Bài tập Định lí và chứng minh định lí có đáp án

Chứng minh:

Qua điểm B kẻ đường thẳng ${b}^{'}$ sao cho $\widehat{{B}_{2}}=\widehat{{A}_{1}}.$

Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và ${b}^{'}$ hai góc đồng vị bằng nhau $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{B}_{2}}.$

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có a và ${b}^{'}$ song song với nhau. Suy ra qua B có hai đường thẳng b, ${b}^{'}$ cùng song song với a. Theo tiên đề Euclid, ${b}^{'}$ trùng b. Từ đó suy ra $\widehat{{B}_{1}}=\widehat{{A}_{1}}$ (vì cùng bằng $\widehat{{B}_{2}}$).

Do $\widehat{xOy}$ và $\widehat{y\text{O}z}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z}=180^{\circ}.$

Mà $\widehat{xOy}=\widehat{y\text{O}z}$ nên $\widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z}=2\widehat{xOy}=180^{\circ}$

Do đó $\widehat{xOy}=\widehat{y\text{O}z}=90^{\circ}.$

Vậy hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông.

Hai góc bằng nhau thì chưa chắc đối đỉnh.

Hình vẽ bên dưới ta có $\widehat{xOy}=\widehat{{x}^{'}O{y}^{'}}=30^{\circ}$ nhưng hai góc này không đối đỉnh.

Định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” có thể được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Trong hình vẽ trên, ta có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c.

Giao điểm của hai đường thẳng a và b với đường thẳng c lần lượt là A và B.

Do đường thẳng a và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c nên $\widehat{aAc}=\widehat{bBc}=90^{\circ}.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a song song với b.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Trong hình vẽ trên, ta có hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a.

Giao điểm của hai đường thẳng a và b với đường thẳng c lần lượt là A và B.

Do đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c nên $\widehat{aAc}=90^{\circ}.$

Do đường thẳng a song song với đường thẳng b nên $\widehat{aAc}=\widehat{bBc}$ (hai góc đồng vị)

Do đó $\widehat{bBc}=90^{\circ}.$

Vậy đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c.

Trong chứng minh này, chúng ta sử dụng các kiến thức về số đo của góc vuông, các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau, tính chất hai đường thẳng song song.

Khẳng định (1) đúng dựa vào tính chất tia phân giác của góc.

Khẳng định (2) sai, ta có ví dụ như sau:

Trong hình vẽ trên, Oz là tia phân giác của góc xOy, Ot là tia đối của Oz.

Do Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$ (tính chất tia phân giác của góc).

Mà $\widehat{xOt}+\widehat{xOz}=180^{\circ},\ \widehat{y\text{O}t}+\widehat{zOy}=180^{\circ}$(hai góc kề bù) nên $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}.$

Ta thấy $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}$ mà Ot không phải tia phân giác của góc xOy nên khẳng định (2) sai.