Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Sau bài học này ta sẽ giải được bài toán như sau:

Gọi x, y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư

Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: x + y ≤ 100

Số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình:

20x + 10y ≤ 1 200

Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là: F(x;y) = 3,5x + 2y (triệu đồng)

Bài toán trở thành tìm giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:$\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 100 \\ 20x+10y\le 1200\end{matrix}$

để F(x;y) = 3,5x + 2y là lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ bằng cách biểu diễn từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ bất phương trình (1), rồi lấy giao của các miền nghiệm ta được miền nghiệm của hệ BPT (1) là tứ giác OMNP với tọa độ các điểm O(0;0), M(0;100), N(20;80), P(60;0).

Tại O(0;0) giá trị biểu thức F(x;y) = 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.0 = 0;

Tại M(0;100) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.100 = 200;

Tại N(20;80) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.20 + 2.80 = 230;

Tại P(60;0) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.60 + 2.0 = 210;

Suy ra tại x = 20, y = 80 thì giá trị biểu thức 3,5x + 2y là lớn nhất.

Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 loại điều hòa hai chiều, 80 loại điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi số máy điều hòa hai chiều cần nhập là x; số máy điều hòa một chiều cần nhập là y ($x;y\in ℕ$). Khi đó, số tiền để mua x điều hòa hai chiều là 20x và số tiền để mua y điều hòa một chiều là 10y .

Số tiền vốn cửa hàng phải bỏ ra là 20x + 10y (triệu đồng)

a) Do nhu cầu không quá 100 máy nên x + y $\le 100$.

b) Vì số vốn mà cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn bất phương trình 20x + 10y 1 200 (triệu đồng).

c) Vì mỗi điều hòa hai chiều dự kiến lãi 3,5 triệu đồng/ máy và mỗi điều hòa một chiều dự kiến lãi 2 triệu đồng/máy nên số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu được theo x và y là: 3,5x + 2y (triệu đồng).

Từ HĐ1 ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 100 \\ 20x+10y\le 1200\end{matrix}$

Ta có x = 30 > 0, y = 50 > 0 thỏa mãn

30 + 50 = 80 ≤ 100;

20.30 + 10.50 = 1 100 ≤ 1 200

Do đó x = 30, y = 50 là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

a) Miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+) Miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

+) Xác định miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x + y ≤ 150 .

- Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0.

- Vì 0 + 0 = 0 < 150 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150

Do đó miền nghiệm D$_{3}$của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

b) Giao điểm của ba miền nghiệm D$_{1}$, D$_{2}$, D$_{3}$ là miền tam giác OAB với O(0;0), A(150;0) và B(0;150)

Do đó miền tam giác OAB (H.2.5) có là giao của các miền nghiệm D$_{1}$, D$_{2}$, D$_{3}$.

c) Điểm (1;2) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 2 > 0 và 1 + 2 = 3 < 150 nên cặp sô (x; y) = (1;2) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Điểm (1;149) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 149 > 0 và 1 + 149 = 150

≤ 150 nên cặp số (x; y) = (1;149) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Xác định miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+)Xác định miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể biên.

Miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x + y ≤ 100:

Ta vẽ đường thẳng x + y = 100 (d$_{1}$). Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm này vào x + y ta được: 0 + 0 < 100. Vậy miền nghiệm D$_{3}$ là nửa mặt phẳng bờ d$_{1}$ chứa điểm O kể cả bờ là đường thẳng d$_{1}$.

+) Xác định miền nghiệm D$_{4}$ của bất phương trình 2x + y < 120

Ta vẽ đường thẳng 2x + y = 120 (d’). Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm này vào 2x + y ta được: 2.0 + 0 < 120. Vậy miền nghiệm D$_{4}$ của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa điểm O không kể bờ là đường thẳng d’.

a) O(0; 0); B(0; 150); A(150; 0).

Ta có: F(x; y) = 2x + 3y.

Khi đó ta tính được:

F(0; 0) = 2.0 + 3.0 = 0.

F(150; 0) = 2.150 + 3.0 = 300

F(0; 150) = 2.0 + 3.150 = 150

b) Trong miền tam giác OAB, lấy một điểm M(x; y) bất kì thì ta luôn có x 0; y0 nên F(x; y) nhỏ nhất khi x = 0 và y = 0.

F(x; y) min = 2.0 + 3.0 = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là 0.

c) Vì điểm M(x; y) nằm trong miền tam giác OAB, nên tọa độ điểm M là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 150.

Hơn nữa, x ≥ 0, y ≥ 0 nên x + y ≥ 0.

Do đó ta có, 0 ≤ x + y ≤ 150 ⇔ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 300

⇔ 0 + y ≤ 2x + 2y + y ≤ 300 + y

⇔ y ≤ 2x + 3y ≤ 300 + y (1)

Mà 0 ≤ y ≤ 150 nên 300 + y ≤ 300 + 150 = 450.

Từ (1) suy ra: 0 ≤ 2x + 3y ≤ 450 hay F(x; y) ≤ 450.

Dấu “=” xảy ra khi x + y = 150 và y = 150 hay x = 0 và y = 150.

Vậy F(x; y) đạt giá trị lớn nhất là 450 tại điểm B(0; 150).

a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) $(x,y\ge 0)$.

Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250

Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)

Vì mỗi chiếc máy tính loại A có giá 10 triệu và mỗi máy tính loại B có giá 20 triệu nên tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y ≤ 4 000 hay x + 2y ≤ 400.

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 250 \\ x+2y\le 4\ 00\end{matrix}$

Ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:

+) Miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+) Miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

+) Xác định miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x + y ≤ 250.

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 250.

- Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250

Do đó miền nghiệm D$_{3}$của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm D$_{4}$ của bất phương trình x + 2y ≤ 400.

- Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400.

- Vì 0 + 2.0 = 0 < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400

Do đó miền nghiệm D$_{4}$của bất phương trình x + 2y < 400 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC với O(0;0), A(0; 200), C(100;150), B(250;0)

b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).

Vậy F(x;y) = 2,5x + 4y.

c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 250 \\ x+2y\le 4\ 00\end{matrix}$.

Người ta đã chứng minh được, giá trị F(x; y) lớn nhất tại (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh O; A; B; C.

Tại O(0; 0), ta có: F(0; 0) = 2,5 . 0 + 4 . 0 = 0;

Tại A(0; 200), ta có: F(0; 200) = 2,5 . 0 + 4 . 200 = 800;

Tại B(100; 150), ta có: F(100; 150) = 2,5 . 100 + 4 . 150 = 850;

Tại B(250; 0), ta có: F(250; 0) = 2,5 . 250 + 4 . 0 = 625.

Do đó F(x;y) lớn nhất bằng 850 tại x = 100 và y = 150.

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.

a) $\{\begin{matrix}x<0 \\ y\ge 0\end{matrix}\$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vì hệ $\{\begin{matrix}x<0 \\ y\ge 0\end{matrix}$ gồm 2 bất phương trình x < 0 và y ≥ 0, đây đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn (do x < 0 ⇔ 1x + 0y < 0 và y ≥ 0 ⇔ 0x + 1y ≥ 0).

b) $\{\begin{matrix}x+{y}^{2}<0 \\ y<0\end{matrix}$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì x + y$^{2}$ < 0 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) $\{\begin{matrix}x+y+z<0 \\ y<0\end{matrix}$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x + y + z < 0 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) $\{\begin{matrix}-2x+y<{3}^{2} \\ {4}^{2}x+3y<1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-2x+y<9 \\ 16x+3y<1\end{matrix}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) $\{\begin{matrix}y-x<-1 & \\ x>0 & \\ y<0 & \end{matrix}\$

+) Xác định miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình y – x < – 1.

- Vẽ đường thẳng d: y – x = – 1.

- Vì 0 – 0 = 0 > – 1 nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < – 1

Do đó miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình y – x < – 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0; 0) và không kể đường thẳng d.

+) Miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và không kể đường thẳng Oy.

+) Miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; – 1) và không kể đường thẳng Ox.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) $\{\begin{matrix}x\ge 0 & \\ y\ge 0 & \\ 2x+y\le 4 & \end{matrix}$

Miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x $\ge$ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và kể cả đường thẳng Oy.

Miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình y $\ge$ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) và kể cả đường thẳng Ox.

+) Xác định miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình 2x + y ≤ 4.

- Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4

- Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm (0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y $\le$ 4

Do đó miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình 2x + y $\le$ 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0; 0) và kể cả đường thẳng d.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (miền không bị gạch).

c) $\{\begin{matrix}x\ge 0 & \\ x+y>5 & \\ x-y<0 & \end{matrix}$

Miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x $\ge$ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) và kể cả đường thẳng Oy.

+) Xác định miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình x + y > 5.

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 5

- Vì 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5

Do đó miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0; 0) và không kể đường thẳng d.

+) Xác định miền nghiệm D$_{3}$của bất phương trình x – y < 0.

- Vẽ đường thẳng d’: x – y = 0

- Vì 1 - 0 = 1 > 0 nên tọa độ điểm (1; 0) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0

Do đó miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1; 0) và không kể đường thẳng d’.

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

Số kilôgam thịt bò gia đình mua là x (kg); số kilôgam thịt lợn gia đình mua là y (kg). Vì số kilôgam thịt bò mua nhiều nhất là 1,6 kg và số kilôgam thịt lợn mua nhiều nhất là 1,1 kg nên ta có:

$0\le x\le 1{,}6;0\le y\le 1{,}1$ (1)

Vì mỗi kilôgam thịt bò có chứa 800 đơn vị protein và mỗi kilôgam thịt lợn có chứa 600 đơn vị protein nên khối lượng protein có trong x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: 800x + 600y (đơn vị).

Mà mỗi ngày gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên ta có bất phương trình:

800x + 600y $\ge$900 (2)

Vì mỗi kilôgam thịt bò có chứa 200 đơn vị lipid và mỗi kilôgam thịt lợn có chứa 400 đơn vị lipid nên khối lượng lipid có trong x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: 200x + 400y (đơn vị).

Mà mỗi ngày gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipid nên ta có bất phương trình :

200x + 400y $\ge$400 (3)

Từ (1); (2); (3) ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{matrix}0\le x\le 1{,}6 & \\ 0\le y\le 1{,}1 & \\ 800x+600y\ge 900 & \\ 200x+400y\ge 400 & \end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}0\le x\le 1{,}6 & \\ 0\le y\le 1{,}1 & \\ 8x+6y\ge 9 & \\ x+2y\ge 2 & \end{matrix}$

Ta đi xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCD có trong hình vẽ trên với tọa độ các đỉnh là A(0,3; 1,1), B(0,6; 0,7), C(1,6; 0,2), D(1,6; 1,1).

b) Số tiền mua một kilôgam thịt bò là 250 nghìn đồng và số tiền mua một kilôgam thịt lợn là 160 nghìn đồng nên số tiền để mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng).

c) Người ta đã chứng minh được để số tiền mua ít nhất thì (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh tứ giác ABCD.

Ta có: F(x; y) = 250x + 160y. Khi đó:

F(0,3; 1,1) = 250 . 0,3 + 160 . 1,1 = 251;

F(0,6; 0,7) = 250 . 0,6 + 160 . 0,7 = 262;

F(1,6; 0,2) = 250 . 1,6 + 160 . 0,2 = 432;

F(1,6; 1,1) = 250 . 1,6 + 160 . 1,1 = 576;

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.