Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc nhất đối với các ẩn x, y, z.

b) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) có thoả mãn cả ba phương trình của hệ.

Thử lại:

1 + 3 + (–2) = 2;

1 + 2 . 3 + 3 . (–2) = 1;

2 . 1 + 3 + 3 . (–2) = –1.

c) Bộ số (x; y; z) = (1; 3;–2) không thoả mãn hệ phương trình đã cho. Vì khi thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 1 + 1 + 2 = 2, đây là đẳng thức sai.

a) Bộ ba số (–3; 2;–1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (–3) + 2 . 2 – 3 . (–1) = 1, đây là đẳng thức sai.

b) Bộ ba số (–3; 2;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

–(–3) + 2 + (–1) = 4;

2 . (–3) + 2 – 3 . (–1) = –1;

3 . (–3) – 2 . (–1) = –7.

+) Từ phương trình cuối ta tính được z = 2.

+) Thay z = 2 vào phương trình thứ hai ta được y + 2 = 7, suy ra y = 5.

+) Thay y = 5 và z = 2 vào phương trình đầu ta được x + 5 – 2 . 2 = 3, suy ra x = 2.

+) Từ phương trình đầu ta tính được x = $\frac{3}{2}$

+) Thay x = $\frac{3}{2}$ vào phương trình thứ hai ta được $\frac{3}{2}$ + y = 2, suy ra y = $\frac{1}{2}$

+) Thay x = $\frac{3}{2}$ và y = $\frac{1}{2}$ vào phương trình thứ ba ta được $2.\frac{3}{2}-2.\frac{1}{2}+z=-1,$ suy ra z = –3.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = $(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-3).$

a) Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất, ta được:

(x + y – 2z) + (–x + y + 6z) = 3 = 13 $\Leftrightarrow$ 2y + 4z = 16 $\Leftrightarrow$ y + 2z = 8.

b) Nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba, ta được:

–2(x + y – 2z) + (2x + y – 9z) = –2 . 3 + (–5) $\Leftrightarrow$ –y – 5z = –11 $\Leftrightarrow$ y + 5z = 11.

Hệ mới nhận được sau hai bước trên là: $\{\begin{matrix}x+y-2z=3 \\ y+2z=8 \\ y+5z=11\end{matrix}.$

c) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ ba, ta được:

(y + 2z) – (y + 5z) = 8 – 11 $\Leftrightarrow$ –3z = –3 $\Leftrightarrow$ z = 1.

Hệ tam giác nhận được là: $\{\begin{matrix}x+y-2z=3 \\ y+2z=8 \\ z=1\end{matrix}.$

d) $\{\begin{matrix}x+y-2z=3 \\ y+2z=8 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y-2z=3 \\ y+2.1=8 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y-2z=3 \\ y=6 \\ z=1\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+6-2.1=3 \\ y=6 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-1 \\ y=6 \\ z=1\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (–1; 6; 1).

a) $\{\begin{matrix}2x+y-3z=3 \\ x+y+3z=2 \\ 3x-2y+z=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-3z=3 \\ -y-9z=-1 \\ 3x-2y+z=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-3z=3 \\ -y-9z=-1 \\ 7y-11z=11\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-3z=3 \\ -y-9z=-1 \\ -74z=4\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-3z=3 \\ -y-9(-\frac{2}{37})=-1 \\ z=-\frac{2}{37}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+\frac{55}{37}-3(-\frac{2}{37})=3 \\ y=\frac{55}{37} \\ z=-\frac{2}{37}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{25}{37} \\ y=\frac{55}{37} \\ z=-\frac{2}{37}\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = $(\frac{25}{37};\frac{55}{37};-\frac{2}{37}).$

b) $\{\begin{matrix}4x+y+3z=-3 \\ 2x+y-z=1 \\ 5x+2y=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+y+3z=-3 \\ -y+5z=-5 \\ -3y+15z=-19\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x+y+3z=-3 \\ -3y+15z=-15 \\ -3y+15z=-19\end{matrix}.$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –15 = –19, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{matrix}x+2z=-2 \\ 2x+y-z=1 \\ 4x+y+3z=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2z=-2 \\ -y+5z=-5 \\ 4x+y+3z=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2z=-2 \\ -y+5z=-5 \\ -y+5z=-5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2z=-2 \\ -y+5z=-5\end{matrix}.$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = 5z + 5. Rút x theo z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được x = –2z – 2. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(–2z – 2; 5z + 5; z) | z $\in ℝ\text{\}}.$

Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Số tiền tổng cộng là 820 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 820 (1).

– Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, suy ra $\frac{1}{2}x-y=5$ hay x – 2y = 10 (2).

– Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng, suy ra z – y = 210 hay –y + z = 210 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=820 \\ x-2y=10 \\ -y+z=210\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 310, y = 150, z = 360.

Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng.

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

–

2

=

–

3

=

1

=

5

=

2

=

1

=

2

=

–

3

=

–

1

=

2

=

–

3

=

2

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = –4.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra $y=\frac{11}{7}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra $z=\frac{12}{7}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(-4;\ \frac{11}{7};\frac{12}{7}).$

+) Ví dụ 3:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

1

=

1

=

1

=

2

=

7

=

3

=

1

=

4

=

–

5

=

7

=

–

2

=

5

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = 0.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = 1.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (0; 1; 1).

+) Ví dụ 4:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

2

=

1

=

–

1

=

5

=

1

=

1

=

1

=

3

=

5

=

4

=

2

=

1

0

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra No-Solution.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

+) Ví dụ 5:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

5

=

1

=

–

4

=

2

=

1

=

–

1

=

–

1

=

–

1

=

3

=

3

=

–

2

=

4

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra Infinite Sol.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.

+) Luyện tập 3:

a) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

2

=

1

=

–

3

=

3

=

1

=

1

=

3

=

2

=

3

=

–

2

=

1

=

–

1

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = $\frac{25}{37}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = $\frac{55}{37}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = $-\frac{2}{37}.$

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = $(\frac{25}{37};\frac{55}{37};-\frac{2}{37}).$

b) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

4

=

1

=

3

=

–

3

=

2

=

1

=

–

1

=

1

=

5

=

2

=

0

=

1

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra No-Solution.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

MODE

5

2

1

=

0

=

2

=

–

2

=

2

=

1

=

–

1

=

1

=

4

=

1

=

3

=

–

3

=

=

Ta thấy trên màn hình hiện ra Infinite Sol.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.

Giả sử mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt x, y, z (%) trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

Theo đề bài, ta có:

– Ba nhóm động vật chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng, suy ra x + y + z = 55 (1).

– Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, suy ra y – z = 0,7 (2).

– Nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú, suy ra z – x = 1,5 hay –x + z = 1,5 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=55 \\ y-z=0{,}7 \\ -x+z=1{,}5\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 17,1; y = 19,3; z = 18,6.

Vậy mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt 17,1%; 19,3%; 18,6% trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

a) Đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Bộ ba số (2; 0;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 – 2 . (–1) = 4;

2 . 2 + 0 – (–1) = 5;

–3 . 2 + 2 . 0 = –6.

b) Đây không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa y2.

a) $\{\begin{matrix}2x-y-z=20 \\ x+y=-5 \\ x=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-y-z=20 \\ 10+y=-5 \\ x=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2.10-(-15)-z=20 \\ y=-15 \\ x=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}z=15 \\ y=-15 \\ x=10\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (10; –15; 15).

b) $\{\begin{matrix}x-y-3z=20 \\ x-z=3 \\ x+3z=-7\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y-3z=20 \\ x-z=3 \\ -4z=10\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y-3z=20 \\ x-(-\frac{5}{2})=3 \\ z=-\frac{5}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y-3z=20 \\ x=\frac{1}{2} \\ z=-\frac{5}{2}\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{1}{2}-y-3(-\frac{5}{2})=20 \\ x=\frac{1}{2} \\ z=-\frac{5}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=-12 \\ x=\frac{1}{2} \\ z=-\frac{5}{2}\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{1}{2};-12;-\frac{5}{2}).$

a) $\{\begin{matrix}2x-y-z=2 \\ x+y=3 \\ x-y+z=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-y-z=2 \\ x+y=3 \\ 3x-2y=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-y-z=2 \\ x+y=3 \\ 5y=5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-y-z=2 \\ x+1=3 \\ y=1\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2.2-1-z=2 \\ x=2 \\ y=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}z=1 \\ x=2 \\ y=1\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\{\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ x+2y+z=5 \\ -x+y=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ 4x+y=7 \\ -x+y=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ 4x+y=7 \\ 5y=15\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ 4x+3=7 \\ y=3\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3.1-3-z=2 \\ x=1 \\ y=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}z=-2 \\ x=1 \\ y=3\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\{\begin{matrix}x-3y-z=-6 \\ 2x-y+2z=6 \\ 4x-7y=-6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-3y-z=-6 \\ 4x-7y=-6 \\ 4x-7y=-6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-3y-z=-6 \\ 4x-7y=-6\end{matrix}.$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7y-6}{4}.$ Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

z = x – 3y + 6 = $\frac{7y-6}{4}-3y+6=\frac{-5y+18}{4}.$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là

S = {$(\frac{7y-6}{4};y;\frac{-5y+18}{4})$ | y $\in ℝ\text{\}}.$

d) $\{\begin{matrix}x-3y-z=-6 \\ 2x-y+2z=6 \\ 4x-7y=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-3y-z=-6 \\ 4x-7y=-6 \\ 4x-7y=3\end{matrix}.$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\{\begin{matrix}3x-y-7z=2 \\ 4x-y+z=11 \\ -5x-y-9z=-22\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-7z=2 \\ -y-31z=-25 \\ -5x-y-9z=-22\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-7z=2 \\ -y-31z=-25 \\ -8y-62z=-56\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-7z=2 \\ -y-31z=-25 \\ -186z=-144\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-7z=2 \\ -y-31.\frac{24}{31}=-25 \\ z=\frac{24}{31}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{87}{31} \\ y=1 \\ z=\frac{24}{31}\end{matrix}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{87}{31};1;\frac{24}{31}).$

f) $\{\begin{matrix}2x-3y-4z=-2 \\ 5x-y-2z=3 \\ 7x-4y-6z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-3y-4z=-2 \\ -13y-16z=-16 \\ 7x-4y-6z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-3y-4z=-2 \\ -13y-16z=-16 \\ -13y-16z=-16\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-3y-4z=-2 \\ -13y-16z=-16\end{matrix}.$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = $\frac{16-16z}{13}.$Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

x = $\frac{3y+4z-2}{2}=\frac{3.\frac{16-16z}{13}+4z-2}{2}=\frac{36z+22}{26}=\frac{18z+11}{13}.$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {$(\frac{18z+11}{13};\frac{16-16z}{13};z)$| y $\in ℝ\text{\}}.$

Gọi lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, suy ra x + y = 164 (1).

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng, suy ra x + z = 156 (2).

– Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng, suy ra x – z = 8 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=164 \\ x+z=156 \\ x-z=8\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 82, y = 82, z = 74.

Vậy lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là 82, 82, 74 triệu đồng.

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng, suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra 108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X, suy ra x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=2{,}8 \\ 108x+105y+112z=301{,}8 \\ x-y=0{,}2\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

a) Vì (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\{\begin{matrix}{a}_{1}{x}_{0}+{b}_{1}{y}_{0}+{c}_{1}{z}_{0}={d}_{1} \\ {a}_{2}{x}_{0}+{b}_{2}{y}_{0}+{c}_{2}{z}_{0}={d}_{2} \\ {a}_{3}{x}_{0}+{b}_{3}{y}_{0}+{c}_{3}{z}_{0}={d}_{3}\end{matrix}$ và $\{\begin{matrix}{a}_{1}{x}_{1}+{b}_{1}{y}_{1}+{c}_{1}{z}_{1}={d}_{1} \\ {a}_{2}{x}_{1}+{b}_{2}{y}_{1}+{c}_{2}{z}_{1}={d}_{2} \\ {a}_{3}{x}_{1}+{b}_{3}{y}_{1}+{c}_{3}{z}_{1}={d}_{3}\end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}({a}_{1}{x}_{0}+{b}_{1}{y}_{0}+{c}_{1}{z}_{0})+({a}_{1}{x}_{1}+{b}_{1}{y}_{1}+{c}_{1}{z}_{1})=2{d}_{1} \\ ({a}_{2}{x}_{0}+{b}_{2}{y}_{0}+{c}_{2}{z}_{0})+({a}_{2}{x}_{1}+{b}_{2}{y}_{1}+{c}_{2}{z}_{1})=2{d}_{2} \\ ({a}_{3}{x}_{0}+{b}_{3}{y}_{0}+{c}_{3}{z}_{0})+({a}_{3}{x}_{1}+{b}_{3}{y}_{1}+{c}_{3}{z}_{1})=2{d}_{3}\end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}{a}_{1}({x}_{0}+{x}_{1})+{b}_{1}({y}_{0}+{y}_{1})+{c}_{1}({z}_{0}+{z}_{1})=2{d}_{1} \\ {a}_{2}({x}_{0}+{x}_{1})+{b}_{2}({y}_{0}+{y}_{1})+{c}_{2}({z}_{0}+{z}_{1})=2{d}_{2} \\ {a}_{3}({x}_{0}+{x}_{1})+{b}_{3}({y}_{0}+{y}_{1})+{c}_{3}({z}_{0}+{z}_{1})=2{d}_{3}\end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}{a}_{1}\frac{({x}_{0}+{x}_{1})}{2}+{b}_{1}\frac{({y}_{0}+{y}_{1})}{2}+{c}_{1}\frac{({z}_{0}+{z}_{1})}{2}={d}_{1} \\ {a}_{2}\frac{({x}_{0}+{x}_{1})}{2}+{b}_{2}\frac{({y}_{0}+{y}_{1})}{2}+{c}_{2}\frac{({z}_{0}+{z}_{1})}{2}={d}_{2} \\ {a}_{3}\frac{({x}_{0}+{x}_{1})}{2}+{b}_{3}\frac{({y}_{0}+{y}_{1})}{2}+{c}_{3}\frac{({z}_{0}+{z}_{1})}{2}={d}_{3}\end{matrix}$

Mặt khác do (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) phân biệt nên $(\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2};\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{2};\frac{{z}_{0}+{z}_{1}}{2})$ cũng đôi một phân biệt với (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1).

Do đó $(\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2};\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{2};\frac{{z}_{0}+{z}_{1}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\{\begin{matrix}{a}_{1}x+{b}_{1}y+{c}_{1}z={d}_{1} \\ {a}_{2}x+{b}_{2}y+{c}_{2}z={d}_{2} \\ {a}_{3}x+{b}_{3}y+{c}_{3}z={d}_{3}\end{matrix}$.

có (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), ..., (xn; yn; zn).

Ta chọn ra hai nghiệm (xi; yi; zi) và (xj; yj; zj) thoả mãn xi và xj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x0; x1; ...; xn}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $(\frac{{x}_{i}+{x}_{j}}{2};\frac{{y}_{i}+{y}_{j}}{2};\frac{{z}_{i}+{z}_{j}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{{x}_{i}+{x}_{j}}{2}$ khác xi, xj và $\frac{{x}_{i}+{x}_{j}}{2}$< max{xi, xj} nên $\frac{{x}_{i}+{x}_{j}}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.