Bài tập Giải tam giác vuông lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Ta có ABC vuông tại A, suy ra $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$.

Mà $\widehat C = 30^\circ$ suy ra $\widehat B = 60^\circ$.

Ta có: AC = AB.tan$\widehat B$ = 14.tan60°, suy ra AC = $14\sqrt 3$ cm.

cosB = $\frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{{AB}}{{0{,}5}} = 28$ (cm).

Vậy $\widehat B = 60^\circ$; AC = $14\sqrt 3$ cm; BC = 28 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ABC vuông tại B.

Suy ra $\widehat A + \widehat C = 90^\circ$.

Mà $\widehat A = 52^\circ$ suy ra $\widehat C = 38^\circ$.

Ta có: AB = AC.sinC = 15.sin38° ≈ 9,2 cm.

BC = AC.sinA = 15.sin52° ≈ 11,8 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: tanB = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{11}}{{7\sqrt 2 }}$ = 1,1145.

Suy ra $\widehat B = 48^\circ$.

Lại có $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ suy ra $\widehat C = 42^\circ$.

Áp dụng định lí Pytagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = ($7\sqrt 2$)$^{2}$ + 11$^{2}$ = 219.

Suy ra $BC = \sqrt {219} \approx 14{,}8$ cm.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

cosB = $\frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\cos 51^\circ = \frac{{3{,}8}}{{BC}}$ suy ra BC = 6 cm.

AC = cos51°.BC = cos51°.BC = 4,6 cm.

b) Ta có: $\widehat C = 60^\circ$, suy ra $\widehat B = 30^\circ$.

Do đó, AB = sin60°.11 = 8,6 cm.

AC = cos60°.11 = 4,3 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: sin A = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{16}}{{20}} = 0{,}8$ suy ra $\widehat A \approx 53^\circ$.

Ta có: $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 45^\circ } \right) = 70^\circ$.

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

BH = cos 65°.AB = cos65°.2,8 ≈ 1,2 cm.

AH = sin 65°.AB = sin65°.2,8 ≈2,5 cm.

Xét tam giác HAC, ta có: $\widehat {AHC} = 90^\circ ,\widehat {HCA} = 45^\circ$.

Suy ra, tam giác HAC vuông cân tại H.

Do đó, AH = HC = 2,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có AH$^{2}$ + HC$^{2}$ = AC$^{2}$

Suy ra AC = $2{,}5\sqrt 2$ ≈ 3,5 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,2 + 2,5 = 3,7 cm.

Vậy có BC = 3,7 cm, AC = 3,5 cm và $\widehat {BAC} = 70^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 40^\circ } \right) = 75^\circ$.

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

tan 65° = $\frac{{AH}}{{BH}}$, suy ra BH = $\frac{{AH}}{{\tan 65^\circ }}$.

Xét tam giác HAC, ta có:

tan 40° = $\frac{{AH}}{{CH}}$, suy ra CH = $\frac{{AH}}{{\tan 40^\circ }}$.

Ta có: BC = BH + HC = $\frac{{AH}}{{\tan 40^\circ }}$ + $\frac{{AH}}{{\tan 65^\circ }}$ = AH. $\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} + \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right)$.

Do đó, AH = $\frac{1}{{\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} + \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right)}} \approx 2{,}5$ cm.

Xét tam giác vuông AHB, ta có: sin 65° = $\frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra AB = $\frac{{AH}}{{\sin 65^\circ }} \approx 2{,}8$ cm.

Xét tam giác vuông AHC, ta có: sin 40° = $\frac{{AH}}{{AC}}$, suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin 40^\circ }} \approx 3{,}9$ cm.

Vậy có BA = 2,8 cm, AC = 3,9 cm và $\widehat {BAC} = 75^\circ$.

Hướng dẫn giải

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Xét tam giác BHA vuông tại H, ta có:

AH = sin 70°.AB = sin 70°.2,1 ≈ 2.

BH = cos 70°.AB = cos 70°.2,1 ≈ 0,7.

Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có:

sinC = $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{3{,}8}}$ suy ra $\widehat C \approx 32^\circ$.

HC = cosC.AC = cos 32°. 3,8 ≈ 3,2.

Do đó, BC = BH + HC = 3,2 + 0,7 = 3,9 cm.

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ + 32^\circ } \right) = 78^\circ$

Vậy BC = 3,9 cm và $\widehat {BAC} = 78^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = sin 60°.AB = sin 60°.3 = $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

BH = cos 60°. AB = cos 60°. 3 = 1,5.

Tao có BH + HC = BC, suy ra HC = BC – BH = 4,5 – 1,5 = 3.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

$\tan C = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}:3 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\widehat C \approx 41^\circ$.

$\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$ suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}:\sin 41^\circ \approx 4$

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 41^\circ } \right) = 79^\circ$.

Vậy AC = 4, $\widehat C = 41^\circ ,\widehat A = 79^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông AHC, ta có:

$\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$, suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{6}{{\sin 35^\circ }} \approx 10{,}5$.

HC = cos 35°. AC = cos 35°. 10,5 ≈ 8,6.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = cot 40°.AH = cot 40°. 6 ≈ 7,2.

sin B = $\frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra $AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin 40^\circ }} \approx 9{,}3$.

Ta có BC = BH + HC = 8,6 + 7,2 = 15,8.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 35^\circ } \right) = 105^\circ$.

Vậy AC = 10,5, AB = 9,3; BC = 15,8 và $\widehat {BAC} = 105^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB.AC = \frac{1}{2}.4{,}5.6 = 13{,}5\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

6$^{2}$ + 4,5$^{2}$ = BC$^{2}$

BC$^{2}$ = 56,25

BC = 7,5 cm > 7 cm.

c) Đúng.

Có sinB = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{4{,}5}}{{7{,}5}} = \frac{3}{5}$, do đó $\widehat B \approx 36^\circ 52'$.

d) Sai.

Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB.AC = \frac{1}{2}BC.AH$

Suy ra $\frac{1}{2}BC.AH = 13{,}5$ nên BC.AH = 27, suy ra AH = 27 : 7,5 = 3,6 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: tanB = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$ nên AC = $AB.\frac{5}{{12}} = 6.\frac{5}{{12}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

6$^{2}$ + 2,5$^{2}$ = BC$^{2}$

BC$^{2}$ = 42,25

BC = 6,5 (cm)

c) Sai.

Vì $\tan B = \frac{5}{{12}}$ nên tính được $\widehat B \approx 23^\circ$.

d) Sai.

Có $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ nên $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại A, có $\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

b) Đúng.

Ta có: $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$, suy ra AB = BC.sin C = 4,5.sin 35°.

c) Sai.

Ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}$, suy ra AC = BC.cos C = 4,5.cos 35°.

d) Đúng.

Chu vi của tam giác ABC là:

AB + BC + AC = 4,5 + 4,5.sin 35° + 4,5.cos 35° ≈10,77 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{4{,}0}}{{4{,}8}} = \frac{5}{6}.$

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, được:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$, suy ra $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}$

nên $AB = \sqrt {{{4{,}8}^2} - {{4{,}0}^2}} \approx 2{,}65$ (cm)

c) Sai.

Ta có: $\cos C = \sin B = \,\frac{5}{6}$, do đó $\widehat C \approx 34^\circ .$

d) Sai.

Chu vi tam giác ABC là: 4,0 + 4,8 + 2,65 = 11,45 (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, được:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$, do đó $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Đúng.

Ta có: $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.$

c) Đúng.

Vì $\sin C = \frac{3}{5}$ nên $\widehat C \approx 37^\circ$.

d) Sai.

Có $\sin C = \cos B = \frac{3}{5}$ (hai góc phụ nhau) nên $\widehat B \approx 53^\circ$.

Do đó, hiệu số đo hai góc B và C là: 53° − 37° = 16°

Hướng dẫn giải

Đáp án: 54

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$, do đó, tính được $\widehat B \approx 54^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 28,9

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sin B = $\frac{{AC}}{{BC}}$ nên AC = BC.sin B = 12.sin 40° ≈ 7,7 cm.

cos B = $\frac{{AB}}{{BC}}$ nên AB = BC.cos B = 12.cos 40° ≈ 9,2 cm.

Vậy chu vi của tam giác ABC là: 7,7 + 9,2 + 12 = 28,9 (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 18,4

Xét tam giác NMI vuông tại I, có: $\tan N = \frac{{MI}}{{NI}}$ nên NI = $\frac{{MI}}{{\tan N}} = \frac{{11{,}5}}{{\tan 70^\circ }} \approx 4{,}2$ (cm)

Xét tam giác MIP vuông tại I, có: $\tan P = \frac{{MI}}{{IP}}$ nên IP = $\frac{{MP}}{{\tan P}} = \frac{{11{,}5}}{{\tan 38^\circ }} \approx 14{,}2$ (cm).

Do đó, NP = NI + IP = 4,2 + 14,2 = 18,4 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 17,1

Ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên AC = AB.tan B = 3,1.tan65°

$\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{{3{,}1}}{{\cos 65^\circ }}$.

Do đó, chu vi tam giác ABC là:

$AB + BC + AC = \frac{{3{,}1}}{{\cos 65^\circ }} + 3{,}1 + 3{,}1.\tan 65^\circ \approx 17{,}1$ (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 28

Ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{4{,}5}}{{2{,}7}} = \frac{5}{3}$, do đó $\widehat B \approx 59^\circ$.

Vì hai góc B và C phụ nhau nên $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

Vậy hiệu số đo hai góc B và C là:

$\widehat B - \widehat C = 59^\circ - 31^\circ = 28^\circ$.