Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z là:

x + y + z = 128; 3x + 2y + 6z = 476; 4x + 5y = 375.

b) Các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C là x = 40, y = 43, z = 45. Vì các số liệu này thoả mãn tất cả các hệ thức thể hiện mỗi liên hệ giữa x, y và z trong câu a); các số liệu còn lại thì không thoả mãn.

Hướng dẫn giải

– Hệ (1) không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa xz.

–Hệ (2) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

+) Bộ ba số (1; 5; 2) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

1 + 2 . 2 = 5;

2 . 1 – 5 + 2 = –1;

3 . 1 – 2 . 5 = –7.

+) Bộ ba số (1; 1; 1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 1 + 2 . 1 = 5, đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

–1 + 2 . 3 = 5;

2 . (–1) – 2 + 3 = –1;

3 . (–1) – 2 . 2 = –7.

Hướng dẫn giải

a) Các phương trình trong hệ (1) theo thứ tự có số ẩn giảm dần: phương trình thứ nhất có 3 ẩn, phương trình thứ hai có 2 ẩn và phương trình thứ ba có 1 ẩn.

Hệ phương trình có dạng như hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác.

b) Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba của hệ (2) ta được:

(2y + z) – (2y – z) = –1 – (–4) hay 2z = 3. Do đó hệ (2) tương đương với:

$\{\begin{matrix}2x-y+z=1 \\ 2y+z=-1 \\ 2z=3\end{matrix}.$

Từ phương trình thứ ba, ta có: z = 3/2

Thay z = 3/2 vào phương trình thứ hai ta được y = -5/4

Thay y = -5/4 và z = 3/2 vào phương trình thứ nhất, ta được x = -7/8

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(-\frac{7}{8};-\frac{5}{4};\frac{3}{2}).$

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{matrix}x-2y=1 \\ x+2y-z=-2 \\ x-3y+z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y=1 \\ -4y+z=3 \\ x-3y+z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y=1 \\ -4y+z=3 \\ y-z=-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y=1 \\ -4y+z=3 \\ -3z=-5\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y=1 \\ -4y+\frac{5}{3}=3 \\ z=\frac{5}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2(-\frac{1}{3})=1 \\ y=-\frac{1}{3} \\ z=\frac{5}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{1}{3} \\ y=-\frac{1}{3} \\ z=\frac{5}{3}\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}).$

b) $\{\begin{matrix}3x-y+2z=2 \\ x+2y-z=1 \\ 2x-3y+3z=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y+2z=2 \\ -7y+5z=-1 \\ 2x-3y+3z=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y+2z=2 \\ -7y+5z=-1 \\ 7y-5z=-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y+2z=2 \\ -7y+5z=-1 \\ 0y+0z=-3\end{matrix}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{matrix}x-y+z=0 \\ x-4y+2z=-1 \\ 4x-y+3z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+z=0 \\ 3y-z=1 \\ 4x-y+3z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+z=0 \\ 3y-z=1 \\ -3y+z=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+z=0 \\ 3y-z=1\end{matrix}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).

Hướng dẫn giải

(P) đi qua A(0; –1) => –1 = a . 02 + b . 0 + c hay c = –1 (1).

(P) đi qua B(1; –2) => –2 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –2 (2).

(P) đi qua C(2; –1) => –1 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –1 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}c=-1 \\ a+b+c=-2 \\ a-b+c=-1\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –1.

Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 1.

Hướng dẫn giải

a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

2

=

1

=

–

1

=

–

1

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

1

=

3

=

2

=

2

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

3

=

3

=

–

3

=

–

5

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta được x = 2/3, y = -2/3, z = 5/3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};\frac{5}{3}).$

b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

2

=

–

3

=

2

=

5

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

1

=

2

=

–

3

=

4

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

3

=

–

1

=

–

1

=

2

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta thấy màn hình hiện ra No Solution.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

1

=

–

1

=

–

1

=

–

1

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

2

=

–

1

=

1

=

–

1

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

–

4

=

3

=

1

=

3

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài ta có:

– Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng, suy ra x + y + 2z = 90000 (1).

– Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng, suy ra x + 3z = 50000 (2).

– Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng, suy ra x + 2y + 3z = 140000 (3).

b) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+2z=90000 \\ x+3z=50000 \\ x+2y+3z=140000\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 35000, y = 45000, z = 5000.

Vậy giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt lần lượt là 35000 đồng, 45000 đồng, 5000 đồng.

Hướng dẫn giải

a) và c) là các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; b) không phải hê phương trình bậc nhất ba ẩn vì chứa yz.

+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ a).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1) – 2 . 1 + 1 = –6, đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) không là nghiệm của hệ a).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1,5) – 2 . 0,25 + (–1,25) = –6, đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ c).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2 . (–1) – 4 . 1 – 3 . 1 = -1/4 đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 . (–1,5) – 4 . 0,25 – 3. (–1,25) = -1/4

3 . (–1,5) + 8 . 0,25 – 4. (–1,25) = 5/2

2 . (–1,5) + 3 . 0,25 – 2. (–1,25) = 1/4

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{matrix}2x+3y=4 \\ x-3y=2 \\ 2x+y-z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+3y=4 \\ 3x=6 \\ 2x+y-z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2\ .\ 2+3y=4 \\ x=2 \\ 2x+y-z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=0 \\ x=2 \\ 2x+y-z=3\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=0 \\ x=2 \\ 2.2+0-z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=0 \\ x=2 \\ z=1\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).

b) $\{\begin{matrix}x+y+z=2 \\ x+3y+2z=8 \\ 3x-y+z=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=2 \\ -2y-z=-6 \\ 3x-y+z=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=2 \\ -2y-z=-6 \\ 4y+2z=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=2 \\ -2y-z=-6 \\ 2y+z=1\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=2 \\ -2y-z=-6 \\ 0y+0z=-5\end{matrix}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{matrix}x-y+5z=-2 \\ 2x+y+4z=2 \\ x+2y-z=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+5z=-2 \\ -3y+6z=-6 \\ x+2y-z=4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+5z=-2 \\ -3y+6z=-6 \\ -3y+6z=-6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+5z=-2 \\ -3y+6z=-6\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-y+5z=-2 \\ -y+2z=-2\end{matrix}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z).

Hướng dẫn giải

a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

1

=

0

=

–

5

=

2

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

3

=

1

=

–

4

=

3

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

–

1

=

2

=

1

=

–

1

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta được x = 17/26, y = -1/26, z = -7/26

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{17}{26};-\frac{1}{26};-\frac{7}{26}).$

b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

2

=

–

1

=

1

=

3

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

1

=

2

=

–

1

=

1

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

3

=

1

=

–

2

=

2

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta được x = 6/5, y = 2/5, z = 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{6}{5};\frac{2}{5};1).$

c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.

Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:

Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:

1

=

2

=

–

1

=

1

=

Nhập hệ số của phương trình thứ hai:

2

=

1

=

–

2

=

2

=

Nhập hệ số của phương trình thứ ba:

4

=

–

7

=

–

4

=

4

=

Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.

Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài ta có:

– (P) có trục đối xứng x = 1, suy ra $-\frac{b}{2a}$ = 1, suy ra 2a + b = 0 (1).

– (P) đi qua điểm A(1; –4), suy ra –4 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –4 (2).

– (P) đi qua điểm B(2; –3), suy ra –3 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2a+b=0 \\ a+b+c=-4 \\ 4a+2b+c=-3\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –3.

Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 3.

b) Theo đề bài ta có:

– (P) có có đỉnh I $(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ , suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$ hay a + b = 0 (1)

và $\frac{3}{4}=a{(\frac{1}{2})}^{2}+b.\frac{1}{2}+c$ hay a + 2b + 4c = 3 (2).

– (P) đi qua điểm M(–1; 3), suy ra 3 = a . (–1)2 + b . (–1) + c hay a – b + c = 3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}a+b=0 \\ a+2b+4c=3 \\ a-b+c=3\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –1, c = 1.

Vậy phương trình của (P) là y = x2 – x + 1.

Hướng dẫn giải

Gọi số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được trong tháng đó lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Đại lí đã bán được 1299 bình gas, suy ra x + y + z = 1299 (1).

– Tổng doanh thu đạt 633960000 đồng, suy ra 520000x + 480000y + 420000z = 633960000 hay 26x + 24y + 21z = 31698 (2).

– Số bình gas loại B bằng một nửa tổng số bình gas loại A và C, suy ra y = 1/2(x + z) hay x – 2y + z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=1299 \\ 26x+24y+21z=31698 \\ x-2y+z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 624, y = 433, c = 242.

Vậy số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được trong tháng đó lần lượt là 624, 433, 242.