Bài tập Luyện tập chung có đáp án

Giả sử tam giác ABC có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét $ΔABM$ vuông tại M và $ΔACM$ vuông tại M có:

AM chung.

BM = CM (chứng minh trên).

Suy ra $ΔABM=ΔACM$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Xét $ΔMNC$ có NB $\perp$ MC, CB $\perp$ MN.

Mà NB cắt CB tại B nên B là trực tâm của $ΔMNC$.

Do đó BM $\perp$ CN.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định ba điểm A, B, C nằm trên rìa mảnh tôn.

Bước 2. Xác định ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Điểm đó là tâm của mảnh tôn.

Gọi Ax là tia đối của tia AC.

Do At là tia phân giác của $\widehat{BAx}$ nên $\widehat{xAt}=\widehat{tAB}$.

Do At // BC nên $\widehat{xAt}=\widehat{ACB}$ (2 góc đồng vị).

Do At // BC nên $\widehat{tAB}=\widehat{ABC}$ (2 góc so le trong).

Mà $\widehat{xAt}=\widehat{tAB}$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét $ΔABC$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $ΔABC$ cân tại A.

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC nên GM = $\frac{1}{3}$AM.

$ΔABM$ và $ΔMBG$ có chung đường cao kẻ từ B đến AM nên tỉ số diện tích giữa $ΔMBG$ và $ΔABM$ bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.

Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM nên S$_{MBG}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ABM}$.

$ΔACM$ và $ΔMCG$ có chung đường cao kẻ từ C đến AM nên tỉ số diện tích giữa $ΔACM$ và $ΔMCG$ bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.

Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM nên S$_{MCG}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ACM}$.

Do đó S$_{MBG}$ + S$_{MCG}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ABM}$ + S$_{ACM}$

hay S$_{GBC}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ABC}$.

b) Ta có AG = 2GM nên S$_{GCA}$ = 2S$_{MCG}$; S$_{GAB}$ = 2S$_{MBG}$.

Tam giác BGM và tam giác CGM có chung đường cao kẻ từ G. Hai đáy BM và CM bằng nhau. Do đó, S$_{BGM}$ = S$_{CGM}$.

Suy ra, S$_{GBC}$ = 2S$_{MCG}$ = 2S$_{MBG}$.

Do đó S$_{GCA}$ = S$_{GAB}$ = S$_{GBC}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ABC}$.