Bài tập Giải tam giác có đáp án

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AB . AC . cos A = c$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.b.c.cosα

$\Rightarrow BC=\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}-2bc\cos α}$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$.

Vậy $\cos A=\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R. Ta có định lí sin:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$.

a) Xét các trường hợp:

+ Với $\widehat{A}<90^{\circ}$

Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.

+ Với $\widehat{A}=90^{\circ}$

Khi đó, BH = BA = c = c sin A.

+ Với $\widehat{A}>90^{\circ}$

Xét tam giác AHB vuông, ta có: $\widehat{BAH}=180^{\circ}-\widehat{A}$.

Do đó BH = AB . sin(180° – $\widehat{A}$) = AB . sin A = c sin A.

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.

b) Ta có: $S=\frac{1}{2}AC\ .\ BH=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra $\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(60^{\circ}+45^{\circ})=75^{\circ}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{12.\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=6\sqrt{6}$.

Diện tích tam giác ABC là

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$$=\frac{1}{2}.12.6\sqrt{6}.\sin 75^{\circ}=54+18\sqrt{3}\approx 85{,}2$.

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$ (1)

Ta lại có: sin$^{2}$ A + cos$^{2}$ A = 1

Do đó: sin$^{2}$ A = 1 – cos$^{2}$ A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\widehat{A}$< 180° nên sin A > 0.

Nên $\sin A=\sqrt{1-\ {\cos }^{2}A}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\sin A=\sqrt{1-{(\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc})}^{2}}$$=\sqrt{\frac{{(2bc)}^{2}}{{(2bc)}^{2}}-\frac{{({b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2})}^{2}}{{(2bc)}^{2}}}$

$=\sqrt{\frac{{(2bc)}^{2}-{({b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2})}^{2}}{{(2bc)}^{2}}}$$=\sqrt{\frac{(2bc+{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2})(2bc-{b}^{2}-{c}^{2}+{a}^{2})}{{(2bc)}^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{({(b+c)}^{2}-{a}^{2})({a}^{2}-{(b-c)}^{2})}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}}{2bc}$

$=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)}}{2bc}$

Lại có $p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow a+b+c=2p$

Khi đó: $\sin A=\frac{\sqrt{2p.(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2bc}$

Vậy $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

b) Diện tích tam giác ABC là $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Nên $S=\frac{1}{2}bc.\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Vậy $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Giả sử toà nhà là AB, AB = 18,5 m; giác kế AC = 1,5 m; chiều cao của cái cây là DE; khoảng cách từ tòa nhà tới cây là BD = 30 m; góc tạo bởi phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là $\widehat{FCD}=34^{\circ}$, góc tạo bởi phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là $\widehat{FCE}=24^{\circ}$. Ta cần tính DE.

Hình vẽ mô phỏng:

Ta có: BC = BA + AC = 18,5 + 1,5 = 20 (m).

Tam giác BCD vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có:

CD$^{2}$ = BC$^{2}$ + BD$^{2}$ = 20$^{2}$ + 30$^{2}$ = 1300 $\Rightarrow CD=10\sqrt{13}$ (m).

Lại có: $\widehat{FCD}=\widehat{FCE}+\widehat{ECD}$

$\Rightarrow \widehat{ECD}=\widehat{FCD}-\widehat{FCE}=34^{\circ}-24^{\circ}=10^{\circ}$

CF // BD $\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{FCD}=34^{\circ}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{CDE}=90^{\circ}-\widehat{CDB}=90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}$

Tam giác CDE có $\widehat{ECD}+\widehat{CDE}+\widehat{CED}=180^{\circ}$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{CED}=180^{\circ}-(\widehat{ECD}+\widehat{CDE})=180^{\circ}-(10^{\circ}+56^{\circ})=114^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác CDE ta có: $\frac{CD}{\sin \widehat{CED}}=\frac{DE}{\sin \widehat{ECD}}$

$\Rightarrow DE=\frac{CD.\sin \widehat{ECD}}{\sin \widehat{CED}}=\frac{10\sqrt{13}.\sin 10^{\circ}}{\sin 114^{\circ}}\approx 6{,}6$ (m).

Vậy chiều cao của cây khoảng 6,6 m.

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2 . AC . BC . cos C = 12$^{2}$ + 15$^{2}$ – 2 . 12 . 15 . cos 120° = 549

$\Rightarrow AB=3\sqrt{61}$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{BC.\sin C}{AB}=\frac{12.\sin 120^{\circ}}{3\sqrt{61}}=\frac{2\sqrt{183}}{61}$

Do đó: $\widehat{A}\approx 26^{\circ}$.

Lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{C})=180^{\circ}-(26^{\circ}+120^{\circ})=34^{\circ}$.

c) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.3\sqrt{61}.15.\frac{2\sqrt{183}}{61}=45\sqrt{3}$ (đvdt).

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120^{\circ}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Do đó: $\widehat{C}\approx 38^{\circ}$.

Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{C})=180^{\circ}-(120^{\circ}+38^{\circ})=22^{\circ}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2 . AB . AC . sin B = 5$^{2}$ + 7$^{2}$ – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.

Đặt AH = x.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=180^{\circ}$( kề bù).

$\Rightarrow \widehat{CAH}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.

Tam giác ACH vuông tại H nên

$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60^{\circ}}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$.

Và BC$^{2}$ = BH$^{2}$ + CH$^{2}$ = (BA + AH)$^{2}$ + CH$^{2}$

Thay số: 7$^{2}$ = (5 + x)$^{2}$ + 3x$^{2}$ (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.

a) Tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(100^{\circ}+45^{\circ})=35^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Suy ra: $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{100.\sin 100^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}\approx 139{,}3$;

$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{100.\sin 35^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}\approx 81{,}1$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}BC.CA.\sin C=\frac{1}{2}.81{,}1.139{,}3.\sin 45^{\circ}\approx 3994$ (đvdt).

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=\frac{{12}^{2}+{15}^{2}-{20}^{2}}{2.12.15}=-\frac{31}{360}$

$\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{{12}^{2}+{20}^{2}-{15}^{2}}{2.12.20}=\frac{319}{480}$

$\cos C=\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}{2.BC.AC}=\frac{{20}^{2}+{15}^{2}-{12}^{2}}{2.20.15}=\frac{481}{600}$

Do đó: $\widehat{A}\approx 95^{\circ};\ \widehat{B}\approx 48^{\circ};\ \widehat{C}\approx 37^{\circ}$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.12.15.\sin 95\approx 90$ (đvdt).

* Hình 29: Góc B nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{5{,}2.\sin 40^{\circ}}{3{,}6}\approx 0{,}93$.

Do đó: $\widehat{B}\approx 68^{\circ}$.

Lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{B})=180^{\circ}-(40^{\circ}+68^{\circ})=72^{\circ}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)$^{2}$ + (3,6)$^{2}$ – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43

⇒ AB ≈ 5,33 (m).

* Hình 30: Góc B tù.

Khi đó: $\widehat{B}=180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$.

Ta tính được: $\widehat{C}=28^{\circ}$.

Do đó:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)$^{2}$ + (3,6)$^{2}$ – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94

⇒ AB ≈ 2,63 (m).

Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Đổi 1 km = 1 000 m.

Tam giác ABC có AC = 1 000 m, CB = 800 m, $\widehat{ACB}=105^{\circ}$.

Áp dụng định lí côsin ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + CB$^{2}$ – 2 . AC . CB . cosACB

= 1 000$^{2}$ + 800$^{2}$ – 2 . 1 000 . 800 . cos 105°

≈ 2 054 110,5

Do đó: AB ≈ 1 433,2 m.

Vậy khoảng cách AB khoảng 1 433,2 m.

Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có: $\widehat{CBH}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.

Nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=\widehat{CBH}$.

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{BAC}=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{30.\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=30\sqrt{2}$.

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

$\Rightarrow CH=BC.\sin \widehat{CBH}=30\sqrt{2}.\sin 75^{\circ}=15+15\sqrt{3}\approx 41$.

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.