Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì Oy (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = - \overrightarrow n$ nên d (P) (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có OA (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}$ α = 30°.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 3;\sqrt 2 } \right)$. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.4 + 1.\left( { - 3} \right) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án đúng là: C

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó $\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ φ = 60°.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 3}} = 1$ 3x – 6y + 2z + 6 = 0.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)$, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 6} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{21}}$

(d, (ABC)) ≈ 11°.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

(d, (P)) = 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 1} \right)$, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Ta có: sin(d, (Q)) = $\frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Vậy (d, (Q)) = 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;3; - 1} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{42}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {2;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

sin(MN, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Vậy (MN, (P)) = 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

sin(d, (Oxy)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

b) Đúng. $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) Đúng. sin($\Delta$, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}$.

d) Đúng. ($\Delta$, (P)) ≈ 63°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Đúng. Thay M(2; 2; 4) vào phương trình đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2 = 1 - t}\\{2 = 3 + t}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1$.

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)$

sin(d, (P)) =$\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy (d, (P)) = 45°.

d) Đúng. Gọi $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {a;b;c} \right)$ là vectơ chỉ phương của d'.

Vì d’ // (P) nên $\overrightarrow {{u_{d'}}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow a - 2 \cdot b + 2 \cdot c = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0$

⇔ a = 2b – 2c (1).

cos(d, d’) = cos(45°)

= $\frac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow$$\frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {b - a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} (2)$.

Thay (1) vào (2) ta có:

$\left| {b - \left( {2b - 2c} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {2b - 2c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow \left| {2c - b} \right| = \sqrt {5{b^2} - 8bc + 5{c^2}}$

$\Leftrightarrow {\left( {2c - b} \right)^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2} \Leftrightarrow 4{c^2} - 4bc + {b^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2b = c$.

Chọn b = 1 khi đó c = 2.

Do đó a = −2.

Vectơ chỉ phương của d’ là $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)$.

Đường thẳng d’ đi qua M(2; 2; 4) và nhận $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

b) Sai. Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u = \left( {1;1;3} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{0}{{\sqrt {66} }} = 0$.

Vậy góc giữa d và (P) bằng 0°.

c) Đúng. Do (P) // (Q) nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; −3) và nhận $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x + 1) + 2(y – 2) – 1(z + 3) = 0 hay x + 2y – z – 6 = 0.

d) Sai. Do d’ $\bot$ (P) nên $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và nhận $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 - t'}\end{array}} \right.$ (t ∈ ℝ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1; - 2;1} \right)$.

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;6; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {1;2; - 1} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{n_P}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) Sai.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 6 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {54} }} = \frac{{18}}{{3 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = 1$.

Vậy góc giữa d và (P) bằng 90°.

d) Đúng. Do d’ $\bot$ (P) nên $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {3;6; - 3} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua A(0; 1; 2) và nhận $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;6; - 3} \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.$ (t ∈ ℝ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. c) Sai.

a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)$.

b) Sai. sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {14} }} = 1$.

Do đó (d, (P)) = 90°.

c) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Do $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)$ nên d $\bot$ (P).

Vậy đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Sai. Gọi N(1 + 2t; 2+ t; −1 – 3t) thuộc d.

Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2x + y - 3z - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2 + 4t + 2 + t + 3 + 9t - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{1}{{17}}}\\{y = \frac{{11}}{7}}\\{z = \frac{2}{{17}}}\\{t = \frac{{ - 3}}{7}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {m;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {m \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {6 \cdot \left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{1}{2}$.

$\Leftrightarrow 4{\left( {2m + 1} \right)^2} = 6{m^2} + 30 \Leftrightarrow 10{m^2} + 16m - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 1}\\{m = \frac{{ - 13}}{5}}\end{array}} \right.$.

Do m nguyên dương nên m =1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;m; - 1} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| { - 2 \cdot 1 + 1 \cdot m + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{3 \cdot \sqrt {\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}$.

$\Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3 \cdot \left| m \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \Leftrightarrow 3{m^2} = 2{m^2} + 2$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - m} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - m} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{3\sqrt {\left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 9{\left( {6 - m} \right)^2} = 16\left( {{m^2} + 5} \right) \Leftrightarrow 7{m^2} + 108m - 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 2}\\{m = \frac{{ - 122}}{7}}\end{array}} \right.$.

Với m nguyên dương nên m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 90

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)$.

sin(d, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{6} = 1$.

Vậy (d, (P)) = 90°

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −9

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;0} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 2} \right)$.

Nên $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {4;2;2} \right)$.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5;12;0} \right)$.

sin(d, (α)) = $\frac{{\left| {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} }} = \frac{{44}}{{\sqrt {169} \cdot \sqrt {24} }} = \frac{{22}}{{13\sqrt 6 }}$.

Vậy a = 22, b = 13 nên b – a = −9.