Bài tập cuối chương III có đáp án

a) Hàm số $y=\frac{1}{{x}^{2}-x}$ có nghĩa khi x$^{2}$ – x ≠ 0 ⇔ x(x – 1) ≠ 0 .

Vậy tập xác định của hàm số là D = {x$\in ℝ$ | x ≠ 0, x ≠ 1} =$ℝ\backslash \{0;\ 1\}$ .

b) Hàm số $y=\sqrt{{x}^{2}-4x+3}$ xác định khi x$^{2}$ – 4x + 3 ≥ 0 (1).

Ta giải bất phương trình (1), ta thấy tam thức bậc hai x$^{2}$ – 4x + 3 có hệ số a = 1 > 0, b = – 4, c = 3 và ∆ = (– 4)$^{2}$ – 4 . 1 . 3 = 4 > 0.

Khi đó tam thức x$^{2}$ – 4x + 3 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 1, x$_{2}$ = 3.

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai ta thấy x$^{2}$ – 4x + 3 không âm khi x ≤ 1 và x ≥ 3.

Do đó nghiệm của bất phương trình (1) là x ≤ 1 và x ≥ 3.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (– ∞; 1] ∪ [3; + ∞).

c) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ xác định khi x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Hoàn thiện đồ thị Hình 36, ta được:

a) Quan sát đồ thị hình trên, ta thấy lượng hàng hóa được sản xuất khi mức giá bán 1 sản phẩm là 2 triệu đồng; 4 triệu đồng lần lượt là 300 sản phẩm và 900 sản phẩm.

b) Nhu cầu thị trường đang cần là 600 sản phẩm, với mức giá bán là 3 triệu đồng/sản phẩm thì thị trường cân bằng.

a) Giả sử số tháng sử dụng Internet là x (x nguyên dương, x ≤ 15).

Gọi y (đồng, y > 0) là số tiền phải trả khi dùng Internet.

Theo gói A, ta có:

+ Nếu x ≤ 6: y = 190 000.x

+ Nếu 6 < x ≤ 13: y = 190 000 . (x – 1)

+ Nếu 13 < x ≤ 15: y = 190 000 . (x – 2)

Vậy ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói A là: $y=\{\begin{matrix}190\ 000\ .x\ khi\ x\ \le 6 \\ 190\ 000\ .(x-1)\ khi\ 6<x\le 13 \\ 190\ 000.(x-2)\ khi\ 13<x\le 15\end{matrix}$.

Theo gói B, ta có:

+ Nếu x < 7: y = 189 000 . x

+ Nếu x = 7: y = 1 134 000

+ Nếu 7 < x < 13: y = 1 134 000 + (x – 7) . 189 000

+ Nếu 13 ≤ x ≤ 15: y = 2 268 000

Vậy ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói B là: $y=\{\begin{matrix}189\ 000.x\ khi\ x\ <7 \\ 1\ 134\ 000\ khi\ x\ =7 \\ 1\ 134\ 000\ +(x-7).189\ 000\ khi\ 7\ <x\ <13 \\ 2\ 268\ 000\ khi\ 13\ \le x\le 15\end{matrix}$.

b) Theo gói A, nếu gia đình bạn Minh dùng 15 tháng Internet thì nên số tiền cước trả ít nhất sẽ là theo cách chọn 12 tháng thanh toán 1 lần và được tặng 2 tháng, nghĩa là được dùng 14 tháng và mất phí theo tháng thêm 1 tháng nữa, tức là số tiền phải tra cho 15 tháng sử dụng là: 190 000 . 12 + 190 000 = 2 470 000 (đồng).

Theo gói B, nếu trả cả 15 tháng 1 lúc thì gia đình bạn Minh phải trả số tiền ít nhất là 2 268 000 đồng.

Vì 2 268 000 < 2 470 000.

Vậy gia đình bạn Minh nếu dùng 15 tháng thì nên chọn gói B và trả tiền cước ngay 15 tháng.

* Hình 37a: Quan sát đồ thị ta thấy:

a) Bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên hệ số a > 0 hay hệ số a mang dấu “+”.

b) Tọa độ đỉnh I(1; – 1), trục đối xứng x = 1.

c) Do hệ số a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞) nên hàm số y > 0 trên các khoảng giá trị của x là (– ∞; 0) ∪ (2; + ∞).

g) Phần parabol phía dưới trục hoành tương ứng với khoảng (0; 2) nên hàm số y < 0 trên (0; 2). Vậy khoảng giá trị của x mà y ≤ 0 là đoạn [0; 2].

* Hình 37b: Quan sát đồ thị ta thấy,

a) Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên a < 0 hay hệ số a mang dấu “–”.

b) Tọa độ đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1.

c) Do hệ số a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).

d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với khoảng (– 1; 3) nên khoảng giá trị của x là (– 1; 3) thì y > 0.

g) Phần parabol nằm phía dưới trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞) nên khoảng giá trị của x để y ≤ 0 là (– ∞; – 1] ∪ [3; + ∞).

a) y = x$^{2}$ – 3x – 4

Ta có: hệ số a = 1 > 0, b = – 3, c = – 4, ∆ = (– 3)$^{2}$ – 4 . 1 . (– 4) = 25 > 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I$(\frac{3}{2};\ \frac{-25}{4})$ .

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$ .

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 4).

- Giao với trục hoành tại các điểm B(– 1; 0) và C(4; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 4) qua trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$ là điểm D(3; – 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị của hàm số y = x$^{2}$ – 3x – 4 như hình dưới.

b) y = x$^{2}$ + 2x + 1

Ta có hệ số a = 1 > 0, b = 2, c = 1, ∆ = 2$^{2}$ – 4 . 1 . 1 = 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao của parabol với trục tung A(0; 1).

- Giao của parabol với trục hoành chính là đỉnh I(– 1; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; 1).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2x + 1 như hình dưới.

c) y = – x$^{2}$ + 2x – 2

Ta có hệ số a = – 1 < 0, b = 2, c = – 2 và ∆ = 2$^{2}$ – 4 . (– 1) . (– 2) = – 4.

- Đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới.

- Tọa độ đỉnh I(1; – 1).

- Trục đối xứng x = 1.

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 2). Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 1 là B(2; – 2).

- Parabol không cắt trục hoành.

- Lấy điểm C(3; – 5) thuộc đồ thị hàm số, ta có điểm đối xứng với điểm C qua trục x = 1 là điểm D(– 1; – 5).

Vẽ đồ thị đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – x$^{2}$ + 2x – 2 như hình vẽ dưới.

a) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x$^{2}$ + 4x – 1 có hệ số a = – 3 < 0, b = 4, c = – 1 và ∆ = 4$^{2}$– 4 . (– 3) . (– 1) = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = $\frac{1}{3}$ và x$_{2}$ = 1.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu như sau:

b) Tam thức bậc hai f(x) = x$^{2}$ – x – 12 có hệ số a = 1 > 0, b = – 1, c = – 12 và ∆ = (– 1)$^{2}$ – 4 . 1 . (– 12) = 49 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = – 3 và x$_{2}$ = 4.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

c) Tam thức bậc hai f(x) = 16x$^{2}$ + 24x + 9 có hệ số a = 16 > 0, b = 24, c = 9, ∆ = 24$^{2}$ – 4 . 16 . 9 = 0.

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép x = $-\frac{3}{4}$ .

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

a) 2x$^{2}$ + 3x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 2x$^{2}$ + 3x + 1 có ∆ = 3$^{2}$ – 4 . 2 . 1 = 1 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm x$_{1}$ = – 1, x$_{2}$ = $-\frac{1}{2}$ và có hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x$^{2}$ + 3x + 1 không âm là $(-\infty ;-1)\cup (-\frac{1}{2};+\infty )$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x$^{2}$ + 3x + 1 là $(-\infty ;-1)\cup (-\frac{1}{2};+\infty )$ .

b) – 3x$^{2}$ + x + 1 > 0

Tam thức bậc hai – 3x$^{2}$ + x + 1 có ∆ = 1$^{2}$ – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm ${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{13}}{6},{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ và hệ số a = – 3 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 3x$^{2}$ + x + 1 mang dấu “+” là $(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6})$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x$^{2}$ + x + 1 là $(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6})$ .

c) 4x$^{2}$ + 4x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 4x$^{2}$ + 4x + 1 có ∆ = 4$^{2}$ – 4 . 4 . 1 = 0 nên tam thức này có nghiệm kép là x = $-\frac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 4x$^{2}$ + 4x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \{-\frac{1}{2}\}$ và 4x$^{2}$ + 4x + 1 = 0 tại x = $-\frac{1}{2}$ .

Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ℝ$ .

d) – 16x$^{2}$ + 8x – 1 < 0

Tam thức bậc hai – 16x$^{2}$ + 8x – 1 < 0 có ∆ = 8$^{2}$ – 4 . (– 16) . (– 1) = 0 nên tam thức có nghiệm kép là x = $\frac{1}{4}$ và hệ số a = – 16 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 16x$^{2}$ + 8x – 1 mang dấu “–” là $ℝ\backslash \{\frac{1}{4}\}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 16x$^{2}$ + 8x – 1 là $ℝ\backslash \{\frac{1}{4}\}$ .

e) 2x$^{2}$ + x + 3 < 0

Tam thức bậc hai 2x$^{2}$ + x + 3 có ∆ = 1$^{2}$ – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0 và hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 2x$^{2}$ + x + 3 > 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$ .

Vậy bất phương trình 2x$^{2}$ + x + 3 < 0 vô nghiệm.

g) – 3x$^{2}$ + 4x – 5 < 0

Tam thức bậc hai – 3x$^{2}$ + 4x – 5 có ∆ = 4$^{2}$ – 4 . (– 3) . (– 5) = – 44 < 0 và hệ số a = – 3.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy – 3x$^{2}$ + 4x – 5 < 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x$^{2}$ + 4x – 5 < 0 là $ℝ$ .

a) $\sqrt{x+2}=x$ (1)

Điều kiện: x > 0

Bình phương hai vế của (1) ta được: x + 2 = x$^{2}$

⇔ x$^{2}$ – x – 2 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-1 \\ x=2\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên ta thấy x = 2 thỏa mãn x > 0.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

b) $\sqrt{2{x}^{2}+3x-2}=\sqrt{{x}^{2}+x+6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: 2x$^{2}$ + 3x – 2 = x$^{2}$ + x + 6

⇔ 2x$^{2}$ – x$^{2}$ + 3x – x – 2 – 6 = 0

⇔ x$^{2}$ + 2x – 8 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-4 \\ x=2\end{matrix}$

Thử lại cả hai giá trị trên vào phương trình (2) ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 4 đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = – 4.

c) $\sqrt{2{x}^{2}+3x-1}=x+3$ (3)

Trước hết ta giải bất phương trình x + 3 > 0 ⇔ x > – 3.

Bình phương hai vế của (3) ta được: 2x$^{2}$ + 3x – 1 = (x + 3)$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ + 3x – 1 = x$^{2}$ + 6x + 9

⇔ 2x$^{2}$ – x$^{2}$ + 3x – 6x – 1 – 9 = 0

⇔ x$^{2}$ – 3x – 10 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-2 \\ x=5\end{matrix}$

Ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn x > – 3.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = – 2 và x = 5.

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0).

Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x km, AB = 4 km, BC = 1 km.

Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (do SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)

Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có:

SC$^{2}$ = BC$^{2}$ + BS$^{2}$ = 1$^{2}$ + (4 – x)$^{2}$ = 1 + 16 – 8x + x$^{2}$ = x$^{2}$ – 8x + 17

Suy ra: SC = $\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$ (km)

Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 3 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 3x (triệu đồng).

Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 5 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là: $5\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$ (triệu đồng).

Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 16 triệu đồng nên ta có phương trình: $3x+5\sqrt{{x}^{2}-8x+17}=16$ .

Ta cần giải phương trình $3x+5\sqrt{{x}^{2}-8x+17}=16$ (1).

Ta có (1)$\Leftrightarrow 5\sqrt{{x}^{2}-8x+17}=16-3x$ (2).

Trước hết ta giải bất phương trình: 16 – 3x > 0 ⇔ x <$\frac{16}{3}$ .

Mà 0 < x < 4 nên điều kiện của phương trình (1) là 0 < x < 4.

Bình phương hai vế của (2) ta được: 25.(x$^{2}$ – 8x + 17) = (16 – 3x)$^{2}$

⇔ 25x$^{2}$ – 200x + 425 = 256 – 96x + 9x$^{2}$

⇔ 16x$^{2}$ – 104x + 169 = 0

⇔ x = 3,25 (thỏa mãn điều kiện).

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 3,25 km.

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{{x}^{2}-8x+17}=\sqrt{{(3{,}25)}^{2}-8.3{,}25+17}=1{,}25$ (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km).