; –3; 3}.

Ta có bảng:

Vậy có 4 giá trị của m để y là số nguyên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Vì $\frac{3}{1} \ne \frac{1}{1}$ nên hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m.

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 2x = 2m + 2 nên x = m + 1.

Thay x = m + 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta có: m + 1 + y = 4, suy ra y = 3 – m.

Thay x = m + 1 và y = 3 – m vào A ta có:

A = (m + 1)(3 – m) + 3 – m – 1

= –m$^{2}$+ m + 5

$= - \left( {{{\rm{m}}^2} - 2 \cdot {\rm{m}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{21}}{4}$

$= - {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4}$

Vì $- {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0$ với mọi m nên ${\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4} \le \frac{{21}}{4}$ với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi ${\rm{m}} - \frac{1}{2} = 0$ nên ${\rm{m}} = \frac{1}{2}$.

Vậy ${\rm{m}} = \frac{1}{2}$ thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $\frac{{\rm{2}}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{\rm{m}}}$ suy ra m ≠ $\frac{{ - 3}}{2}$.

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = 2x – m – 1.

Thay y = 2x – m – 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 3x + m(2x – m – 1) = 2 – m, suy ra x(3 + 2m) – m$^{2}$ – m = 2 – m, suy ra ${\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}$.

Với ${\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}$ thì ${\rm{y}} = 2 \cdot \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - {\rm{m}} - 1 = \frac{{4 + 2{{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 2{\rm{m}} - 3}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{1}} - 5{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}.$

Ta có: ${\rm{2y}} - {\rm{x}} = \frac{{2\left( {{\rm{1}} - 5{\rm{m}}} \right)}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{2}} - 10{\rm{m}} - 2 - {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}$.

Để 2y – x = –5 thì $\frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = - 5$, suy ra m$^{2}$ + 10m = 15 + 10m, suy ra m$^{2}$ = 15 nên ${\rm{m}} = \sqrt {15}$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{m}} = - \sqrt {15}$ (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $\frac{{\rm{2}}}{1} \ne \frac{1}{{\rm{m}}}$ suy ra m ≠ $\frac{1}{2}$.

Từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta có x = 2 – my.

Thay x = 2 – my vào phương trình thứ nhất trong hệ đã cho ta được 2(2 – my) + y = m, suy ra 4 – (2m – 1)y = m, suy ra ${\rm{y}} = \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}}$.

Với ${\rm{y}} = \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}}$ thì ${\rm{x}} = 2 - {\rm{m}} \cdot \frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{4{\rm{m}} - 2 - 4{\rm{m}} + {{\rm{m}}^2}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{{\rm{m}}^2} - 2}}{{2{\rm{m}} - 1}}.$

Để x = y thì $\frac{{4 - {\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{{{\rm{m}}^2} - 2}}{{2{\rm{m}} - 1}}$

m$^{2}$ – 2 = 4 – m

m$^{2}$ + m – 6 = 0

m$^{2}$ + 3m – 2m – 6 = 0

m(m + 3) – 2(m + 3) = 0

(m – 2)(m + 3) = 0

m – 2 = 0 hoặc m + 3 = 0

m = 2 (thỏa mãn) hoặc m = –3 (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.