Bài tập Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

$A=\sqrt{200}-\sqrt{32}+\sqrt{72}=\sqrt{100.2}-\sqrt{16.2}+\sqrt{36.2}=10\sqrt{2}-4\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \sqrt {50} - \sqrt {128} + \sqrt {162} - \sqrt {18}$

$A = \sqrt {25.2} - \sqrt {64.2} + \sqrt {81.2} - \sqrt {9.2}$

$A = 5\sqrt 2 - 8\sqrt 2 + 9\sqrt 2 - 3\sqrt 2$

$A = 3\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A = \frac{1}{y}\sqrt {16y} .\frac{1}{3}y\sqrt {\frac{{27}}{y}} = \frac{4}{{\sqrt y }}.3y\sqrt {\frac{3}{y}} = 12\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = 4\sqrt 3 + \sqrt {27} - \sqrt {45} + \sqrt 5$

$B = 4\sqrt 3 + \sqrt {9.3} - \sqrt {9.5} + \sqrt 5$

$B = 4\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 3\sqrt 5 + \sqrt 5$

$B = 7\sqrt 3 - 2\sqrt 5$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \sqrt {63} - \sqrt {252} - \sqrt {343} + \sqrt {175}$

$A = \sqrt {9.7} - \sqrt {36.7} - \sqrt {49.7} + \sqrt {25.7}$

$A = 9\sqrt 7 - 6\sqrt 7 - 7\sqrt 7 + 5\sqrt 7 = \sqrt 7$.

Đáp án đúng là: C

$B = 4\sqrt {20} - 3\sqrt {125} - 5\sqrt {45} + 15\sqrt {\frac{1}{5}}$

$B = 4\sqrt {4.5} - 3\sqrt {25.5} - 5\sqrt {9.5} + 3\sqrt {{5^2}.\frac{1}{5}}$

$B = 8\sqrt 5 - 15\sqrt 5 - 15\sqrt 5 + 3\sqrt 5$

$B = - 19\sqrt 5$.

Đáp án đúng là: A

$B = \sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } }$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {20 - 2.3.2\sqrt 5 + 9} }$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}^2}} }$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {3 - \left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {3 - 2\sqrt 5 + 3}$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1}$

$B = \sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}$

$B=\sqrt{5}-\sqrt{5}+1=1$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \sqrt {{a^2} + 6a + 9} + \sqrt {{a^2} - 6a + 9}$

$B = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2}}$

$B = \left| {a + 3} \right| + \left| {a - 3} \right|$

$B = a - 3 + 3 - a = 0$ (vì −3 ≤ a ≤ 3).

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \sqrt {6 + 2\sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } } }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {5 - \sqrt {12 + 4\sqrt 3 + 1} } }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {5 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} } }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 1} }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }$

$A = \sqrt {6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

$A = \sqrt {6 + 2\sqrt 3 - 2}$

$A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }$

$A = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1}$

$A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {48 - 10\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {48 - 10\sqrt {4 + 4\sqrt 3 + 3} } } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {48 - 10\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^2}} } } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {48 - 10\left( {\sqrt 3 + 2} \right)} } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {48 - 10\sqrt 3 - 20} } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {25 - 2.5\sqrt 3 + 3} } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {5\sqrt 3 + 5 - \sqrt 3 } }$

$B = \sqrt {4 + \sqrt {4\sqrt 3 + 5} }$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

B xác định khi 8x ≥ 0 và 50x ≥ 0, suy ra x ≥ 0. Vậy biểu thức B xác định khi x ≥ 0.

b) Sai.

Với x ≥ 0 thì: ${\rm{B}} = \sqrt {8{\rm{x}}} + \sqrt {50{\rm{x}}} = \sqrt {{2^2} \cdot {\rm{2x}}} + \sqrt {{5^2} \cdot {\rm{2x}}} = 2\sqrt {{\rm{2x}}} + 5\sqrt {{\rm{2x}}} = 7\sqrt {{\rm{2x}}} .$

Vậy ${\rm{B}} = 7\sqrt {{\rm{2x}}} .$

c) Đúng.

Ta có: ${\rm{A}} = \sqrt {{2^2} \cdot 5} - 4\sqrt {{3^2} \cdot 5} + 3\sqrt 5 = 2\sqrt 5 - 12\sqrt 5 + 3\sqrt 5 = - 7\sqrt 5$. Vậy ${\rm{A}} = - 7\sqrt 5$.

d) Sai.

Vì A + B = 0 nên $7\sqrt {{\rm{2x}}} - 7\sqrt 5 = 0$

$\sqrt {{\rm{2x}}} = \sqrt 5$

${\left( {\sqrt {{\rm{2x}}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}$

2x = 5

${\rm{x}} = \frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của x để A + B = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Bất phương trình xác định khi 5x ≥ 0, 20x ≥ 0 và 125x ≥ 0. Suy ra x ≥ 0.

Vậy bất phương trình xác định khi x ≥ 0.

b) Sai.

Với x ≥ 0 thì: $\sqrt {20{\rm{x}}} = \sqrt {{2^2} \cdot {\rm{5x}}} = 2\sqrt {5{\rm{x}}} ;\;\,\sqrt {125{\rm{x}}} = \sqrt {{5^2} \cdot 5{\rm{x}}} = 5\sqrt {5{\rm{x}}} .$ Vậy b) sai.

c) Đúng.

$2\sqrt {5{\rm{x}}} - 3\sqrt {20{\rm{x}}} + 2\sqrt {125{\rm{x}}} < 60$

$2\sqrt {5{\rm{x}}} - 6\sqrt {5{\rm{x}}} + 10\sqrt {5{\rm{x}}} < 60$

$6\sqrt {5{\rm{x}}} < 60$

$\sqrt {5{\rm{x}}} < 10$.

Vậy bất phương trình đã cho biến đổi được về bất phương trình $\sqrt {5{\rm{x}}} < 10$.

d) Đúng.

Theo c) ta có: $\sqrt {5{\rm{x}}} < 10$

5x < 100

x < 20.

Mà x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 20. Lại có, x là số tự nhiên nên x Î {0; 1; 2; …; 19}.

Vậy có tất cả 20 số tự nhiên x thỏa mãn bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

A xác định khi $\frac{{10}}{{{{\rm{x}}^3}}} \ge 0$, suy ra x > 0. Vậy A xác định khi x > 0.

b) Sai.

Với x > 0 ta có: ${\rm{A}} = {\rm{x}}\sqrt {\frac{{10}}{{{{\rm{x}}^3}}}} = \sqrt {\frac{{10{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{x}}^3}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} .$ Vậy ${\rm{A}} = \sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} .$

c) Đúng.

${\rm{B}} = 2\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \sqrt {{2^2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2 \cdot \sqrt 3 \cdot 1 + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1.$

Vậy ${\rm{B}} = \sqrt 3 + 1.$

d) Sai.

Vì ${\rm{A}} = {\rm{B}} - \sqrt 3$ nên $\sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} = \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3$

$\sqrt {\frac{{10}}{{\rm{x}}}} = 1$

$\frac{{10}}{{\rm{x}}} = 1$

x = 10 (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của x thỏa mãn ${\rm{A}} = {\rm{B}} - \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

$2\sqrt {\rm{a}}$ xác định khi a ≥ 0. Vậy a) sai.

b) Sai.

$3\sqrt 8 = \sqrt {{3^2} \cdot 8} = \sqrt {72} ;\;\,7\sqrt 3 = \sqrt {{7^2} \cdot 3} = \sqrt {147} ;\;\,2\sqrt {\rm{a}} = \sqrt {{\rm{4a}}} .$ Vậy b) sai.

c) Sai.

Vì $\sqrt {72} < \sqrt {147}$ nên $3\sqrt 8 < 7\sqrt 3 .$ Vậy c) sai.

d) Đúng.

Để $2\sqrt {\rm{a}}$ nằm giữa hai số $3\sqrt 8$ và $7\sqrt 3$ thì $\sqrt {72} < \sqrt {{\rm{4a}}} < \sqrt {147}$ hay 72 < 4a < 147.

Suy ra 18 < a < 36,75. Mà a là số tự nhiên nên a Î {19; 20; …; 36}.

Vậy có tất cả 18 số tự nhiên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của Q là x ≥ 0.

b) Đúng.

Ta có: $Q = \sqrt {12x} + \sqrt {27x}$

$= \sqrt {4.3x} + \sqrt {9.3x}$

$= 2\sqrt {3x} + 3\sqrt {3x}$

$= 5\sqrt {3x}$.

c) Đúng.

Ta có: $P = \sqrt {27} - 2\sqrt {48} + \sqrt {75}$

$= \sqrt {9.3} - 2\sqrt {16.3} + \sqrt {25.3}$

$= 3\sqrt 3 - 8\sqrt 3 + 5\sqrt 3$

$= 8\sqrt 3 - 8\sqrt 3$

= 0.

d) Sai.

Ta có: $P + Q = 0 + 5\sqrt {3x} = 5\sqrt {3x}$

Để $P + Q = 10\sqrt 3$ thì $5\sqrt {3x} = 10\sqrt 3$ hay $\sqrt {3x} = 2\sqrt 3$.

Suy ra $\sqrt {3x} = \sqrt {4.3}$ hay $\sqrt {3x} = \sqrt {12}$.

Do đó, 3x = 12 hay x = 4 (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có: $\frac{2}{{{{\rm{x}}^2} - {{\rm{y}}^2}}}\sqrt {\frac{{3\left( {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{xy}} + {{\rm{y}}^2}} \right)}}{2}}$

$= \frac{2}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\sqrt {\frac{{3{{\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}^2}}}{2}}$

$= \frac{2}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\left| {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right|\sqrt {\frac{3}{2}}$

$= \frac{{2\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)\left( {{\rm{x}} + {\rm{y}}} \right)}}\sqrt {\frac{{3 \cdot 2}}{{{2^2}}}}$ (do x ≥ 0, y ≥ 0 nên x + y ≥ 0)

$= \frac{2}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}} \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}}$.

Do đó, $\frac{{\sqrt 6 }}{{{\rm{x}} - {\rm{y}}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$ nên x – y = 6 hay x = y + 6. Vậy số thích hợp điền vào “…” là 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có: ${\rm{A}} = \frac{{{\rm{a}} + 2}}{4}\sqrt {\frac{{8{{\rm{a}}^2}}}{{{{\left( {{\rm{a}} + 2} \right)}^2}}}} = \frac{{{\rm{a}} + 2}}{4} \cdot \frac{{2{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{{\rm{a}} + 2}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2},$${\rm{B}} = \frac{{\sqrt {{3^2} \cdot 2} - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Để A = B thì $\frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, suy ra a = 1 (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Điều kiện: x ≠ $\frac{1}{2}$ và x ≠ $\frac{{ - 1}}{2}$.

$\frac{{\sqrt {8{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 2} }}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}} = \sqrt 2$

$\frac{{\sqrt {2\left( {{\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 1} \right)} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2$

$\frac{{\sqrt {2{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2$

$\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|\sqrt 2 }}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \sqrt 2$

$\frac{{\left| {2{\rm{x}} + 1} \right|}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1$ (1).

Với x $> \frac{{ - 1}}{2}$ thì |2x + 1| = 2x + 1, khi đó, phương trình (1) trở thành:

$\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1$

$\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = 1$

2x – 1 = 1

x = 1 (thỏa mãn).

Với x $< \frac{{ - 1}}{2}$ thì |2x + 1| = –(2x + 1), khi đó, phương trình (1) trở thành:

$\frac{{ - \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = 1$

$\frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} = - 1$

2x – 1 = –1

x = 0 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Điều kiện: x ≥ 1.

$\frac{1}{{\rm{x}}}\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^3} - 2{{\rm{x}}^2}} + 2\sqrt {\frac{{{\rm{x}} - 1}}{2}} = 8$

$\sqrt {\frac{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^2}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{{{\rm{x}}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{2^2}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{2}} = 8$

$\sqrt {{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} + \sqrt {{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 8$

$2\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 8$

$\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} = 4$

${\left( {\sqrt {2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)} } \right)^2} = {4^2}$

2(x – 1) = 16

x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

${\rm{A}} = {\rm{xy}}\sqrt {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} - {\rm{x}}\sqrt {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}}$

${\rm{A}} = \sqrt {{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^2}\left( {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}\left( {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}$

${\rm{A}} = \sqrt {{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{y}}} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}}$

${\rm{A}} = \sqrt {{\rm{xy}}\left( {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}}$

${\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right)$.

Vì xy = 1 và x > 0, y > 0 nên $\sqrt {{\rm{xy}}} - 1 = 0$.

Do đó,${\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right) = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} .0 = 0$.

Vậy A = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.