Bài tập Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng có đáp án

a) Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118

⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423

Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423.

b) Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)

c) Trong đa thức trên, ta có:

+ Hệ số của x2 là: –0,00188

+ Hệ số của x là: 0,94564

+ Hệ số do là: – 0,91423.

* Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0.

* Ta có thể lấy nhiều ví dụ về hàm số bậc hai, chẳng hạn như hai ví dụ sau:

+ Hàm số y = 10x2 + 3x – 7 là hàm số bậc hai.

+ Hàm số y = – 15x2 + 5 là hàm số bậc hai.

a) Ta có: y = x$^{2}$ + 2x – 3.

Với x = – 3 thì y = (– 3)$^{2}$ + 2 . (– 3) – 3 = 0.

Với x = – 2 thì y = (– 2)$^{2}$ + 2 . (– 2) – 3 = – 3.

Với x = – 1 thì y = (– 1)$^{2}$ + 2 . (– 1) – 3 = – 4.

Với x = 0 thì y = 0$^{2}$ + 2 . 0 – 3 = – 3.

Với x = 1 thì y = 1$^{2}$ + 2 . 1 – 3 = 0.

Vậy ta hoàn thành bảng như sau:

b) Ta vẽ các điểm lên mặt phẳng tọa độ như sau:

c) Đường cong cần vẽ có dạng:

d) Tọa độ điểm thấp nhất của parabol trên là (– 1; – 4).

Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = – 1.

Đồ thị hàm số trên quay bề lõm hướng lên trên.

a) Ta có: y = – x$^{2}$ + 2x + 3.

Với x = – 1 thì y = – (– 1)$^{2}$ + 2 . (– 1) + 3 = 0.

Với x = 0 thì y = – 0$^{2}$ + 2 . 0 + 3 = 3.

Với x = 1 thì y = – 1$^{2}$ + 2 . 1 + 3 = 4.

Với x = 2 thì y = – 2$^{2}$ + 2 . 2 + 3 = 3.

Với x = 3 thì y = – 3$^{2}$ + 2 . 3 + 3 = 0.

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: (– 1; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 3), (3; 0) và được vẽ lên mặt phẳng tọa độ như sau:

b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên:

c) Tọa độ điểm cao nhất là (1; 4).

Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = 1.

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm hướng xuống dưới.

a) y = x$^{2}$ – 4x – 3

Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)$^{2}$ – 4 . 1 . (– 3) = 28.

- Tọa độ đỉnh I(2; – 7).

- Trục đối xứng x = 2.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là B($2-\sqrt{7}$; 0) và C($2+\sqrt{7}$; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 3) qua trục đối xứng x = 2 là D(4; – 3).

- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x$^{2}$ – 4x – 3 như hình dưới.

b) y = x$^{2}$ + 2x + 1

Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, ∆ = 2$^{2}$ – 4 . 1 . 1 = 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 1).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là chính là đỉnh I.

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 0).

- Lấy điểm C(1; 4) thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng của C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2x + 1 như hình dưới.

c) y = – x$^{2}$ – 2

Ta có: a = – 1, b = 0, c = – 2, ∆ = 0$^{2}$ – 4 . (– 1) . (– 2) = – 8.

- Tọa độ đỉnh I(0; – 2).

- Trục đối xứng x = 0 chính là trục tung.

- Giao điểm của parabol với trục tung là đỉnh của parabol.

- Parabol không có giao điểm với trục hoành.

- Khi x = 1 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3). Điểm đối xứng với A qua trục tung là B(– 1; – 3).

- Khi x = 2 thì y = – 6 nên đồ thị hàm số đi qua điểm F(2; – 6). Điểm đối xứng với điểm F qua trục tung là G(– 2; – 6).

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = – x$^{2}$ – 2 như hình dưới.

a) Quan sát Hình 11.

+ Đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2x – 3 đi xuống trong khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1).

+ Đồ thị hàm số trên đi lên trong khoảng (– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞).

Ta có bảng biến thiên

b) Quan sát Hình 12.

+ Đồ thị hàm số y = – x$^{2}$ + 2x + 3 đi lên trong khoảng (– ∞; 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).

+ Đồ thị hàm số trên đi xuống trong khoảng (1; + ∞) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

Ta có bảng biến thiên

a) y = x$^{2}$ – 3x + 4

Ta có: a = 1 > 0, b = – 3, c = 4, ∆ = (– 3)$^{2}$ – 4 . 1 . 4 = – 7,$-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$, $-\frac{Δ}{4a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}$.

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;\frac{3}{2})$và đồng biến trên khoảng $(\frac{3}{2};+\infty )$.

Ta có bảng biến thiên:

b) y = – 2x$^{2}$ + 5

Ta có: a = – 2 < 0, b = 0, c = 5, ∆ = 0$^{2}$ – 4 . (– 2) . 5 = 40 , $-\frac{b}{2a}=0$, $-\frac{Δ}{4a}=5$.

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + ∞).

Ta có bảng biến thiên:

Cách 1: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)$^{2}$ + 118

Vì (x – 251,5)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x

⇒ – 0,00188(x – 251,5)$^{2}$ ≤ 0 với mọi x

⇒ – 0,00188(x – 251,5)$^{2}$ + 118 ≤ 118 với mọi x

Hay y ≤ 118 với mọi x

Do đó giá trị lớn nhất của y là 118 khi x – 251,5 = 0 hay x = 251,5.

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.

Cách 2: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)$^{2}$ + 118

Hay y = – 0,00188x$^{2}$ + 0,94564x – 0,91423, đây chính là hàm số bậc hai.

Ta có: a = – 0,00188 < 0 nên đồ thị hàm số trên có bề lõm hướng xuống dưới hay điểm đỉnh của đồ thị là điểm cao nhất, vậy giá trị lớn nhất cần tìm chính là tung độ của đỉnh.

Ta có: b = 0,94564, c = – 0,91423,

∆ = (0,94564)$^{2}$ – 4 . (– 0,00188) . (– 0,91423) = 0,88736

Suy ra: $-\frac{Δ}{4a}=-\frac{0{,}88736}{4.(-0{,}00188)}=118$

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.

a) y = – 3x2 là hàm số bậc hai với a = – 3, b = 0 và c = 0.

b) y = 2x(x2 – 6x + 1)

⇔ y = 2x4 – 12x2 + 2x

Hàm số này không phải là hàm số bậc hai (do bậc của đa thức là 4).

c) y = 4x(2x – 5)

⇔ y = 8x2 – 20x

Hàm số này là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0.

a) Parabol đã cho đi qua điểm M(1; 12), thay x = 1, y = 12 vào hàm số ta được:

12 = a + b + 4 ⇔ a = 8 – b (1)

Parabol đã cho đi qua điểm N(– 3; 4), thay x = – 3, y = 4 vào hàm số ta được:

4 = 9a – 3b + 4 ⇔ 3a – b = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3. (8 – b) – b = 0 ⇔ 24 – 4b = 0 ⇔ b = 6.

Suy ra a = 8 – b = 8 – 6 = 2.

Vậy y = 2x$^{2}$ + 6x + 4.

b) Parabol có đỉnh là I(– 3; – 5)

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=-3\ (3) \\ a.{(-3)}^{2}+b.(-3)+4=-5\ (4)\end{matrix}$

Từ (3) suy ra: b = 6a, thay vào (4) ta được: 9a – 3 . 6a + 4 = – 5 ⇔ a = 1

Suy ra: b = 6a = 6 . 1 = 6.

Vậy y = x$^{2}$ + 6x + 4.

a) y = 2x$^{2}$– 6x + 4

Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)$^{2}$ – 4 . 2 . 4 = 4.

- Tọa độ đỉnh $I(\frac{3}{2};-\frac{1}{2})$.

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 4).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 4) qua trục đối xứng là D(3; 4).

- Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x$^{2}$– 6x + 4 như hình vẽ dưới.

b) y = – 3x$^{2}$ – 6x – 3

Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)$^{2}$ – 4 . (– 3) . (– 3) = 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).

- Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

- Điểm đối xứng của A(0; – 3) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; – 3).

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x$^{2}$ – 6x – 3 như hình dưới.

a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 15, ta thấy trục đối xứng của hàm số là đường thẳng x = 2, tọa độ đỉnh I(2; – 1).

b) Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng (– ∞ ; 2) nên hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2). Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến trên (2; + ∞).

c) Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3) nên c = 3.

Khi đó: y = ax$^{2}$ + bx + 3.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (3; 0) nên $\{\begin{matrix}a+b+3=0 \\ 9a+3b+3=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=1 \\ b=-4\end{matrix}$

Vậy y = x$^{2}$ – 4x + 3.

a) y = 5x$^{2}$ + 4x – 1

Ta có: a = 5 > 0, b = 4, $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.5}=-\frac{2}{5}$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{2}{5})$ và đồng biến trên khoảng $(-\frac{2}{5};+\infty )$.

b) y = – 2x$^{2}$ + 8x + 6

Ta có: a = – 2 < 0, b = 8, $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2.(-2)}=2$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).

Cổng Arch có dạng hình parabol, theo đề bài parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Giả sử hàm số có dạng: y = ax$^{2}$ + bx + c (a < 0, do parabol có bề lõm hướng xuống).

Do parabol đi qua O(0; 0) nên 0 = a . 0$^{2}$ + b . 0 + c ⇔ c = 0

Khi đó: y = ax$^{2}$ + bx

Parabol đi qua điểm M(10; 43) và (162; 0) nên ta có hệ: $\{\begin{matrix}{10}^{2}.a+10.b=43 \\ {162}^{2}.a+162b=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}100a+10b=43 \\ 26244a+162b=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=\frac{-43}{1520}\ (t/m) \\ b=\frac{3483}{760}\end{matrix}$

Do đó: $y=\frac{-43}{1520}{x}^{2}+\frac{3483}{760}x$

Vì parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.

Ta có: $Δ={b}^{2}-4ac={(\frac{3483}{760})}^{2}-0={(\frac{3483}{760})}^{2}$

Tung độ của đỉnh: $-\frac{Δ}{4a}=-({(\frac{3483}{760})}^{2}:(4.\frac{-43}{1520}))\approx 186$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.