Bài tập Hàm số và đồ thị có đáp án

a) Gọi A là tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ, khi đó:

A = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22}.

b) Gọi B là tập hợp các số đo nhiệt độ đã được dự báo, khi đó:

B = {28; 27; 32; 31; 29; 27}.

c) Theo bảng 1 và hình 1 ta thấy nhiệt độ vào lúc 7h sáng ngày 01/05/2021 là 28$^{o}$C.

Dựa vào bảng ta thấy, với mỗi một mốc thời gian (t) ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của vận tốc (v). Do đó v là hàm số của t.

Tập xác định của hàm số là: D = {0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5}.

a)

Biểu thức f(x) có nghĩa nếu và chỉ nếu 2x + 7 $\ge$ 0

⇔ 2x ≥ - 7

⇔ x ≥ $-\frac{7}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = $[\frac{-7}{2};+\infty )$.

b)

Biểu thức f(x) có nghĩa nếu và chỉ nếu: ${x}^{2}-3x+2\ne 0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)\ne 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2\ne 0 \\ x-1\ne 0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ne 2 \\ x\ne 1\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số này là D = $ℝ$\{1; 2}.

a) Vì bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn nên diện tích bồn hoa là: $S=\frac{π{r}^{2}}{4}({m}^{2})$.

Do đó ta được công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r là: $S=\frac{π{r}^{2}}{4}$ với 0,5 ≤ r ≤ 3.

Khi đó, tập xác định của hàm số là D = [0,5; 3].

Vậy công thức hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo r là $S=\frac{π{r}^{2}}{4}$ với D = [0,5; 3].

b) Thay S = 0,5π vào biểu công thức hàm số trên, ta được:

$0{,}5π=\frac{π{r}^{2}}{4}\Leftrightarrow {r}^{2}=2\Leftrightarrow [\begin{matrix}r=\sqrt{2} \\ r=-\sqrt{2}\end{matrix}$

Mà r ∈ D nên $r=\sqrt{2}$ (thỏa mãn) và $r=-\sqrt{2}$(không thỏa mãn).

Vậy với r = $\sqrt{2}$ m thì bồn hoa có diện tích là 0,5π m$^{2}$$_{.}$

a) Từ bảng trên, ta thấy tập xác định D của hàm số là tập tất cả các giá trị của x:

D = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

b) Từ bảng trên ta có:

Với x = -2 thì y = f(x) = 8, ta được điểm A(-2; 8).

Với x = -1 thì y = f(x) = 3, ta được điểm B(-1; 3).

Với x = 0 thì y = f(x) = 0, ta được điểm O(0; 0).

Với x = 1 thì y = f(x) = -1, ta được điểm C(1; -1).

Với x = 2 thì y = f(x) = 0, ta được điểm D(2; 0).

Với x = 3 thì y = f(x) = 3, ta được điểm E(3; 3).

Với x = 4 thì y = f(x) = 8, ta được điểm F(4; 8).

Các điểm trên được biểu diễn trên trục tọa độ như sau:

Hàm số y = f(x) = 3x + 8 có tập xác định D = $ℝ$.

Với x = 0 thì y = f(0) = 3.0 + 8 = 8, ta được điểm A(0; 8).

Với x = -1 thì y = f(-1) = 3.(-1) + 8 = 5, ta được điểm B(-1; 5).

Đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8 là đường thẳng đi qua các điểm A(0; 8) và B(-1;5).

+) Hình 6a):

Quan sát hình vẽ ta thấy trên trục Oy, f(x$_{1}$) nằm trên f(x$_{2}$) nên f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$).

Vậy với x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ (-∞; 0) và x$_{1}$< x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$).

+) Hình 6b):

Quan sát hình vẽ ta thấy trên trục Oy, f(x$_{1}$) nằm dưới f(x$_{2}$) nên f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy với x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ (-∞; 0) và x$_{1}$< x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

a) Tập xác định của hàm số là D = [-3; 7].

Quan sát trên đồ thị hàm số, ta thấy:

Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1).

Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Trên khoảng (3; 7) đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (3; 7).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1) và (3; 7); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Hàm số y = f(x) = 5x$^{2}$ xác định trên $ℝ$ nên hàm số xác định trên khoảng (2; 5).

Lấy x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ (2; 5) thỏa mãn x$_{1}$ < x$_{2}$, ta có:

f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = 5x$_{1}$$^{2}$ – 5x$_{2}$$^{2}$ = 5(x$_{1}$$^{2}$ – x$_{2}$$^{2}$) = 5(x$_{1}$ – x$_{2}$)(x$_{1}$ + x$_{2}$) .

Vì x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ (2; 5) nên x$_{1}$ + x$_{2}$ > 0 và vì x$_{1}$ < x$_{2}$nên x$_{1}$ – x$_{2}$ < 0

Do đó 5(x$_{1}$ – x$_{2}$)(x$_{1}$ + x$_{2}$) < 0 suy ra f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 5).

a)

Điều kiện xác định của hàm số này là: $-5x+3\ge 0$

$\Leftrightarrow -5x\ge -3$

$\Leftrightarrow x\le \frac{3}{5}$

Vậy $D=(-\infty ;\frac{3}{5}]$ là tập xác định của hàm số f(x) = $\sqrt{-5x+3}$

b) Hàm số f(x) = 2 + $\frac{1}{x+3}$ xác định khi $\frac{1}{x+3}$ xác định.

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3.

Vậy $D=ℝ\backslash \text{\{}-3\}$ là tập xác định của hàm số f(x) = $2+\frac{1}{x+3}$.

Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số xác định trên [-1; 9].

Do đó tập xác định của hàm số là D = [-1; 9].

Giá trị thấp nhất của y = f(x) là – 2 tương ứng với x = 5 và giá trị cao nhất của y = f(x) là 6 tương ứng với x = 9.

Do đó tập giá trị của hàm số là [-2; 6].

a)

Tập xác định D = $ℝ$.

Lấy ${x}_{1}$,${x}_{2}$ là hai số thực tùy ý thỏa mãn ${x}_{1}$ < ${x}_{2}$, ta có:

f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (-5${x}_{1}$+ 2) – (-5${x}_{2}$+ 2) = -5x$_{1}$ + 2 + 5x$_{2}$ – 2 = -5x$_{1}$ + 5x$_{2}$ = 5(x$_{2}$ – x$_{1}$)

Vì ${x}_{1}$ < ${x}_{2}$ $\Rightarrow$ 5(x$_{2}$ – x$_{1}$) > 0 $\Rightarrow$ f(${x}_{1}$) – f(${x}_{2}$) > 0 hay f(${x}_{1}$) > f(${x}_{2}$).

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên $ℝ$

b)

Tập xác định D = $ℝ$.

Lấy ${x}_{1}$,${x}_{2}$ là hai số thực tùy ý thỏa mãn ${x}_{1}$ < ${x}_{2}$, ta có:

f(${x}_{1}$) – f(${x}_{2}$) = - x$_{1}$$^{2}$ – (-x$_{2}$$^{2}$) = ${{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}$ = (x$_{2}$ – x$_{1}$)(x$_{2}$ + x$_{1}$)

+) Với x$_{1}$, x$_{2}$∈ (-∞; 0) và x$_{1}$ < x$_{2}$, khi đó: x$_{1}$ + x$_{2}$ < 0 và x$_{2}$ – x$_{1}$ > 0

Do đó, f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 $\Rightarrow$f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$), nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

+) Với x$_{1}$, x$_{2}$∈ (-∞; 0) và x$_{1}$ < x$_{2}$, khi đó: x$_{1}$ + x$_{2}$ > 0 và x$_{2}$ – x$_{1}$ > 0

Do đó, f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 $\Rightarrow$f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Vậy hàm số f(x) = -${x}^{2}$đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Tập xác định của hàm số D = $ℝ$.

Ta có:

Với x = 0 thì f(0) = 0, ta được điểm O(0; 0).

Với x = 1 thì f(1) = 1, ta được điểm A(1; 1).

Với x = 2 thì f(2) = 2, ta được điểm B(2; 2).

Với x = 3 thì f(3) = 3, ta được điểm C(3; 3).

Với x = -1 thì f(-1) = - (-1) = 1, ta được điểm D(-1; 1).

Với x = -2 thì f(-2) = - (-2) = 2, ta được điểm E(-2; 2).

Với x = -3 thì f(-3) = - (-3) = 3, ta được điểm F(-3; 3).

Từ các điểm O(0; 0), A(1; 1), B(2; 2), C(3; 3), D(-1; 1), E(-2; 2), F(-3; 3) ta vẽ được đồ thị hàm số f(x) = |x| như sau:

Với x = 0 thì f(x) không xác định. Do đó, tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \text{\{}0\}$.

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số thì giá trị của f(x) chỉ có 1 và - 1.

Do đó tập giá trị của hàm số là {-1; 1}.

Với x = -4 < 0 thì f(-4) = -1;

Với x = -2 < 0 thì f(-2) = -1;

Với x = -1 < 0 thì f(-1) = -1;

Với x = $-\frac{1}{2}$ < 0 thì $f(-\frac{1}{2})$ = -1;

Với x = $-\frac{1}{2}$ > 0 thì $f(-\frac{1}{2})$ = 1;

Với x = 1 > 0 thì f(1) = 1;

Với x = 2 > 0 thì f(2) = 1;

Với x = 4 > 0 thì f(4) = 1.

Đồ thị hàm số gồm hai phần đường thẳng, một đường thẳng đi qua các điểm các điểm (-4; -1), (-2; -1), (-1; -1), $(-\frac{1}{2};-1)$, một đường thẳng đi qua các điểm $(\frac{1}{2};1)$; (1; 1), (2; 1), (4; 1). Ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:

a)

i) Khi di chuyển bằng xe taxi 4 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(x – 0,5) = 14 500x – 1 750 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 14 500(31 – 0,5) + 11 600(x – 31) = 11 600x + 88 150 (nghìn đồng).

Vậy hàm số f(x) được xác định như sau:

$f(x)=\{\begin{matrix}11000x\ khi\ x\le 0{,}5 \\ 14500x-1750\ khi\ 0<x<31 \\ 11600x+88150\ khi\ x\ge 31\end{matrix}$.

ii) Khi di chuyển bằng xe taxi 7 chỗ:

Nếu x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000x (nghìn đồng).

Nếu 0,5 < x < 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(x – 0,5) = 15 500x – 2 250 (nghìn đồng).

Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11 000.0,5 + 15 500(31 – 0,5) + 13 600(x – 31) = 13 600x + 56 650 (nghìn đồng).

Vậy hàm số g(x) được xác định như sau:

$g(x)=\{\begin{matrix}11000x\ khi\ x\le 0{,}5 \\ 15500x-2250\ khi\ 0<x<31 \\ 13600x+56650\ khi\ x\ge 31\end{matrix}$.

b) Có tất cả 30 hành khách nếu đặt xe 4 chỗ thì cần 8 xe, còn nếu đặt xe 7 chỗ thì cần 5 xe.

Với x ≤ 0,5, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.11 000x = 88 000x (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.11 000x = 55 000x (nghìn đồng).

Vì 55 000 < 88 000 nên 55 000x < 88 000x.

Do đó nếu quãng đường di chuyển nhỏ hơn 0,5km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với 0,5 < x < 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(14 500x – 1 750) = 116 000x – 14 000 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(15 500x – 2 250) = 77 500x – 11 250 (nghìn đồng).

Ta có: 44 000 < 116 000x – 14 000 < 3 582 000 và 27 500 < 77 500x – 11 250 < 2 391 250.

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Với x ≥ 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(11 600x + 88 150) = 92 800x + 705 200 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(13 600x + 56 650) = 68 000x + 183 250 (nghìn đồng).

Ta có: 92 800x + 705 200 ≥ 68 000x + 183 250 .

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Vậy nếu đặt xe taxi cho 30 hành khách thì nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Sự biến đổi đã tác động lên x như sau:

Khi x đi qua máy bình phương x biến đổi thành x$^{2}$;

Tiếp tục đi qua máy tăng gấp ba lần ta được 3x$^{2}$;

Tiếp sau đó đi qua máy lấy bớt đi 5 ta được 3x$^{2}$ – 5;

Vậy f(x) = 3x$^{2}$ – 5.