Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hằng đẳng thức đúng là: a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

8x$^{3}$ – 27y$^{3}$ = (2x)$^{3}$ – (3y)$^{3}$

= (2x – 3y)[(2x)$^{2}$ + 2x.3y + (3y$^{2}$)]

= (2x – 3y)[(2x)$^{2}$ + 6xy + (3y$^{2}$)]

= (2x – 3y)(4x$^{2}$ + 6xy + 9y$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Hằng đẳng thức a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) đúng.

(–a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = – (a + b) (a$^{2}$ + ab + b$^{2}$)

= – (a$^{3}$ + a$^{2}$b + ab$^{2}$ + a$^{2}$b + ab$^{2}$ + b$^{3}$)

= – (a$^{3}$ + 2a$^{2}$b + 2ab$^{2}$ + b$^{3}$)

= – a$^{3}$ – 2a$^{2}$b – 2ab$^{2}$ – b$^{3}$ ≠ b$^{3}$ – a$^{3}$.

– (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = – (a$^{3}$ – b$^{3}$) = b$^{3}$ – a$^{3}$.

(–a + b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = (b – a) (b$^{2}$ + ab + a$^{2}$) = b$^{3}$ – a$^{3}$.

Đáp án đúng là: C

$$\left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 36} \right)$$

$$= \left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left[ {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}}} \right) + \frac{x}{3}.6 + {6^2}} \right]$$

$= {\left( {\frac{x}{3}} \right)^3} - {6^3}$$= \frac{{{x^3}}}{{27}} - 216$.

Đáp án đúng là: A

$$\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{y}{4}} \right)^3}$$

$$= \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^2} + \frac{2}{x}.\frac{y}{4} + {{\left( {\frac{y}{4}} \right)}^2}} \right]$$

$= \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)$.

Vậy $\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

$$C = \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left( {4{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}} \right)$$

$$= \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.\frac{1}{3} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]$$

$= {\left( {2x} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$$= 8{x^3} - \frac{1}{{27}}$.

Thay $x = \frac{1}{3}$ vào biểu thức C, ta được:

$C = 8.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = \frac{8}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{7}{{27}}$.

Vậy tại $x = \frac{1}{3}$ thì giá trị biểu thức C bằng $\frac{7}{{27}}$.

Đáp án đúng là: C

(x – 2)(x + 2)(x$^{2}$ + 2x + 4)(x$^{2}$ – 2x + 4)

= (x – 2))(x$^{2}$ + 2x + 4) (x + 2)(x$^{2}$ – 2x + 4)

= (x – 2))(x$^{2}$ + 2x + 2$^{2}$) (x + 2)(x$^{2}$ – 2x + 2$^{2}$)

= (x$^{3}$ – 2$^{3}$)(x$^{3}$ + 2$^{3}$) = (x$^{3}$ – 8)(x$^{3}$ + 8)

= (x$^{3}$)$^{2}$ – 8$^{2}$= x$^{6}$ – 64.

Đáp án đúng là: B

I = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$) – (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$)

= (a$^{3}$ + b$^{3}$) – (a$^{3}$ – b$^{3}$)

= a$^{3}$ + b$^{3}$ – a$^{3}$ + b$^{3}$= 2b$^{3}$.

Đáp án đúng là: B

B = x$^{3}$ – y$^{3}$ – (x – y)$^{2}$

= (x – y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) – (x – y)$^{2}$

= (x – y)(x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$ + 3xy) – (x – y)$^{2}$

= (x – y)[(x – y)$^{2}$ + 3xy] – (x – y)$^{2}$

Thay x – y = 3 và xy = 4 vào biểu thức B, ta được:

B = 3.(3$^{2}$ + 3.4) – 3$^{2}$ = 3.21 – 9

= 3.(9 + 12) – 9 = 63 – 9 = 54.

Đáp án đúng là: A

(a + 3b)(a$^{2}$ – 3ab + b$^{2}$) – (3a – b)(9a$^{2}$ + 3ab + b$^{2}$)

= (a + 3b)(a$^{2}$ – 3ab + b$^{2}$) – (3a – b)[(3a)$^{2}$ + 3ab + b$^{2}$]

= a$^{3}$ + (3b)$^{3}$ – [(3a)$^{3}$ – b$^{3}$] = a$^{3}$ + 27b$^{3}$ – (27a$^{3}$ – b$^{3}$)

= a$^{3}$ + 27b$^{3}$ – 27a$^{3}$ + b$^{3}$= – 26a$^{3}$ + 28b$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hiệu của hai lập phương: A$^{3}$ – B$^{3}$ = (A – B )(A$^{2}$ + AB + B$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: B

27x$^{3}$ – 8y$^{3}$ = (3x)$^{3}$ – (2y)$^{3}$ = (3x – 2y)(9x$^{2}$ + 6xy + 4y$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: C

A = (–x + 2)(x$^{2}$ + 2x + 4) = (2 – x)(2$^{2}$ + 2x + x$^{2}$) = 2$^{3}$ – x$^{3}$ = 8 – x$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

A = (y – x)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) = (y – x)(y$^{2}$+ xy + x$^{2}$)= y$^{3}$ – x$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

B = (x + y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) – 2(x + y)$^{3}$ – (x – y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$)

= x$^{3}$ + y$^{3}$ – 2(x$^{3}$ + 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ + y$^{3}$) – (x$^{3}$ – y$^{3}$)

= –2x$^{3}$ – 6x$^{2}$y – 6xy$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: P = (2x – 1)(4x$^{2}$ + 2x + 1) – 8x(x – 1)$^{2}$

= 8x$^{3}$ – 1 – 8x(x$^{2}$ – 2x + 1)

= 8x$^{3}$ – 1 – 8x$^{3}$ + 16x$^{2}$ – 8x

= 16x$^{2}$ – 8x – 1.

b) Sai. Ta có: Q = (x – 2)(–x – 2) = –(x – 2)(x + 2) = –x$^{2}$ + 4.

c) Sai. Ta có: B = P + Q = 16x$^{2}$ – 8x – 1 + (–x$^{2}$ + 4) = 15x$^{2}$ – 8x + 3.

d) Sai. Xét B = 15x$^{2}$ – 8x + 3 với x là số tự nhiên

Vì 8 không chia hết cho 3, 15x$^{2}$ + 3 chia hết cho 3 nên B không chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì P = x$^{3}$ – 3$^{3}$ – (x$^{2}$ – 9) = x$^{3}$ – 27 – x$^{2}$ + 9 = x$^{3}$ – 18 – x$^{2}$.

b) Sai. Ta có: Q = [(x – 1) + 1]$^{3}$ = x$^{3}$.

c) Đúng. Ta có: C = P – Q = x$^{3}$ – 18 – x$^{2}$ – x$^{3}$ = – 18 – x$^{2}$.

d) Sai. Vì x$^{2}$≥ 0 nên – x$^{2}$ ≤ 0 suy ra C ≤ –18.

Dấu bằng xảy ra khi x = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C là – 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: M = (3x)$^{3}$ – (2y)$^{3}$ = 27x$^{3}$ – 8y$^{3}$.

b) Đúng. Ta có: N = [(3x – y) + y]$^{3}$ = 27x$^{3}$.

c) Sai. Ta có: D = M – N = 27x$^{3}$ – 8y$^{3}$ – 27x$^{3}$ = –8y$^{3}$.

d) Sai. Thay $y = - \frac{1}{2}$ vào biểu thức D ta được: $- 8 \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: P = (2x)$^{3}$ – (3y)$^{3}$ = 8x$^{3}$ – 27y$^{3}$.

b) Đúng. Ta có: Q = [(2x – y) + y]$^{3}$ = (2x)$^{3}$ = 8x$^{3}$.

c) Sai. Ta có: H = P – Q = (8x$^{3}$ – 27y$^{3}$) – 8x$^{3}$ = –27y$^{3}$.

d) Đúng. Thay $y = \frac{1}{3}$ vào biểu thức H ta được: $- 27 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: A = (4x)$^{3}$ – y$^{3}$ = 64x$^{3}$ – y$^{3}$.

b) Đúng. Ta có: B = [(4x – 2y) + 2y]$^{3}$ = (4x)$^{3}$ = 64x$^{3}$.

c) Sai. Ta có: K = A – B = (64x$^{3}$ – y$^{3}$) – 64x$^{3}$ = –y$^{3}$.

d) Sai. Thay y = –2 vào biểu thức K ta được: –(–2)$^{3}$ = –(–8) = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 27

(3x – 1)[(3x)$^{2}$ + 3x + 1] = (3x)$^{3}$ – 1 = 27x$^{3}$ – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

(x – 1)(x$^{2}$ + x + 1) = 0

x$^{3}$ – 1 = 0

x$^{3}$ = 1

x = 1.

Vậy có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

2x – 1)(4x$^{2}$ + 2x + 1) – 8x(x$^{2}$ – 2) = 15

(8x$^{3}$ – 1) – (8x$^{3}$ – 16x) = 15

16x – 1 = 15

16x = 16

x = 1.

Vậy x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 341

Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$

Hay 1$^{2}$ = a$^{2}$ + 2.(–30) + b$^{2}$

Suy ra a$^{2}$ + b$^{2}$ = 61.

(a – b)$^{2}$ = a$^{2}$– 2ab + b$^{2}$ = 61 – 2.(–30) = 121.

Vì a > b nên a – b > 0, do đó a – b = 11.

Có a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = 11.[61 – 30] = 341.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 371

Thể tích chứa nước còn lại của bể được tính là x$^{3}$ – y$^{3}$.

Ta có (x – y)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$ = 1

Hay 181 – 2xy = 1 suy ra xy = 90.

Suy ra x$^{3}$ – y$^{3}$ = (x – y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) = 1.(181 + 90) = 371

Vậy thể tích chứa nước còn lại của bể là 371 m$^{3}$.