Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội:

$q=\frac{1}{2}$ và ${u}_{1}=\frac{12\ 288}{2}=6\ 144$ .

Khi đó diện tích mặt trên cùng là: ${u}_{11}={u}_{1}\cdot {q}^{10}=\frac{6144}{{2}^{10}}=6$

Đáp án đúng là: B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

M$_{1}$ = 100 + 100.10% = 110.

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

M$_{2}$ = 110 + 110.10% = 121.

Đáp án đúng là: D

Số tiền ban đầu là M$_{0}$ = 10$^{8}$ (đồng)

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là: ${M}_{1}={M}_{0}+{M}_{0}r={M}_{0}(1+r)$ (đồng)

Số tiền sau tháng thứ hai là: ${M}_{2}={M}_{1}+{M}_{1}r={M}_{0}{(1+r)}^{2}$ (đồng)

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là: M$_{6}$ = M$_{0}$(+ r)$^{6}$ (đồng)

Do đó ${M}_{6}={M}_{0}{(1+r)}^{6};{M}_{6}={10}^{8}{(1{,}007)}^{6}$.

Vậy sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về 10$^{8}$.(1,007)$^{6}$ (đồng).

Đáp án đúng là: C

Đặt P$_{0}$ = 2 000 000 = 2 . 10$^{6}$ và r = 1,2% = 0,012.

Gọi P$_{n}$ là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: ${P}_{n+1}={P}_{n}+{P}_{n}r={P}_{n}(1+r)$ .

Suy ra (P$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu P$_{0}$ và công bội q = 1+ r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

${P}_{9}={M}_{0}{(1+r)}^{9}=2\cdot {10}^{6}\cdot {(1{,}012)}^{10}\approx 2\ 227\ 000$.

Đáp án đúng là: C

Lúc đầu có 10$^{22}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u$_{1}$ = 10$^{22}$ và công bội q = 2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào.

Ta có u$_{10}$ là số tế bào nhận được sau 3 giờ.

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là: ${u}_{10}={u}_{1}{q}^{9}=512\cdot {10}^{12}.$

Đáp án đúng là: C

• Số lá sen ngày đầu là 1 = 3$^{0}$;

• Số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3$^{1}$;

• Số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3$^{2}$;

...

• Số lá sen ngày thứ 10 là 3$^{9}$.

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3$^{9}$ lá.

+ Nếu ngày đầu có u$_{1}$ = 9 lá thì ngày thứ 2 có : 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u$_{1}$ = 9; q = 3.

Số hạng thứ n là ${{\rm{u}}_{\rm{n}}} = {{\rm{u}}_1} \cdot {{\rm{q}}^{{\rm{n}} - 1}} = 9 \cdot {3^{{\rm{n}} - 1}}.$

Để hồ đầy lá sen thì cần 3$^{9}$ lá

$\Rightarrow {9.3^{{\rm{n}} - 1}} = {3^{10}} \Rightarrow {\rm{n}} + 1 = 9 \Rightarrow {\rm{n}} = 8$.

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Đáp án đúng là: A

Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P = 2πr.

Do chu vi đường tròn (O; r$_{2}$) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r$_{1}$)

$$\Rightarrow 2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_2} = 2{{\rm{r}}_1}.$$

…

Do chu vi đường tròn ( O; r$_{n}$) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r$_{n – 1}$) nên:

$$2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = 2{{\rm{r}}_{{\rm{n}} - 1}}.$$

Þ Dãy số r$_{1}$; r$_{2}$; r$_{3}$....; r$_{n}$ là cấp số nhân có u$_{1}$ = r$_{1}$ = 2 và công bội q = 2.

$$\Rightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = {{\rm{r}}_1} \cdot {2^{{\rm{n}} - 1}} = 2.256 = 512$$

$\Rightarrow {r_{n - 1}} = {r_n}:2 = 256$.

Đáp án đúng là: C

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u$_{1}$ = 20 000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

$${S_9} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10\,\,220\,\,000$$

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là ${u_{10}} = {u_1} \cdot {p^9} = 10\,\,240\,\,000$.

Ta có ${u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0$ nên du khách thắng 20 000 đồng.

Vậy du khác trên thắng 20 000 đồng.

Đáp án đúng là: C

Đặt a = 7 000 000 đồng; $m = 20\% \,;\,\,n = 0{,}3\% \,;\,\,t = 7\% .$

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là ${T_1} = am{(1 + n)^1}$.

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

$${T_2} = \left( {{T_1} + am} \right)\left( {1 + n} \right) = am{\left( {1 + n} \right)^2} + am{\left( {1 + n} \right)^1}.$$

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

$${T_{36}} = {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{36}} + {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{35}} + \ldots + am\left( {1 + n} \right)$$

$$= am \cdot \left( {1 + n} \right)\frac{{{{\left( {1 + n} \right)}^{36}} - 1}}{n}$$

Thay số ta được ${T_{36}} \approx 53\,\,297\,\,648{,}73{\rm{ }}$ (đồng).

Vậy sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là 53 298 000 đồng.

Đáp án đúng là: B

Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u$_{1}$ = 1, q = 2.

Suy ra: ${S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{64}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1$ (hạt thóc)

Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50 000 000 hạt nặng 1 tấn.

Suy ra 2$^{64}$ − 1 hạt thóc nặng $\frac{{{2^{64}} - 1}}{{50\,\,000\,\,000}}$ (tấn) $\approx$ 369 (tỉ tấn).

Đáp án đúng là: B

Số tiền du khách đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u$_{1}$ = 20000 và công bội q = 2.

Do khách thua 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

${S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000$

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u$_{10}$ = u$_{1}$.q$^{9}$ = 10240000.

Ta có: u$_{10}$ - S$_{9}$ = 20000 > 0 nên du khách thắng 20000 đồng.

Đáp án đúng là: B

Gọi a$_{0}$, a$_{1}$, a$_{2}$,...,a$_{11}$ lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,.. tầng 11.

Khi đó ta có: a$_{0}$ = 12288, a$_{n}$ = $\frac{1}{2}$a$_{n}$$_{-}$$_{1}$ = a$_{0}$${\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\,\,\,(n = 1{,}2,...,11)$

Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: ${a_{11}} = {a_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 12288{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}} = 6$(m$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u$_{n}$) với công bội q = 2.

Ta có: u$_{6}$ = 64000 => u$_{1}$q$^{5}$ = 64000 => u$_{1}$ = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u$_{n+1}$.

u$_{n+1}$ = 2048000 => u$_{1}$.q$^{n}$ = 2048000 => 2000.2$^{n}$ = 2048000 => n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Doanh thu của công ty trong tháng 7: T$_{7}$ = 6.(1 + 10%);

Doanh thu của công ty trong tháng 8: T$_{8}$ = 6.(1 + 10%)$^{2}$;.

...

Doanh thu của công ty trong tháng 12: T$_{12}$ = 6.(1 + 10%)$^{6}$;.

Do đó, theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là:

T = 20 + 6.(1 + 10%) + 6.(1 + 10%)$^{2}$ + ... + 6.(1 + 10%)$^{6}$

= 20 + 6.(1 + 10%).$\frac{{{{\left( {1 + 10\% } \right)}^6} - 1}}{{10\% }} \approx 70{,}9$.

Đáp án đúng là: C

Gọi S$_{n}$ là giá tiền khoan n mét giếng.

Ta có:

S$_{2}$ = S$_{1}$ + S$_{1}$r = S$_{1}$(1 + r)

S$_{3}$ = S$_{2}$ + S$_{2}$r= S$_{2}$(1 + r) = S$_{1}$(1 + r)$^{2}$

.....

S$_{30}$ = S$_{1}$(1 + r)$^{29}$

Nhận thấy dãy số S$_{n}$ là cấp số nhân với S$_{1}$ = 200 000 đồng và công bội q = 1 + r = 1 + 7% = 1,07.

Áp dụng tổng n số hạng đầu tiên của câp số nhân là ${S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ vào cấp số nhân có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 200000\\q = 1{,}07\end{array} \right.$ thì ${S_{30}} = 200000 \cdot \frac{{1 - 1,{{07}^{30}}}}{{1 - 1{,}07}} = 18892157{,}26$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u$_{1}$ = 1; q = 2. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u$_{8}$ = u$_{1}$q$^{7}$ = 2$^{7}$.

b) Sai. Khi đó số hạt thóc ở ô thứ 8 là u$_{8}$ = u$_{1}$q$^{7}$ = 2$^{7}$.

c) Sai. Tổng số hạt thóc của 64 ô là: S$_{64}$ = 1 + 2 + 2$^{2}$ + ... + 2$^{63}$ = 2$^{64}$ - 1 hạt thóc, do đó tổng khối lượng thóc trên 64 ô trên bàn cờ là: $\left( {{2^{64}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} \approx 369 \cdot {10^{16}}(g) = 3690$ tỉ tấn

Vậy tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ vua là 3690 tỉ tấn.

d) Sai. Khối lượng thóc của 32 ô đầu tiên là: $\left( {{2^{32}} - 1} \right) \cdot \frac{{20}}{{100}} = 858993459 \approx 859$ (tấn).

Cần 86 tàu để chở 859 tấn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ngày đầu có u$_{1}$ = 1 lá sen. Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (u$_{n}$) với u$_{1}$= 1 và công bội q = 3.

Vì ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen nên ta có: u$_{10}$ = u$_{1}$q$^{9}$ = 1.3$^{9}$ = 3$^{9}$ lá sen.

Ngày đầu có v$_{1}$ = 9 lá sen.

Do số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước nên ta có cấp số nhân (v$_{m}$) với v$_{1}$ = 9 và công bội q = 3.

Khi đó sau m ngày thì số lá sen là v$_{m}$ = v$_{1}$.q$^{m}$$^{-}$$^{1}$= 9.3$^{m}$$^{-}$$^{1}$.

Ta có 9.3$^{m}$$^{-}$$^{1}$ = 3$^{9}$ $\Leftrightarrow$ 3$^{m + 1}$= 3$^{9}$ $\Leftrightarrow$ m + 1 = 9 $\Leftrightarrow$ m = 8.

Vậy nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.

b) Đúng. Số lá sen lập thành cấp số nhân (u$_{n}$) với u$_{1}$ = 3 và công bội q = 3.

c) Sai. Số lá sen lập thành cấp số nhân (u$_{n}$) với u$_{1}$ = 3 và công bội q = 3.

d) Sai. Nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ 8 hồ sẽ đầy lá sen.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi số sách đọc được ngày thứ u$_{n}$. Ta có: u$_{1}$ = 1, u$_{2}$ = 2u$_{1}$ = 2, u$_{3}$ = 2u$_{2}$ = 4, u$_{4}$ = 2u$_{3}$= 8, u$_{5}$ = 2u$_{4}$ = 16.

Vậy ngày thứ 5 đọc được trang 16 trang sách.

b) Đúng. Ngày thứ nhất đọc được 1 trang => u$_{1}$ = 1.

Từ ngày thứ hai mỗi ngày đọc số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó. => u$_{n}$ = 2u$_{n}$$_{-}$$_{1}$(n > 1).

Do đó, số trang đọc được lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

Số hạng tổng quát: u$_{n}$ = u$_{1}$q$^{n}$$^{-}$$^{1}$ = u$_{1}$2$^{n}$$^{-}$$^{1}$.

c) Sai. Số trang sách đọc được ngày thứ 6 là: u$_{6}$ = u$_{1}$2$^{5}$ = 32.

Số sách đọc được 5 ngày trước đó là: ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 31$.

d) Sai. Số trang sách đọc được trong 1 tuần: ${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^7}} \right)}}{{1 - 2}}$= 127 trang.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì cứ sau 20 phút thì số tế bào tăng gấp đôi nên u$_{n}$ = 2u$_{n}$$_{-}$$_{1}$ . Vậy dãy u$_{1}$, u$_{2}$, ..., u$_{n}$ lập thành cấp số nhân với công bội q = 2.

b) Đúng. Số tế bào sau 20 phút đầu tiên là u$_{1}$ = 1000.2 = 2000 tế bào.

c) Sai. Đổi 5 giờ = 300 phút. Cứ 20 phút tế bào E.Coli nhân đôi một lần nên ta có 15 lần nhân đôi.

d) Đúng. Số tế bào E.Coli sau 15 lần nhân đôi là u$_{15}$ = u$_{1}$q$^{14}$ = 2000.2$^{14}$ = 32768000 tế bào.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{1}$ = 800 - 800.4% = 800(1 - 4%) = 768 triệu đồng.

b) Sai. Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{2}$ = 800 - 800.4% - 800(1 - 4%).4% = 800(1 - 4%)$^{2}$ = 737,28 triệu đồng.

c) Đúng. Gọi u$_{n}$ là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số u$_{n}$ tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u$_{0}$ = 800 triệu đồng, công bội q = 1 - 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u$_{n}$ = 800(1 - 4%)$^{n}$.

d) Sai. Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: u$_{10}$ = 800(1 - 4%)$^{10}$ ≈ 531,87 (triệu đồng).

Đáp án: 1022.

Gọi số dưa hấu mà ông A thu hoạch được là x quả (x > 0).

Số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: $\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}$.

Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}$

......

Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: $\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}$.

Khi đó: $\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + .... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x$

$\Leftrightarrow$ $\left( {x + 2} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022$

Vậy ông A thu hoạch được 1022 quả dưa hấu.

Đáp án: 103.

Theo giả thiết, ta có công thức tăng trưởng dân số P$_{n}$ = P$_{0}$.(1 + r)$^{n}$.

Trong đó P$_{0}$ = 97,58 và r = 1,14%; n = 2025 - 2020 = 5.

Vậy từ năm 2020 đến năm 2025 thì dân số nước ta là: 97,58.1,0114$^{5}$ ≈ 103 (triệu người).

Đáp án: 325.

Gọi u$_{n}$ là số tiền máy tính sử dụng năm thứ n.

Giá trị máy tính giảm 10% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó.

Do đó, u$_{n}$ là cấp số nhân với u$_{1}$ = 680 nghìn đồng và công bội q = 1 - 0,1 = 0,9 nghìn đồng.

Giá trị của chiếc máy tính sau 7 năm sử dụng là: u$_{8}$ = 680.0,9$^{7}$ ≈ 325,242 nghìn đồng.

Đáp án: 6,33.

Ta có: u$_{1}$ = 20;

u$_{2}$ = 20 - 20.25% = 20.(1 - 25%) = 20.75%;

u$_{3}$ = 20.75%.75% = 20.(75%)$^{2}$;

....

Suy ra dãy (u$_{n}$) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 20 và công bội q = 75%.

Do đó, số hạng tổng quát là u$_{n}$ = 20.(75%)$^{n}$$^{-}$$^{1}$độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u$_{5}$ = 20.(75%)$^{4}$ ≈ 6,33°C

Đáp án: 81,4.

Đặt u$_{0}$ = 5.10$^{5}$ và r = 5% = 0,05. Gọi u$_{n}$ là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n.

Khi đó, ta có: u$_{n + 1}$ = u$_{n}$ + u$_{n}$r = u$_{n}$(1 + r), n ∈ ℕ

Suy ra (u$_{n}$) là cấp số nhân với số hạng đầu là u$_{0}$ và công bội là q = 1 + r.

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân (u$_{n}$) là u$_{n}$ = u$_{0}$(1 + r)$^{n}$, n ∈ ℕ

Vậy sau 10 năm, khu rừng sẽ có: u$_{10}$ = u$_{0}$(1 + r)$^{10}$ = 5.10$^{10}$.(1 + 0,05)$^{10}$ = 5.(10,5)$^{10}$ ≈ 81,4 tỷ m$^{3}$.