Bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc (0 < x, y, giờ).

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người thợ cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{{16}}$ (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được một phần tư công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được $\frac{3}{x}$ + $\frac{3}{y}$ = $\frac{3}{{16}}$ (3)

Trừ theo vế (2) với (3) ta được $\frac{3}{y}$ = $\frac{1}{{16}}$ suy ra y = 48 (thỏa mãn).

Với y = 48 suy ra x = 24 (thỏa mãn).

Vậy thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ, người thợ thứ hai làm xong công việc là 48 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian tổ I hoàn thành công việc riêng là x (x > 0, giờ),

Thời gian tổ II hoàn thành công việc riêng là y (y > 0, giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Trong 1 giờ, cả 2 tổ làm được $\frac{1}{6}$ (công việc)

Nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Trong 10 giờ tổ I làm được $\frac{{10}}{x}$ (công việc).

Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình:

$2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{10}}{x} = 1$ hay $2.\frac{1}{6} + \frac{{10}}{x} = 1$ suy ra x = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\x = 15\end{array} \right.$

Thay x = 15 vào (1) suy ra y = 10 (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm một mình hoàn thành công việc là 15 giờ, tổ II làm một mình hoàn thành công việc là 10 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y là thời gian làm một mình để hoàn thành công việc của người thứ nhất và người thứ hai (0 < x, y, ngày).

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ (1).

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là $\frac{x}{2}$ ngày.

Thời gian người thứ hai làm một mình xong nửa công việc là $\frac{y}{2}$ ngày.

Do đó, ta có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9$ hay x + y = 18 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\x + y = 18\end{array} \right.$.

Từ phương trình (1) có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{{xy}}{{x + y}} = 4$ hay 4(x + y) = xy hay xy = 72.

Thay x = 18 – y vào xy = 72 ta được (18 – y)y = 72 suy ra y$^{2}$ – 18y + 72 = 0.

Suy ra y = 12 hoặc y = 6 (thỏa mãn).

Với y = 12 thì x = 6 .

Với y = 6 thì x = 12 .

Do người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai nên y = 6 và x = 12 thỏa mãn.

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày, và người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì hoàn thành công việc.

>

Đáp án đúng là: B

Đổi 1 giờ 12 phút = $\frac{6}{5}$ giờ, 12 phút = $\frac{1}{5}$ giờ, 15 phút = $\frac{1}{4}$ giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > $\frac{6}{5}$, giờ).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Hai vòi cùng chảy vào một bể thì sau $\frac{6}{5}$ giờ đầy nên ta có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ (1)

Nếu mở vòi thứ nhất trong 12 phút và vòi thứ hai trong 15 phút thì được $\frac{{11}}{{60}}$ bể nên ta có phương trình:

$\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{1}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{20y}} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$

Suy ra y = 3 và x = 2 (thỏa mãn)

Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 3 giờ sẽ đầy bể.

Đáp án đúng là: A

Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 80, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 80 phút nên ta có phương trình: $80.\frac{1}{x} + 80.\frac{1}{y} = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}$ (1).

Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{{15}}$ bể nước nên ta có phương trình $\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{{10}}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được $\frac{2}{y} = \frac{1}{{120}}$ suy ra y = 240 (thỏa mãn).

Với y = 240 suy ra x = 120 (thỏa mãn).

Vậy nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất làm đầy bể sau 120 phút, vòi thứ hai làm đầy bể sau 240 phút.

Đáp án đúng là: C

Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 90, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 90 phút nên ta có phương trình: $90.\frac{1}{x} + 90.\frac{1}{y} = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}$ (1).

Nếu mở riêng vòi I trong 15 phút và vòi II trong 20 phút thì chỉ được $\frac{1}{5}$ nên ta có phương trình: $\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{225}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{150}}\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 225\\y = 150\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ I chảy một mình trong 225 phút = 3,75 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ II chảy một mình trong 150 phút = 2,5 giờ thì đầy bể.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 12, giờ).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được số phần bể là: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$ (1).

Hai vòi cùng chảy trong 8 giờ thì lượng nước chảy vào bể là: $\frac{8}{{12}}$ = $\frac{2}{3}$ bể.

Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi nên ta có phương trình: $3{,}5.\frac{2}{y} = 1 - \frac{2}{3}$ hay y = 21 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.$

Thay y = 21 vào (1) được x = 28 (thỏa mãn).

Vậy nếu chảy một mình thì thời gian vòi I chảy đầy bể là 28 giờ, vòi II là 21 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y là thời gian máy cày thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc ( x, y > 15, giờ).

Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, máy thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai máy cùng làm trong 15 giờ được $\frac{1}{6}$ công việc nên ta có phương trình:

$15\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{1}{6}$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}$ (1)

Theo đề, máy thứ nhất làm trong 12 giờ, máy thứ 2 làm trong 20 giờ thì được 20% công việc nên ta có phương trình: $\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{{12}}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ suy ra $\frac{8}{y} = \frac{1}{{15}}$ suy ra y = 120 (thỏa mãn)

Thay y = 120 vào (1) suy ra x = 360 (thỏa mãn).

Vậy máy thứ nhất làm trong 360 giờ sẽ xong việc, máy thứ hai làm trong 120 giờ sẽ xong công việc.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian tổ I và tổ II làm một mình xong công việc (0 < x, y < 6).

Trong 1 giờ tổ I làm được $\frac{1}{x}$ công việc, tổ II làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Do đó, ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Hai tổ làm chung trong 5 giờ được số phần công việc là: $5\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{5}{6}$ (công việc)

Phần công việc còn lại là 1 – $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6}$ (công việc)

Do cải tiến cách làm nên năng suất của tổ I tăng 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ do đó ta có: $2.\frac{{1{,}5}}{x} = \frac{1}{6}$ suy ra x = 18 (thỏa mãn).

Với x = 18 thì y = 9 (thỏa mãn).

Vậy tổ II làm một mình xong công việc trong 9 giờ.

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (x, y > $\frac{{20}}{7}$)

Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, máy thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Nếu cả hai người cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực thực phẩm lên tàu bằng $\frac{{20}}{7}$ giờ nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}$ (1)

Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất 3 giờ vì thế ta có phương trình: $\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3$ hay y – x = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\begin{array}{l}\left\{ {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}} \right.\\y - x = 6\end{array}$

Thế y = 6 + x vào (1) ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{6 + x}} = \frac{7}{{20}}$ suy ra 20.(2x + 6) = 7x(x + 6)

Suy ra 7x$^{2}$ + 2x – 120 = 0 suy ra x = 4 (thỏa mãn) hoặc x = $- \frac{{30}}{7}$ (loại).

Với x = 4 thì y = 10 (thỏa mãn).

Vậy người thứ hai chuyển hết đồ lên tàu hết 10 giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì chiều rộng thửa ruộng ngắn hơn chiều dài nên ta có:$y - x = 45$.

b) Sai.

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: $2\left( {x + y} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Chu vi thửa ruộng khi chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần là: $2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vì nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình $2\left( {x + y} \right) = 2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,$ hay $2x - \frac{y}{2} = 0$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$.

c) Đúng.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.$, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 0\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\3x = 45\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 30\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

d) Đúng.

Diện tích của thửa ruộng là: $15 \cdot 30 = 450\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).

b) Đúng.

Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.

c) Sai.

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây nên ta có (x – 4)(y + 2) = xy + 32.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 32\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 30\\2x - 4y = 40\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, được x = 50 và y = 15 (thỏa mãn).

d) Sai.

Vậy ban đầu mỗi luống có 50 cây và có 15 luống.

Vậy số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là: 50.15 = 750 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của thửa ruộng là: xy (m$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi giảm chiều dài 2 m và chiều rộng 2 m là (x – 2)(y – 2) = xy – 68.

Từ đây, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$.

d) Sai.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\ - 2x - 2y = - 72\end{array} \right.$$

Cộng theo vế hai phương trình được x = 22 (thỏa mãn) và y = 14 (thỏa mãn).

Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 22.14 = 308 (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì chu vi của mảnh đất bằng 80 m nên 2(a + b) = 80 hay a + b = 40 (m).

b) Đúng.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật khi tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 5 m là:

(a + 3)(b + 5) (m$^{2}$).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài chiều rộng là:

(a + 3)(b + 5) = ab + 195

Từ đây ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 120\\5a + 3b = 180\end{array} \right.$.

Trừ theo vế hai phương trình được 2a = 60 nên a = 30 (thỏa mãn).

Với a = 30 thì b = 10 (thỏa mãn).

d) Sai.

Diện tích mới của mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là:

30.10 + 195 = 495 (m$^{2}$)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của tam giác đó là S = $\frac{1}{2}xy$ (cm$^{2}$).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc

vuông lên 2 cm là $\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17$ hay (x + 2)(y + 2) = xy + 34.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi giảm độ dài một cạnh góc vuông 3 cm và một cạnh giảm 1 cm là: $\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11$.

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x - 3y = - 25\end{array} \right.$.

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được −2y = −10 nên y = 5.

Thay y = 5 được x = 10 (thỏa mãn).

Vậy diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}.5.10 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Do đó, diện tích ban đầu của tam giác vuông có giá trị là một số chính phương.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là $x$ (m), $y$ (m).

Điều kiện: $x > y > 0.$

Nửa chu vi của khu đất là: $270:2 = 135$ (m)

Vì nửa chu vi của khu đất là $135$ m nên ta có phương trình $x + y = 135$ (1)

Vì khu đất có chiều dài gấp $5$ lần chiều rộng nên ta có phương trình $x = 5y$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.$

Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 192

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}$$\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).$

Vì chu vi của mảnh đất là $56{\rm{\;m}}$ nên ta có $2\left( {x + y} \right) = 56$ hay $x + y = 28$ (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là $xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Nếu tăng chiều rộng thêm $2{\rm{\;m}}$ và giảm chiều dài đi $1{\rm{\;m}}$ thì lúc này, chiều dài mảnh đất là $x - 1{\rm{\;(m)}}$ và chiều rộng mảnh đất là $y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$ Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

$\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18$ hay $xy + 2x - y - 2 = xy + 18$.

Tức là, $2x - y = 20$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có $y = 2x - 20$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được:

$x + 2x - 20 = 28$ hay $3x = 48$, tức là, $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $x = 16$ vào (*), ta được $y = 2 \cdot 16 - 20 = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là $16{\rm{\;m}}$ và $12{\rm{\;m}}$.

Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng $16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 544

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là $x,\,\,y\,\,\,\left( {x > y > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)$.

Theo đề, hiệu nửa chu vi và hai lần chiều rộng là 15 m nên $x + y - 2y = 15$ hay $x - y = 15$ (1).

Lại có, tổng nửa chu vi và 3 lần chiều rộng là 100 m nên $x + y + 3y = 100$ hay $x + 4y = 100$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\x + 4y = 100\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, được $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\5y = 85\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\y = 17\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 32\\y = 17\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Diện tích của khu vườn là: $32 \cdot 17 = 544\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 36

Gọi x và y (cm) lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x, y > 4).

Diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là $S = \frac{1}{2}xy$ (cm$^{2}$)

Theo đề, nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích tăng lên 36 cm$^{2}$ nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36$ (1)

Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 2 cm, một cạnh giảm 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm$^{2}$ nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\2x + y = 30\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình được x = 12 và y = 9 (thỏa mãn).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông được cạnh huyền là:

$\sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,\,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy chu vi tam giác đó là: 12 + 9 + 15 = 36 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7000

Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng sân trường (x > y > 0).

Chu vi sân trường bằng 340 m nên ta có: 2(x + y) = 340 hay x + y = 170 (1)

Có 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m nên 3x – 4y = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 170\\3x - 4y = 20\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình được x = 100 và y = 70 (thỏa mãn)

Do đó chiều dài của sân trường là 100 m và chiều rộng là 70 m.

Diện tích của sân trường là: 70.100 = 7 000 (m$^{2}$).