Bài tập Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ φ = 30°.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

Khi đó $\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ φ = 45°.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {8; - 4; - 8} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\sqrt 2 + 4.\sqrt 2 - 8.0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ φ = 45°.

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Suy ra $\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}}$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.

Đáp án đúng là: A

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Do $\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ > 90^\circ$ φ = 180° - 120° = 60°.

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow n \left( {1; - 1;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ α = 45°.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ ((P), (Q)) = 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (MNP) có dạng: $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1$.

Ta có $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$, $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ và $\overrightarrow n = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó $\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;m} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Có $\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + m \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {1 - 2m} \right|}}{{{m^2} + 2}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {1 - 2m} \right) = {m^2} + 2\\2\left( {1 - 2m} \right) = - {m^2} - 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 4m = 0\\{m^2} - 4m + 4 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4\\m = 2\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)$. Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$

Có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y - 1 = 0\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;1} \right)$. Gọi C'(a; b; c).

Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$. Vậy C'(1; 1; 1).

Có (A'BD) có phương trình $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'BD) là $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {C'D} = \left( { - 1;0; - 1} \right),\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - 1; - 1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {C'D} ,\overrightarrow {C'B} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C'BD).

Do đó $\cos \left( {\left( {A'BD} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Đúng. Có $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)$là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).

Có $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 0 = 0$.

Do đó hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.

c) Đúng. Có $\overrightarrow {{n_2}} \cdot \overrightarrow k = 0$ nên mặt phẳng (β) song song với trục Oz.

d) Đúng. Vì (α) ^ (β) nên ((α), (β)) = 90°. Do đó cos90° = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox có dạng: by + cz = 0.

Mà (Q) đi qua điểm K(0; 1; 1) nên b + c = 0 Û b = −c.

Chọn b = 1 Þ c = -1. Vậy (Q): y – z = 0.

b) Đúng. Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;\sqrt 2 } \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q).

Khi đó $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1 - \sqrt 2$.

c) Đúng. Có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1 - \sqrt 2 } \right|}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}$.

d) Sai. Có $\cos \varphi = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \varphi \approx 31{,}4^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$.

b) Đúng. Điểm O(0; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) đều có hoành độ bằng 0 nên chúng thuộc mặt phẳng x = 0 chính là mặt phẳng Oyz.

c) Đúng. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$$\Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0$.

Do đó mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;4;3} \right)$.

d) Sai. Có $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {61} }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)$.

b) Sai. Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vì hai vectơ $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow u$ không cùng phương nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng d.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

(Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất thì $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0 \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 90^\circ$.

d) Đúng. Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)$.

b) Sai. Khi m = 1 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 = - 3$.

c) Sai. Khi m = 0 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 76{,}4^\circ$.

d) Đúng. Có $\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 2m} \right|}}{{3\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 4{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 9\left( {2 + {m^2}} \right)$

$\Leftrightarrow 4 + 16m + 16{m^2} = 18 + 9{m^2}$$\Leftrightarrow 7{m^2} + 16m - 14 = 0$$\Leftrightarrow m = \frac{{ - 8 \pm 9\sqrt 2 }}{7}$.

Vậy có 2 giá trị của m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,59

Có $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).

Theo đề ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 3{a^2} - {b^2} - {c^2} = 0$ (1).

Mà A, B ∈ (P) nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right.$ (2).

Từ (1) và (2), ta có a = 1; b = 1; $c = - \sqrt 2$ (vì c < 0).

Do đó $a + b + c = 2 - \sqrt 2 \approx 0{,}59$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,7

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Có ${\tan ^2}\varphi = \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \frac{9}{6} - 1 = \frac{3}{6}$$\Rightarrow \tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0{,}7$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Có $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (α).

Ta có $\cos 45^\circ = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2}} }}$$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{3\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}$

$\Leftrightarrow 18\left( {1 + {m^2}} \right) = 4{\left( {2 - m} \right)^2}$$\Leftrightarrow 14{m^2} + 16m + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - \frac{1}{7}\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị của m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Mặt phẳng (R) chứa trục Ox có phương trình dạng by + cz = 0.

Suy ra $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {0;b;c} \right)$ với ${b^2} + {c^2} \ne 0$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Theo đề ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \cos \left( {\left( Q \right),\left( R \right)} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$$\Leftrightarrow \left| {b + c} \right| = \left| { - b + c} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = - b + c\\b + c = b - c\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\c = 0\end{array} \right.$.

Với b = 0 thì (R): z = 0 trùng với mặt phẳng (Oxy).

Với c = 0 thì (R): y = 0 trùng với mặt phẳng (Oxz).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 45

Có $\overrightarrow n = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt bên, $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Gọi φ là góc giữa mặt bên và mặt phẳng (Oxy).

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$.