Bài tập Hypebol có đáp án

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình:$\frac{{x}^{2}}{400}-\frac{{y}^{2}}{100}=1.$

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $(H):\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$.

a) Chứng minh rằng F$_{1}$M2 – F$_{2}$M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A$_{1}$(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF$_{2}$ – MF$_{1}$ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_{2}+M{F}_{1}=-2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_{1}=-a-\frac{c}{a}x$; $M{F}_{2}=a-\frac{c}{a}x.$

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A$_{2}$(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_{2}+M{F}_{1}=2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_{1}=a+\frac{c}{a}x$; $M{F}_{2}=-a+\frac{c}{a}x.$

Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a) $({H}_{1}):\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$;

b) $({H}_{2}):\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$;

c) $({H}_{3}):\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$.

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Cho điểm M(x; y) trên hypebol $(H):\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ và hai đường thẳng ${Δ}_{1}:x+\frac{a}{e}=0$; ${Δ}_{2}:x-\frac{a}{e}=0$ (Hình 7).

Gọi d(M; Δ$_{1}$), d(M; Δ$_{2}$) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ$_{1}$, Δ$_{2}$.

Ta có: $\frac{M{F}_{1}}{d(M;{Δ}_{1})}=\frac{|a+ex|}{|x+\frac{a}{e}|}=\frac{|a+ex|}{\frac{|a+ex|}{e}}=e$.

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M{F}_{2}}{d(M;{Δ}_{2})}$.

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) $({H}_{1}):\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$

b) $({H}_{2}):\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$

c) $({H}_{3}):\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Cho hypebol $(H):\frac{{x}^{2}}{144}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF$_{1}$ = 2NF$_{2}$ với F$_{1}$, F$_{2}$ là hai tiêu điểm của (H).

Cho đường tròn (C) tâm F$_{1}$, bán kính r và một điểm F$_{2}$ thoả mãn F$_{1}$F$_{2}$ = 4r.

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F$_{2}$ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).