Bài tập cuối chuyên đề 1 có đáp án

Hướng dẫn giải

a) và b) là các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; bc không phải hê phương trình bậc nhất ba ẩn vì chứa yz.

+) Bộ ba số (–1; 0; 1) có là nghiệm của hệ a).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 . (–1) – 0 + 1 = –1;

–(–1) + 2 . 0 = 1;

3 . 0 – 2 . 1 = –2.

+) Bộ ba số $(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-1)$ không là nghiệm của hệ a).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được $2.\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})+(-1)=-1,$ đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số (–1; 0; 1) không là nghiệm của hệ b).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4 . (–1) – 2 . 0 + 1 = 2, đây là đẳng thức sai.

+) Bộ ba số $(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-1)$ có là nghiệm của hệ b).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

$4.\frac{1}{2}-2(-\frac{1}{2})+(-1)=2;$

$8.\frac{1}{2}+3.(-1)=1;$

$-6(-\frac{1}{2})+2.(-1)=1.$

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{matrix}x-2y+z=3 \\ -y+z=2 \\ y+2z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y+z=3 \\ -y+z=2 \\ 3z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2y+z=3 \\ -y+1=2 \\ z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-2.(-1)+1=3 \\ y=-1 \\ z=1\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=0 \\ y=-1 \\ z=1\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0; –1; 1).

b) $\{\begin{matrix}3x-2y-4z & =3 \\ 4x+6y-z & =17 \\ x+2y & =5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-2y-4z & =3 \\ -13x-26y & =-65 \\ x+2y & =5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-2y-4z & =3 \\ x+2y & =5 \\ x+2y & =5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-2y-4z=3 \\ x+2y=5\end{matrix}.$

Từ phương trình thứ hai ta có x = –2y + 5, thay vào phương trình thứ nhất ta được z = –2y + 3. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 5; y; –2y + 3).

c) $\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ 3x-y-z=4 \\ x+5y+5z=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ 4y+4z=-1 \\ x+5y+5z=-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ 4y+4z=-1 \\ -4y-4z=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ 4y+4z=-1 \\ 0y+0z=1\end{matrix}.$

Vì phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1$\Rightarrow \{\begin{matrix}0=a{(-2)}^{2}+b(-2)+c \\ 0=a{.1}^{2}+b.1+c\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}4a-2b+c=0\ (1) \\ a+b+c=0\ (2)\end{matrix}.$

(P) đi qua điểm M(–1; 3) => 3 = a(–1)2 + b(–1) + c => a – b + c = 3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \\ a-b+c=3\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = $-\frac{3}{2}$, b = $-\frac{3}{2}$, c = 3.

Vậy phương trình của (P) là y = $-\frac{3}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+3.$

b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = –2 => –2 = a . 02 + b . 0 + c hay c = –2 (1).

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng –4 tại x = 2

$\Rightarrow \{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=2 \\ -4=a{.2}^{2}+b.2+c\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}4a+b=0\ (2) \\ 4a+2b+c=-4\ (3)\end{matrix}.$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}c=-2 \\ 4a+b=0 \\ 4a+2b+c=-4\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = $\frac{1}{2}$, b = –2, c = –2.

Vậy phương trình của (P) là y = $\frac{1}{2}$x2 – 2x – 2.

Hướng dẫn giải

Gọi giá tiễn mỗi viên ngọc lam, hoàng ngọc, ngọc bích lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

– Một viên lam ngọc và hai viên hoàng ngọc trị giá gấp 3 lần một viên ngọc bích, suy ra x + 2y = 3z hay x + 2y –3z = 0 (1).

– Bảy viên lam ngọc và một viên hoàng ngọc trị giá gấp 8 lần một viên ngọc bích, suy ra 7x + y = 8z hay 7x + y – 8z = 0 (2).

– Giá tiền của bộ ba viên ngọc là 270 triệu đồng, suy ra x + y + z = 270 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+2y-3z=0 \\ 7x+y-8z=0 \\ x+y+z=270\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 90, y = 90, z = 90.

Vậy giá tiền mỗi viên ngọc đều là 90 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đóng góp lần lượt là x, y,z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

– Số tiền người đầu tiên đóng góp bằng một nửa tổng số tiền của những người còn lại, suy ra x = $\frac{1}{2}$(y + z + 130) hay 2x – y – z = 130 (1).

– Người thứ hai đóng góp bằng $\frac{1}{3}$ tổng số tiền của những người còn lại, suy ra y = $\frac{1}{3}$(x + z + 130) hay –x + 3y – z = 130 (2).

– Người thứ ba đóng góp bằng $\frac{1}{4}$ tổng số tiền của những người còn lại, suy ra z = $\frac{1}{4}$(x + y + 130) hay –x – y + 4z = 130 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2x-y-z=130 \\ -x+3y-z=130 \\ -x-y+4z=130\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 200, y = 150, z = 120.

Suy ra tổng số tiền là: 200 + 150 + 120 + 130 = 600 (triệu đồng).

Vậy chiếc thuyền này được mua giá 600 triệu đồng.