Bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang lần lượt là x, y (x > 5, x > y > 0, cm).

Diện tích hình thang là 140 cm$^{2}$ nên ta có $\frac{{\left( {x + y} \right).8}}{2} = 140$ hay x + y = 35 (1)

Đáy lớn hơn đáy bé 5 cm nên ta có phương trình x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\x - y = 5\end{array} \right.$.

Thế x = 5 + y vào phương trình (1) ta được 5 + 2y = 35 hay y = 15 (thỏa mãn).

Thay y = 15 vào phương trình x – y = 5 suy ra x = 20 (thỏa mãn).

Vậy đáy lớn của hình thang là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (0 < y < x, m).

Theo đề chu vi của mảnh vườn là 34 m nên ta có phương trình:

2(x + y) = 34 suy ra x + y = 17 (1)

Diện tích mảnh vườn là xy (m$^{2}$).

Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m$^{2}$ nên ta có phương trình (x + 3)(y + 2) = xy + 45 hay 2x + 3y = 39 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\2x + 3y = 39\end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có x = 17 – y.

Thế x = 17 – y vào phương trình (2) ta có 2(17 – y) + 3y = 39 hay y = 5 (thỏa mãn).

Thay y = 5 vào phương trình (1) ta có x = 12 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.

>

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi mảnh vườn bằng 198 m nên 2(x + y) = 198 hay x + y = 99 (1).

Diện tích mảnh vườn bằng 2430 m$^{2}$ nên ta có xy = 2430 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 99\\xy = 2430\end{array} \right.$.

Từ phương trình (1) ta có x = 99 – y.

Thay x = 99 – y vào phương trình (2), ta được:

(99 – y).y = 2430 hay y$^{2}$ – 99y + 2430 = 0 hay y$^{2}$ – 54y – 45y + 2430 = 0.

Suy ra (y – 54)(y – 45) = 0

Do đó y = 54 (thỏa mãn) hoặc y = 45 (thỏa mãn).

Với y = 54 thay vào phương trình (1) được x = 45 (loại do x > y).

Với y = 45 thay vào phương trình (1) được y = 54 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của thửa ruộng là 45 m.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > 7, x > y > 0, đơn vị: m).

Mảnh đất có đường chéo là 13 m nên ta có phương trình:

x$^{2}$ + y$^{2}$ = 13$^{2}$ (Định lý Pythagore) (1).

Chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m nên ta có phương trình: x – y = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {13^2}\\x - y = 7\end{array} \right.$.

Thay x = 7 + y vào phương trình (1) ta được:

(7 + y)$^{2}$ + y$^{2}$ = 13$^{2}$ hay 2y$^{2}$ + 14y – 120 = 0 hay 2y$^{2}$ – 10y + 24y – 120 = 0

Suy ra (y – 5)(2y + 24) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −12 (loại).

Thay y = 5 vào phương trình (2) được x = 12 (thỏa mãn).

Do đó, chiều dài mảnh đất là 12 m và chiều rộng mảnh đất là 5 m.

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là: 2(5 + 12) = 34 (m).

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi hình chữ nhật là 70 m nên 2(x + y) = 70 hay x + y = 35 (1).

Diện tích của hình chữ nhật là xy (m$^{2}$).

Nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ nên ta có phương trình (x + 5)(y – 3) = xy hay 5y – 3x = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\5y - 3x = 15\end{array} \right.$.

Từ (1) ta có y = 35 – x.

Thế y = 35 – x vào phương trình (2) ta được:

5(35 – x) – 3x = 15 hay 8x = 160 nên x = 20 (thỏa mãn)

Thay x = 20 vào (1) được y = 15 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 20 m và 15 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > y > 2, m).

Theo đề chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên ta có x = 4y (1).

Diện tích mảnh đất đó là xy (m$^{2}$).

Nếu giảm chiều rộng 2m vào tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích tăng thêm 20 m$^{2}$ nên ta có phương trình 2x(y – 2) = xy + 20 hay xy – 4x = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\xy - 4x = 20\end{array} \right.$.

Thế x = 4y vào phương trình (2) được 4y$^{2}$ – 8x – 20 = 0 hay y$^{2}$ – 4y – 5 = 0.

Suy ra (y – 5)(y + 1) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −1.

Với y = 5 thì x = 20 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 5 m.

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó lần lượt là x, y (x, y > 0, dm).

Theo đề, chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên x = $\frac{3}{4}$y (1).

Diện tích tam giác là $\frac{1}{2}$xy (dm$^{2}$).

Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm và cạnh đáy giảm 3 dm thì diện tích tăng thêm 12 dm$^{2}$ nên ta có phương trình $\frac{1}{2}$(x + 3)(y – 3) = $\frac{1}{2}$xy + 12 hay xy – 3x + 3y – 9 = xy + 24

Hay 3x – 3y = −33 hay x – y = −11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}y\\x - y = - 11\end{array} \right.$

Thay x = $\frac{3}{4}$y vào phương trình (2) ta được

$- \frac{1}{4}$y = −11 suy ra y = 44 (thỏa mãn).

Với y = 44 thì x = 33.

Chiều cao của tam giác là 33 dm, đáy là 44 dm.

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là x, y (x > y > 0, cm).

Chu vi của hình chữ nhật là 2010 cm nên ta có 2(x + y) = 2010 hay x + y = 1005 (1)

Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật mới là

Chiều dài: x + 20 (cm), chiều rộng: y + 10 (cm).

Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là:

(x + 20)(y + 10) = xy + 13 300 hay x + 2y = 1310 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1005\\x + 2y = 1310\end{array} \right.$.

Thế x = 1005 – y vào phương trình thứ (2) được 1005 – y + 2y = 1310 hay y = 305 (thỏa mãn).

Thay y = 305 vào phương trình (1) được x = 700 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là 700 m và 305 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật (x > y > 4).

Chu vi của khu vườn là 280 m nên ta có 2(x + y) = 280 hay x + y = 140 (1)

Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là x – 4 và y – 4 (m).

Diện tích phần còn lại để trồng là: (x – 4)(y – 4) = 4256 hay xy – 4x – 4y = 4240 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 140\\xy - 4x - 4y = 4240\end{array} \right.$

Thế x = 140 – y vào phương trình (2) ta được:

(140 – y)y – 4(140 – y) – 4y = 4240 hay y$^{2}$ – 140y – 4800 = 0 hay (y – 60)(y – 80) = 0

Do đó, y = 60 hoặc y = 80.

Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn do x > y).

Với y = 80 thì x = 60 (loại).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là 80 m, chiều rộng ban đầu của khu vườn là 60 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x > y > 0, cm).

Theo đề, nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 m thì diện tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm$^{2}$ nên ta có phương trình (x + 1)(y + 1) = xy + 13 hay x + y = 12 (1)

Nếu giảm chiều dài đi 2 m, chiều rộng đi 1 m thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi 15 cm$^{2}$ nên ta có phương trình: (x – 2)(y – 1) = xy – 15 hay x + 2y = 17 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\x + 2y = 17\end{array} \right.$

Thế x = 12 – y vào phương trình (2) ta được 12 – y + 2y = 17 hay y = 5 (thỏa mãn).

Với y = 5 thì x = 12 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 12 cm và 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 8 giờ là: $\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8$.

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 4 giờ là: $\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\\\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\end{array} \right.$

Đặt $\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b$ được hệ $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{27}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 21\end{array} \right.$

Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là 27 km/h.

d) Đúng.

Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là: 27 – 21 = 6 (km/h).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng

a) Sai.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là $2x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

Quãng đưỡng xe máy đi được trong 2 giờ là $2y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Do đó, tổng quãng đường hai xe đi trong 2 giờ là $2x + 2y = 200\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$ hay $x + y = 100$

b) Đúng.

Vì vận tốc ô tô tăng thêm $10\,\,{\rm{km/h}}$, vận tốc xe máy giảm đi $5\,\,{\rm{km/h}}$ thì vận tốc của ô tô bằng

2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình $x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)$ hay $x - 2y = - 20$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\3y = 120\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.

d) Đúng.

Quãng đường ô tô đi được so với quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: $\frac{{2 \cdot 60}}{{2 \cdot 40}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ (lần)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

c) Sai.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Sai.

Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vận tốc ca nô xuôi dòng là $x + y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô xuôi dòng là $\frac{{78}}{{x + y}}\,\,\left( h \right)$.

b) Sai.

Vận tốc ca nô ngược dòng là $x - y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{{44}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)$.

c) Sai.

Vì ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5$ (1).

Nếu ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km cùng với vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ nên ta có phương trình $\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\\\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ thì ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\13a + 11b = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\52a + 44b = 4\end{array} \right.$

Từ theo vế hai phương trình được 26a = 1 nên a = $\frac{1}{{26}}$, suy ra b = $\frac{1}{{22}}$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\x - y = 22\end{array} \right.$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 2\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

b) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{y}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

c) Sai.

Vì nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút $\left( { = \frac{1}{6}\,\,h} \right)$ so với đạp xe với vận tốc hằng ngày nên ta có phương trình $\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}$ (1).

Theo đề, tổng thời gian hôm nay Nam đi học là 35 phút $\left( { = \frac{7}{{12}}\,\,h} \right)$ nên ta có phương trình: $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right.$.

Giải hệ, ta được $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{7}{6}\end{array} \right.$

Cộng hai phương trình theo vế được $\frac{{20}}{x} = \frac{8}{6}$ nên x = 15 (km/h)

Suy ra y = 20 (km/h).

d) Sai.

Vậy vận tốc hằng ngày của Nam là 15 km/h và vận tốc lớn nhất là 20 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 180

Gọi vận tốc ban đầu là $x\,\,\left( {x > 3,\,\,{\rm{km/h}}} \right)$, thời gian chạy dự định là $y\,\,\left( {y > 2} \right)$.

Do đó, độ dài quãng đường $AB$ là $xy\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

$\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\left( 1 \right)$

Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\\\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

Giải phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$, ta có:

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được $x = 15$ (thỏa mãn).

Với $x = 15$ thì $y = 12$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường AB là: $12 \cdot 15 = 180\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,5

Gọi x, y (h) lần lượt là thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC (x, y > 0, giờ).

Quãng đường AB có độ dài 50 (km).

Quãng đường BC có độ dài 45y (km).

Theo đề, tổng quãng đường AB và BC dài 165 km nên ta có 50x + 45y = 165.

Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút (= 0,5 giờ) nên x + 0,5 = y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}50x + 45y = 165\\x + 0{,}5 = y\end{array} \right.$.

Thay y = x + 0,5 vào phương trình (1) được 95x + 22,5 = 165.

Suy ra x = 1,5.

Thay x = 1,5 (thỏa mãn) vào phương trình (2) được y = 2 (thỏa mãn)

Do đó, thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ và thời gian để ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

Vậy tổng thời gian ô tô đi trên quãng đường BC và AB là 1,5 + 2 = 3,5 (giờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 10

Sơ đồ bài toán như sau:

Từ sơ đồ, trên đoạn CB dài 30 km, nếu giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì sẽ đến B muộn 30 phút so với dự định và nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. (với x gọi là vận tốc ban đầu của người đi xe đạp, x > 0).

Gọi y là thời điểm người đi xe đạp đến B theo dự định.

Theo đề, khi giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì thời gian đi đoạn CB là: $\frac{{30}}{x}\,\,\left( h \right)$

Do đến B muộn 30 phút (= 0,5 giờ) nên ta có phương trình $\frac{{30}}{x}\, = y + 0{,}5$ (1).

Khi tăng vận tốc thêm 5 km/h thì thời gian đi từ đoạn CB là $\frac{{30}}{{x + 5}}\,\,\left( h \right)$.

Do đến B sớm 30 phút nên ta có phương trình $\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0{,}5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, = y + 0{,}5\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0{,}5\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, - 0{,}5 = y\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, + 0{,}5 = y\end{array} \right.$

Suy ra $\frac{{30}}{x} - 0{,}5 = \frac{{30}}{{x + 5}} + 0{,}5$ hay $\frac{{30}}{x} - \frac{{30}}{{x + 5}} = 1$, được ${x^2} + 5x - 150 = 0$.

Suy ra x = 10 (tm) hoặc x = −15 (loại).

Vậy vận tốc ban đầu của người đi xe đáp đó là 10 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 60

Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của ô tô (x > 0) và y (giờ) là thời gian đi đoạn đường AB theo dự định (y > 0).

Độ dài quãng đường AB là xy (km).

Khi vận tốc tăng thêm 30 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ nên ta có phương trình:

(x + 30)(y – 1) = xy (1)

Khi vận tốc giảm 15 km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình:

(x – 15)(y + 1) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 30} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 15} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - x + 30y = 30\\x - 15y = 15\end{array} \right.$

Cộng theo vế được 15y = 45 hay y = 3 (thỏa mãn).

Với y = 3 suy ra x = 60 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô và y (km/h) là vận tốc riêng của dòng nước (x > y > 0)

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – y (km/h).

Khi ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng thì mất 2 giờ 30 phút (= 2,5 giờ) nên ta có phương trình $\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)$

Khi ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút $\left( { = \frac{4}{3}\,\,h} \right)$ nên ta có phương trình: $\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\,\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$, do đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = \frac{5}{2}\,\,\\4a + 8b = \frac{4}{3}\,\,\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\,\,\\b = \frac{1}{8}\,\,\end{array} \right.$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\,\,\\x - y = 8\,\,\end{array} \right.$, giải ra được $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\,\,\\y = 2\,\,\end{array} \right.$(t/m)

Vậy vận tốc của ca nô là 12 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.