Bài tập Cuối chuyên đề 1 có đáp án

a) $\{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ x+2y+3z=14 \\ 3x-2y-z=-4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ -y-2z=-8 \\ 5y+4z=22\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ -y-2z=-8 \\ -6z=-18\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ -y-2.3=-8 \\ z=3\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+2+3=6 \\ y=2 \\ z=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).

b) $\{\begin{matrix}2x-2y+z=6 \\ 3x+2y+5z=7 \\ 7x+3y-6z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-2y+z=6 \\ -10y-7z=4 \\ 7x+3y-6z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-2y+z=6 \\ -10y-7z=4 \\ -20y+19z=40\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-2y+z=6 \\ -8y-7z=4 \\ -33z=-32\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-2y+z=6 \\ -8y-7.\frac{32}{33}=4 \\ z=\frac{32}{33}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x-2(-\frac{178}{165})+\frac{32}{33}=6 \\ y=-\frac{178}{165} \\ z=\frac{32}{33}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{79}{55} \\ y=-\frac{178}{165} \\ z=\frac{32}{33}\end{matrix}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}).$

c) $\{\begin{matrix}2x+y-6z=1 \\ 3x+2y-5z=5 \\ 7x+4y-17z=7\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-6z=1 \\ -y-8z=-7 \\ 7x+4y-17z=7\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-6z=1 \\ -y-8z=-7 \\ -y-8z=-7\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y-6z=1 \\ -y-8z=-7\end{matrix}.$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=\frac{1-(7-8z)+6z}{2}=7z-3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{\}}.$

d) $\{\begin{matrix}5x+2y-7z=6 \\ 2x+3y+2z=7 \\ 9x+8y-3z=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}5x+2y-7z=6 \\ -11y-24z=-23 \\ -22y-48z=49\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}5x+2y-7z=6 \\ -22y-48z=-46 \\ -22y-48z=49\end{matrix}.$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

$\frac{1}{{x}^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{{x}^{2}-x+1}\Leftrightarrow \frac{1}{{x}^{3}+1}=\frac{A({x}^{2}-x+1)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)({x}^{2}-x+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{x}^{3}+1}=\frac{(A{x}^{2}-Ax+A)+(B{x}^{2}+Bx+Cx+C)}{{x}^{3}+1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{x}^{3}+1}=\frac{(A+B){x}^{2}+(-A+B+C)x+(A+C)}{{x}^{3}+1}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}A+B=0 \\ -A+B+C=0 \\ A+C=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}A=\frac{1}{3} \\ B=-\frac{1}{3} \\ C=\frac{2}{3}\end{matrix}.$

Vậy $A=\frac{1}{3},\ B=-\frac{1}{3},\ C=\frac{2}{3}.$

a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}-1=a{.2}^{2}+b.2+c \\ 3=a{.4}^{2}+b.4+c \\ 8=a.{(-1)}^{2}+b.(-1)+c\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4a+2b+c=-1 \\ 16a+4b+c=3 \\ a-b+c=-1\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$ b = $-\frac{2}{5},$ c = $-\frac{9}{5}.$

Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^{2}-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$

b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 5a + b = 0.

Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra

$0=a{.1}^{2}+b.1+c$ và $-4=a{.5}^{2}+b.5+c$

hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.

Vậy ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}5a+b=0 \\ a+b+c=0 \\ 25a+5b+c=-4\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.

Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.

Giả sử đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0).

Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:

$\{\begin{matrix}{0}^{2}+{1}^{2}-2a.0-2b.1+c=0 \\ {2}^{2}+{3}^{2}-2a.2-2b.3+c=0 \\ {4}^{2}+{1}^{2}-2a.4-2b.1+c=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2b-c=1 \\ 4a+6b-c=13 \\ 8a+2b-c=17\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0.

Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài, ta có:

– Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).

– Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).

– Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}5x+7y+10z=255 \\ x+y+z=36 \\ x+y-3z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.

Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.

Gọi khối lượng cà phê mỗi loại Arabica, Robusta và Moka có trong 1 kg cà phê trộn lần lượt là x, y, z (kg).

Như vậy x + y + z = 1 (1).

Theo đề bài, ta có:

– Giá của cà phê trộn là 300 nghìn đồng/kg, suy ra 320x + 280y + 260z = 300 hay 16x + 14y + 13z = 15 (2).

– Lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta trong mỗi gói, suy ra z = 2y hay 2y – z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ 16x+14y+13z=15 \\ 2y-z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = $\frac{5}{8},$ y = $\frac{1}{8},$ z = $\frac{1}{4}\Rightarrow$ x : y : z = 5 : 1 : 2.

Vậy tỉ lệ của ba loại cà phê là Arabica : Robusta : Moka = 5 : 1 : 2.

Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là x, y, z (ha).

Theo đề bài, ta có:

– Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra x + y + z =12 (1).

– Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra y = 2x hay 2x – y = 0 (2).

– Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra 4x + 3y + 4,5z = 45,25 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=12 \\ 2x-y=0 \\ 4x+3y+4{,}5z=45{,}25\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 2,5; y = 5; z = 4,5.

Vậy diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là 2,5 ha; 5 ha và 4,5 ha.

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xFeS2 + yO2 → zFe2O3 + tSO2.

Vì số nguyên tử Fe, S, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:

$\{\begin{matrix}x=2z \\ 2x=t \\ 2y=3z+2t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{x}{t}=2\frac{z}{t} \\ 2\frac{x}{t}=1 \\ 2\frac{y}{t}=3\frac{z}{t}+2\end{matrix}.$

Đặt X = $\frac{x}{t}$, Y = $\frac{y}{t}$, Z = $\frac{z}{t}$ ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

$\{\begin{matrix}X=2Z \\ 2X=1 \\ 2Y=3Z+2\end{matrix}$ hay $\{\begin{matrix}X-2Z=0 \\ 2X-1=0 \\ 2Y-3Z-2=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được X = $\frac{1}{2}$, Y = $\frac{11}{8}$, Z = $\frac{1}{4}.$ Từ đây suy ra x = $\frac{1}{2}$t, y = $\frac{11}{8}$t, z = $\frac{1}{4}$t.

Chọn t = 8 ta được x = 4, y = 11, z = 2. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

4FeS2 + 11O2 → 2Fe2O3 + 8SO2.

Gọi khối lượng dung dịch A, B, C cần lấy lần lượt là x, y, z (g).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 50 (1).

– Vì dung dịch mới có nồng độ 32% nên ta có: $\frac{10\%x+30\%y+50\%z}{50}=32\%$

$\Rightarrow 10x+30y+50z=1600\Rightarrow x+3y+5z=160\ (2).$

– Lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A nên z = 2x hay 2x – z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=50 \\ x+3y+5z=160 \\ 2x-z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 5, y = 35, z = 10.

Vậy khối lượng dung dịch A, B, C cần lấy lần lượt là 5 g, 35 g, 10 g.

Từ sơ đồ mạch điện, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}{I}_{1}+{I}_{2}={I}_{3} \\ \begin{matrix}{R}_{1}{I}_{1}+{R}_{3}{I}_{3}=U \\ {R}_{1}{I}_{1}-{R}_{2}{I}_{2}=0\end{matrix}\end{matrix}$ hay $\{\begin{matrix}{I}_{1}+{I}_{2}=1{,}5 \\ \begin{matrix}36{I}_{1}+1{,}5{R}_{3}=60 \\ 36{I}_{1}-45{I}_{2}=0\end{matrix}\end{matrix}$.

Giải hệ này ta được ${I}_{1}=\frac{5}{6}\ A,\ {I}_{2}=\frac{2}{3}\ A$và R3 = 20 V.

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) $(x,y,z\in ℕ*).$

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100\end{matrix}.$

$\{\begin{matrix}3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}15x+y+25z=300 \\ x+y+z=100\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}15x+y+25z=300 \\ -14y+10z=-1200\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}15x+y+25z=300 \\ -7y+5z=-600\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}15x+\frac{5z+600}{7}+25z=300 \\ y=\frac{5z+600}{7}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{100-12z}{7} \\ y=\frac{5z+600}{7}\end{matrix}\ (*).$

Vì x > 0 nên 100 – 12z > 0 $\Rightarrow z<\frac{100}{12}<9\Rightarrow z\in \{1;2;...;8\}.$

Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có z = 6 thoả mãn (vì y $\in ℕ*)$. Vậy z = 6, suy ra y = 90, x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.

Gọi số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba có lần lượt là x, y, z (đồng).

Theo đề bài ta có:

– Người thứ nhất nói với hai người kia: "Mỗi anh cho tôi vay một nửa số tiền của mình thì tôi đủ tiền mua ngựa", suy ra x + $\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=204$ (1).

– Người thứ hai nói: "Mỗi anh cho tôi vay một phần ba số tiền của mình, tôi sẽ mua được ngựa", suy ra $y+\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}x=204$ hay $\frac{1}{3}x+y+\frac{1}{3}z=204$ (2).

– Người thứ ba lại nói: "Chỉ cần mỗi anh cho tôi vay một phần tư số tiền của mình thì con ngựa sẽ là của tôi", suy ra $z+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y=204$ hay $\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y+z=204$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=204 \\ \frac{1}{3}x+y+\frac{1}{3}z=204 \\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y+z=204\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 60, y = 132, z = 156.

Vậy số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba có lần lượt là 60 đồng, 132 đồng, 156 đồng.