Bài tập Khai căn bậc hai của phép nhân lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {\frac{1}{8}} .\sqrt 2 .\sqrt {125} .\sqrt {\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{1}{8}.2.125.\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left( {\sqrt {20} + \sqrt {45} - \sqrt 5 } \right).\sqrt 5 = \sqrt {20} .\sqrt 5 + \sqrt {45} .\sqrt 5 - \sqrt 5 .\sqrt 5$

$= \sqrt {100} + \sqrt {225} - 5 = 10 + 15 - 5 = 20$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} - \sqrt {24} } \right).\sqrt 6 = \sqrt {\frac{2}{3}} .\sqrt 6 + \sqrt {\frac{{50}}{3}} .\sqrt 6 - \sqrt {24} .\sqrt 6$

$= \sqrt {\frac{2}{3}.6} + \sqrt {\frac{{50}}{3}.6} - \sqrt {24.6} = \sqrt 4 + \sqrt {100} - \sqrt {144}$

$= 2 + 10 - 12 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {2.5} - \sqrt {3.5} }}{{\sqrt {4.2} - \sqrt {4.3} }} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt 5 - \sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{\sqrt 4 .\sqrt 2 - \sqrt 4 .\sqrt 3 }}$

$= \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$A = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$A = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$A = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$A = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}$

$A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

$A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$

$A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 5 - 3 = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } .\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }$

$B = \sqrt {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}$

$B = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\sqrt {x{}^2 - 1} } \right)}^2}}$

$B = \sqrt {{x^2} - x{}^2 + 1} = 1$

Đáp án đúng là: B

$A = \sqrt {\sqrt {{x^4} + 4} - x{}^2} .\sqrt {\sqrt {{x^2} + 4} + {x^2}}$

$A = \sqrt {\left( {\sqrt {{x^4} + 4} - x{}^2} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + {x^2}} \right)}$

$A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x^4} + 4} } \right)}^2} - {x^4}}$

$A = \sqrt {{x^4} + 4 - {x^4}} = \sqrt 4 = 2$.

Đáp án đúng là: D

$A = \frac{{3\sqrt a - 2a - 1}}{{4a - 4\sqrt a + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {1 - 2\sqrt a } \right)}}{{{{\left( {1 - 2\sqrt a } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt a - 1}}{{1 - 2\sqrt a }}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A = \frac{{a + 4\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{4 - a}}{{\sqrt a - 2}}$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}$

$A = \sqrt a + 2 - \left( {2 + \sqrt a } \right) = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}$

$A = \frac{{\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \left( {x - 2\sqrt x \sqrt y + y} \right)$

$A = x - \sqrt {xy} + y - x + 2\sqrt x \sqrt y - y$

$A = \sqrt {xy}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

x$_{1}$.x$_{2}$ = $\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2$.

b) Đúng.

$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 = 6.$

c) Sai.

Ta có: ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2{x_1}{x_2} = 6 + 2.2 = 10$.

d) Đúng.

Cách 1. $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$

$= \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\left( {6 - 2} \right)$

$= 4\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)$

$= 4\sqrt {3 + \sqrt 5 } + 4\sqrt {3 - \sqrt 5 }$

$= \sqrt {48 + 16\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 16\sqrt 5 }$

$= \sqrt {48 + 2.8\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.8\sqrt 5 }$

$= \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 }$

$= \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} }$

$= \sqrt {40 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} + \sqrt {40 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8}$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 8 + \sqrt {40} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {40} - \sqrt 8 } \right)}^2}}$

$= \sqrt 8 + \sqrt {40} + \sqrt {40} - \sqrt 8$

$= 2\sqrt {40}$

$= 4\sqrt {10}$.

Cách 2. Có ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 10$ nên $\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {10}$ hay ${x_1} + {x_2} = \sqrt {10}$.

Do đó, $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \sqrt {10} .\left( {6 - 2} \right) = 4\sqrt {10}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: u$_{1}$.u$_{2}$ = $\sqrt {4 - \sqrt 7 } .\sqrt {4 + \sqrt 7 } = \sqrt {\left( {4 - \sqrt 7 } \right).\left( {4 + \sqrt 7 } \right)} = \sqrt {16 - 7} = \sqrt 9 = 3$.

b) Đúng.

$u_1^2 + u_2^2 = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt 7 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {4 + \sqrt 7 } } \right)^2} = 4 - \sqrt 7 + 4 + \sqrt 7 = 8$.

c) Sai.

${\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = u_1^2 - 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 - 2.3 = 2$.

d) Đúng.

Ta có: ${\left( {{u_1} + {u_2}} \right)^2} = u_1^2 + 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 + 2.3 = 14$

$u_1^3 + u_2^3 = \left( {{u_1} + {u_2}} \right)\left( {u_1^2 - {u_1}{u_2} + u_2^2} \right) = \sqrt {14} .\left( {8 - 3} \right) = 5\sqrt {14}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có:

$a \cdot b = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } \cdot \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)} = \sqrt {{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {81 - 80} = 1$.

b) Đúng.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ = ${\left( {\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } } \right)^2} = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 = 18$.

c) Đúng.

Ta có: ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } } \right)^2}$

$= 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 - 2.\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } .\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = 18 - 2 = 16$.

d) Sai.

Ta có: $a + b = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 4\sqrt 5 + 4} + \sqrt {5 - 4\sqrt 5 + 4}$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2 + \sqrt 5 - 2 = 2\sqrt 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $x \cdot y = \sqrt {7 + \sqrt {13} } \cdot \sqrt {7 - \sqrt {13} } = \sqrt {\left( {7 + \sqrt {13} } \right)\left( {7 - \sqrt {13} } \right)} = \sqrt {36} = 6$.

b) Sai.

Ta có: ${x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {13} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {7 - \sqrt {13} } } \right)^2} = 7 + \sqrt {13} + 7 - \sqrt {13} = 14$.

c) Đúng.

Ta có: ${\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {13} } + \sqrt {7 - \sqrt {13} } } \right)^2}$

$= 7 + \sqrt {13} + 2\sqrt {7 + \sqrt {13} } .\sqrt {7 - \sqrt {13} } + 7 - \sqrt {13}$

$= 14 + 2.6 = 26$.

d) Sai.

Ta có: x$^{3}$ + y$^{3}$ = (x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$)

= $\sqrt {26} .\left( {14 - 6} \right) = 8\sqrt {26}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $a \cdot b = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} = \sqrt {25 - 24} = 1$.

b) Đúng.

Ta có: ${a^2} + {b^2} = {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2} = 5 + 2\sqrt 6 + 5 - 2\sqrt 6 = 10$.

c) Sai.

Ta có: ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } - \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2}$

$= {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} - 2\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } \cdot \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } + {\left( {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2}$

$= 5 + 2\sqrt 6 - 2 + 5 - 2\sqrt 6$

= 8.

d) Đúng.

Ta có: $\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}$

$= \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 2 = 2\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 57

Ta có: $A = \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 1} \right).\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

$= \sqrt 5 .\sqrt 5 - \sqrt 5 - \sqrt 3 .\sqrt 5 + \sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 5 - 1.1$

$= 5 - \sqrt 5 - \sqrt {15} + \sqrt 3 + \sqrt 5 - 1$

$= \left( {5 - 1} \right) + \left( {\sqrt 5 - \sqrt 5 } \right) - \sqrt {15} + \sqrt 3$

$= 4 - \sqrt {15} + \sqrt 3$.

Mà $A = a - \sqrt m + \sqrt n$ nên ta có a = 4; m = 15; n = 3.

Vậy B = a.m – n = 4.15 – 3 = 60 – 3 = 57.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Ta có: $B = \left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} }$

$= \left( {\sqrt {7.2} + \sqrt {3.2} } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} }$

$= \left( {\sqrt 7 .\sqrt 2 + \sqrt 3 .\sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} }$

$= \sqrt 2 .\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} }$

$= \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {2.\left( {5 - \sqrt {3.7} } \right)}$

$= \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {10 - 2\sqrt 3 .\sqrt 7 }$

$= \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$

$= \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)$

$= {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}$

$= 7 - 3$

$= 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Ta có: $A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$= \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$= \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$= \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$= \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }$

$= \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}$

$= \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

$= \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$

$= \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)$

$= {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}$

$= 5 - 3$

= 2.

Vậy $A = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Ta có: $A = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)$

$= \frac{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)$

$= \sqrt 3 + 2 + \sqrt 2 - \sqrt 2 - \sqrt 3$

= 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 12

Ta có: $E = \frac{{\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right) \cdot \sqrt 7 + 2\sqrt {21} }}{{\left( {2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}$

$= \frac{{\sqrt {28} \cdot \sqrt 7 - \sqrt {12} \cdot \sqrt 7 - \sqrt 7 \cdot \sqrt 7 + 2\sqrt {21} }}{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sqrt {28.7} - \sqrt {12.7} - 7 + 2\sqrt {21} }}{{9 + 4\sqrt 5 - 3}}$

$= \frac{{14 - 2\sqrt {21} - 7 + 2\sqrt {21} }}{{6 + 4\sqrt 5 }}$

$= \frac{7}{{6 + 4\sqrt 5 }}$.

Do đó, a = 7, b = 5.

Vậy a + b = 12.