Bài tập Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }\frac{7}{x-4}=-\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }7=7>0 \\ \underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }(x-4)=0 \\ x\rightarrow {4}^{-}\Rightarrow x-4<0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\rightarrow 4}{\lim }\frac{3}{\sqrt{x-4}}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }3=3>0 \\ \underset{x\rightarrow 4}{\lim }\sqrt{x-4}=0 \\ x\rightarrow 4\Rightarrow \sqrt{x-4}>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=-\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }(x-2)=1>0 \\ \underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }(x-3)=0 \\ x\rightarrow {3}^{-}\Rightarrow x-3<0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim }\frac{2x-1}{{(x-3)}^{2}}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 3}{\lim }(2x-1)=5>0 \\ \underset{x\rightarrow 3}{\lim }{(x-3)}^{2}=0 \\ x\rightarrow 3\Rightarrow {(x-3)}^{2}>0\end{matrix}$

Đáp án đúng là: B

$\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{{x}^{2}+x}{{(x+1)}^{3}}=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{x(x+1)}{{(x+1)}^{3}}=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{x}{{(x+1)}^{2}}=-\infty$.

Vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow -1}{\lim }x=-1<0 \\ \underset{x\rightarrow -1}{\lim }{(x+1)}^{2}=0 \\ x\rightarrow -1\Rightarrow {(x+1)}^{2}>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: B

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}})=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x-1}{{x}^{2}}=-\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(x-1)=-1<0 \\ \underset{x\rightarrow 0}{\lim }{x}^{2}=0 \\ x\rightarrow 0\Rightarrow {x}^{2}>0\end{matrix}$

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2}{|x|}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 0}{\lim }2=2>0 \\ \underset{x\rightarrow 0}{\lim }|x|=0 \\ x\rightarrow 0\Rightarrow |x|>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x+3}{|x|}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(x+3)=3>0 \\ \underset{x\rightarrow 0}{\lim }|x|=0 \\ x\rightarrow 0\Rightarrow |x|>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }\frac{x-3}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }\frac{x-3}{3-x}=\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }(-1)=-1$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}-6x+9}=\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{{(x-3)}^{2}}=\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }(x-2)=1>0 \\ \underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }(x-3)=0 \\ x\rightarrow {3}^{+}\Rightarrow (x-3)>0\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x - 3}} = - \infty$

(vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {3x + 2} \right) = 3 \cdot 3 + 2 = 11 > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0$; x – 3 < 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{x + 2 - 1}}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}}} \right) = - \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3 > 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0$ và x$^{2}$ – 4 < 0 với mọi x $\in$ (-2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {4x - 3} \right) = 1 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = - \infty$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\,\,và \,\,\sqrt {x - 2} > 0,\forall x > 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x - 1} \right) = 1 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. $f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$.

b) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 8$.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 3$.

d) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {3x - 1} \right) = 5 > 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0;\,\,x - 2 > 0$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \left[ {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 1} \right] = - 9$.

b) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a}$.

c) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + a} }}{{1 - x}};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a} > 0,\forall a > 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 - x} \right) = 0$ và 1 – x < 0 khi x $\rightarrow$ 1$^{+}$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + a} }}{{1 - x}} = - \infty$.

d) Đúng. Để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right);\,\,\,f\left( 1 \right) = 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a}$

Suy ra để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ thì $\sqrt {1 + a} = 3 \Leftrightarrow a = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {\left( {x - 3} \right)^3} = 0$

b) Sai. Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = 0,\forall x > 3$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {f\left( x \right) \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right)$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty$

nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {f\left( x \right) \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right) = - \infty$

d) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right]$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)}}} \right]$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right] = - \infty$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì x $\rightarrow$ 2$^{+}$ nên x – 2 > 0 Û |x – 2| = x – 2.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{x - 2}}$.

b) Sai. Vì $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) = - 1 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\\{x^2} > 0\,\,khi\,\,x \to 0\end{array} \right.\, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty$.

c) Đúng. Khi x $\rightarrow$ 2$^{-}$ thì |x – 2| = -x + 2

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x + 2} \right) = 0\\ - x + 2 > 0\,\,khi\,\,x \to {2^ - }\end{array} \right.$nên$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{ - x + 2}} = + \infty$

d) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{x}{{\left| {x - 2} \right|}} \cdot \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{1}{x} \cdot \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}}} \right]$

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}} = - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} \cdot \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}} = - \infty$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét x $\rightarrow$ 1$^{-}$. Ta có: (x – 1)$^{2}$ > 0, với mọi x ¹ 1.

Khi x $\rightarrow$ 1 thì (x – 1)$^{2}$ $\rightarrow$ 0$^{+}$. Do đó, $f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ là một số âm có độ lớn ngày càng lớn.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \infty$

b) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \infty$.

c) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty$. Vậy tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \infty$.

d) Sai. Khi x đủ gần 1, $f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$< 0, tức f(x) luôn âm. Vậy nên không thể lớn hơn một số dương M > 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Khi x $\rightarrow$ 1, thì (x – 1)$^{2}$ $\rightarrow$ 0 và (x – 1)$^{2}$ > 0, với mọi x $\ne$ 1.

Để giới hạn của hàm số bằng +$\infty$ thì m + 4 > 0 $\Leftrightarrow$ m > -4.

Do đó, m $\in$ {-3; -2; -1; ...}

Vậy số nguyên nhỏ nhất là m = -3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{m \cdot f\left( x \right)}}{{20}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{m \cdot \frac{{20}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}}{{20}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{m}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

Khi x $\rightarrow$ 2, ta có (x – 2)$^{2}$ $\rightarrow$ 0 và (x – 2)$^{2}$ > 0 với mọi x $\ne$ 2.

Để giới hạn bằng +$\infty$ thì m > 0.

Do m$\in$ [-3; 3] mà m > 0 và m $\in$ ℤ thì m {1; 2; 3}. Vậy S = 1 + 2 + 3 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4.

Vì x $\rightarrow$ 3$^{+}$ nên (x – 3) > 0. Để $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ thì m – 5 < 0 $\Leftrightarrow$ m < 5.

Mà m < 10 và m < 5 nên giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {ax - 5} \right) = - 2a - 5$

Mặt khác (x + 2)$^{2}$ > 0, "x -2 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} \right)^2} = 0$

Để$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - \infty$ thì -2a – 5 < 0 $\Rightarrow$ -2a < 5 $\Leftrightarrow$ a > $- \frac{5}{2}$.

Do đó, m = 5, n = 2 $\Rightarrow$ m + n = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 720.

Ta có: a + b = 2 $\Rightarrow$ b = 2 – a.

Khi đó, $f\left( x \right) = \frac{{ax + 2 - a}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {ax + 2 - a} \right) = 2a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} > 0\,\,khi\,\,x \to 3\end{array} \right.$.

Để $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = + \infty$ thì 2a + 2 > 0 $\Leftrightarrow$ a > -1.

Do a $\in$ [1; 6] mà a > $-1$ và a $\in$ ℤ nên a $\in$ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do đó, S = 1.2.3.4.5.6 = 720.