Bài tập cuối chương IV có đáp án

Áp dụng định lí côsin ta có:

c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2abcosC = 49,4$^{2}$ + 26,4$^{2}$ – 2.49,4.26,4.cos47°20' ≈ 1 369,6

⇒ c = $\sqrt{1369{,}6}\approx 37$ .

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có

cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{26,{4}^{2}+{37}^{2}-49,{4}^{2}}{2.26{,}4.37}\approx -0{,}192$ .

⇒ $\widehat{A}\approx {101}^{o}3'$ .

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{B}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{C})={180}^{o}-({101}^{o}3'+{47}^{o}20')={31}^{o}37'$

Vậy $\widehat{A}\approx {101}^{o}3'$ ; $\widehat{B}\approx {31}^{o}37'$ ; c ≈ 37.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{13}^{2}+{15}^{2}-{24}^{2}}{2.13.15}\approx -0{,}467$

⇒ $\widehat{A}\approx {117}^{o}49'$

cosB = $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{{24}^{2}+{15}^{2}-{13}^{2}}{2.24.15}\approx 0{,}878$

⇒ $\widehat{B}\approx {28}^{o}37'$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({117}^{o}49'+{28}^{o}37')={33}^{o}34'$

Vậy $\widehat{A}\approx {117}^{o}49'$; $\widehat{B}\approx {28}^{o}37'$; $\widehat{C}={33}^{o}34'$ .

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosC = $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{8}^{2}+{10}^{2}-{13}^{2}}{2.8.10}=-0{,}03125$

⇒ $\widehat{C}\approx {91}^{o}47'26''$

Suy ra $\widehat{C}>{90}^{o}$

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM$^{2}$ = AC$^{2}$ + CM$^{2}$ – 2.AC.CM.cosC = 10$^{2}$ + 4$^{2}$ – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+10+13}{2}=15{,}5$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15{,}5.(15{,}5-8).(15{,}5-10).(15{,}5-13)}\approx 40$

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{8.10.13}{4.40}=6{,}5$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{10}^{2}+{13}^{2}-{8}^{2}}{2.10.13}=\frac{205}{260}=\frac{41}{52}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2.AD.AB.cosA = 20$^{2}$ + 13$^{2}$ – 2.20.13.$\frac{41}{52}$ = 159

⇒ BD = $\sqrt{159}$≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA = 8$^{2}$ + 5$^{2}$ – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129}\approx 11{,}4$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{11,{4}^{2}+{5}^{2}-{8}^{2}}{2.11{,}4.5}\approx 0{,}798$

⇒ $\widehat{B}\approx {37}^{o}4'$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{C}={180}^{o}-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^{o}-({120}^{o}+{37}^{o}4')={22}^{o}56'$

Vậy a ≈ 11,4; $\widehat{B}\approx {37}^{o}4'$ ; $\widehat{B}={22}^{o}56'$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{11{,}4+8+5}{2}=12{,}2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{12{,}2.(12{,}2-11{,}4).(12{,}2-8).(12{,}2-5)}=\sqrt{295{,}1}\approx 17{,}2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{11{,}4.8.5}{4.17{,}2}\approx 6{,}6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h$_{a}$ là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h$_{a}$ = AH.

Khi đó $S=\frac{1}{2}a{h}_{a}\Rightarrow {h}_{a}=\frac{2S}{a}=\frac{2.17{,}2}{11{,}4}\approx 3$

⇒ AH = h$_{a}$ ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}={180}^{o}\Rightarrow \widehat{D}={180}^{o}-\widehat{A}$ suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2.AD.AB.cosA = BC$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2.BC.AB.cosA

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ – 2.AD.DC.cosD = BC$^{2}$ + AB$^{2}$ + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD$^{2}$ + AC$^{2}$ = 2AB$^{2}$ + 2BC$^{2}$ = 2(AB$^{2}$ + BC$^{2}$).

Vậy 2(AB$^{2}$ + BC$^{2}$) = AC$^{2}$ + BD$^{2}$.

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB$^{2}$ + BC$^{2}$) = AC$^{2}$ + BD$^{2}$ ta được:

2.(4$^{2}$ + 5$^{2}$) = AC$^{2}$ + 7$^{2}$ ⇒ AC$^{2}$ = 2.(4$^{2}$ + 5$^{2}$) – 7$^{2}$ = 33

⇒ AC = $\sqrt{33}\approx 5{,}7$

Vậy AC ≈ 5,7.

a) Nửa chu vi tam giác ABC là :

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+20+25}{2}=30$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{30.(30-15).(30-20).(30-25)}=\sqrt{22500}=150$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đơn vị diện tích).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{15.20.25}{4.150}=12{,}5$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12,5 (đơn vị độ dài).

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$ mà theo hệ quả định lí côsin cosA = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2.b.c}$ ;

Vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ ⇒ sinA = $\frac{2S}{bc}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{4S}$ ; cotC = $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4S}$ + $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{4S}$+ $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4S}$= $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{4S}$

Mặt khác S = $\frac{abc}{4R}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{4S}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{4.\frac{abc}{4R}}=\frac{R({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}{abc}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}{abc}$

Gọi vị trí của vệ tinh là C. Khi đó ta có tam giác ABC có : AC = 370 km, BC = 350 km, $\widehat{C}=2,{1}^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cosC = 370$^{2}$ + 350$^{2}$ – 2.370.350.cos2,1° ≈ 573,9

⇒ AB = $\sqrt{573{,}9}$ ≈ 24.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà A và B khoảng 24 km.

Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.

Trong tam giác ABP vuông tại B ta có:

tan $\widehat{BPA}$ = $\frac{AB}{PB}=\frac{AB}{PQ+QB}=\frac{AB}{300+QB}$ .

Suy ra : tan35° = $\frac{AB}{300+QB}$ ⇒ AB = (300 + QB).tan35° (1)

Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan $\widehat{BQA}$ = $\frac{AB}{QB}$

Suy ra : tan48° = $\frac{AB}{QB}$ ⇒ AB = QB.tan48°(2)

Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35° = QB.tan48°

⇒ QB = $\frac{300.\tan {35}^{o}}{\tan {48}^{o}-\tan {35}^{o}}$ ≈ 511,8.

⇒ AB = QB.tan48$^{o}$ ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.

Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC$_{1}$A$_{1}$ và DC$_{1}$B$_{1}$ là hai tam giác vuông tại C$_{1}$.

Tam giác DC$_{1}$A$_{1}$ có : tan49° = $\frac{D{C}_{1}}{{C}_{1}{A}_{1}}$

⇒ DC$_{1}$ = C$_{1}$A$_{1}$tan49° (1).

Tam giác DC$_{1}$B$_{1}$ có :

tan35° = $\frac{D{C}_{1}}{{C}_{1}{B}_{1}}=\frac{D{C}_{1}}{{C}_{1}{A}_{1}+{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{D{C}_{1}}{{C}_{1}{A}_{1}+12}$

⇒ DC$_{1}$ = (C$_{1}$A$_{1}$+ 12). tan35° = C$_{1}$A$_{1}$tan35° + 12tan35° (2).

Từ (1) và (2) suy ra: C$_{1}$A$_{1}$tan49° = C$_{1}$A$_{1}$tan35° + 12tan35°

⇒ C$_{1}$A$_{1}$ = $\frac{12\tan {35}^{o}}{\tan {49}^{o}-\tan {35}^{o}}$≈ 18,7.

⇒ DC$_{1}$ = C$_{1}$A$_{1}$tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.

Mà DC = DC$_{1}$ + C$_{1}$C = 21,5 + 1,2 = 22,7.

Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.