Bài tập Elip có đáp án

Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ $(0<b<a)$ và cho điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) nằm trên (E).

Các điểm M$_{1}$(–x$_{0}$; y$_{0}$), M$_{2}$(x$_{0}$; –y$_{0}$), M$_{3}$(–x$_{0}$; –y$_{0}$) có thuộc (E) hay không?

Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ có hai tiêu điểm là F$_{1}$(–c; 0), F$_{2}$(c; 0) (Hình 6).

a) Tính F$_{1}$M2 và F$_{2}$M2 theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F$_{1}$M2 – F$_{2}$M2 = 4cx, F$_{1}$M – F$_{2}$M = $2\frac{cx}{a}.$

c) Tính độ dài hai đoạn MF$_{1}$ và MF$_{2}$ theo a, c, x.

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

b) Tìm các điểm trên elip $(E):\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Cho biết ti số e = c/a của các elip lần lượt là 3/4, 1/2, 1/4 (Hình 8). Tính tỉ số b/a theo e và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi e thay đổi.

a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$ và elip$(E'):\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{1}=1$.

b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng "dẹt" hơn?

Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Cho điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ và hai đường thẳng ${Δ}_{1}:x+\frac{a}{e}=0$; ${Δ}_{2}:x-\frac{a}{e}=0$ (Hình 10). Gọi d(M; Δ$_{1}$), d(M; Δ$_{2}$) lần lượt là khoảng cách từ M đến Δ$_{1}$, Δ$_{2}$. Ta có $d(M;{Δ}_{1})=|x+\frac{a}{e}|=\frac{|a+ex|}{e}=\frac{a+ex}{e}$ (vì e > 0 và $a+ex=M{F}_{1}>0$). Suy ra $\frac{M{F}_{1}}{d(M;{Δ}_{1})}=\frac{a+ex}{\frac{a+ex}{e}}=e$.

Dựa theo cách tính trên, hãy tính $\frac{M{F}_{2}}{d(M;{Δ}_{2})}$.

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a) $({E}_{1}):\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{1}=1$;

b) $({E}_{2}):\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

Cho elip $(E):\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Cho elip $(E):\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{1}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF$_{1}$ = NF$_{2}$.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF$_{1}$ = 2SF$_{2}$.

Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là khoảng 147 triệu km, tính khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời.

(Nguồn: https://www.universetoday.com)

Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)