Bài tập cuối chương II có đáp án

a) Vẽ đường thẳng a: -2x + y - 1 = 0 đi qua hai điểm A(0; 1) và B($-\frac{1}{2}$; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ a và -2.0 + 0 - 1 = -1 ≤ 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình -2x + y - 1 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -2x + y - 1 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ a, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

b) Vẽ đường thẳng b: - x + 2y = 0 đi qua hai điểm O(0; 0) và B(2 ;1).

Xét điểm C(0 ; 1). Ta thấy C ∉ b và - 0 + 2.1 = 2 > 0.

Suy ra (0 ; 1) là nghiệm của bất phương trình - x + 2y > 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình - x + 2y > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ b, có chứa điểm C(0 ; 1) (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

c) Ta có : x – 5y < 2 ⇔ x – 5y – 2 < 0

Vẽ đường thẳng c: x - 5y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; $\frac{-2}{5}$) và B(2 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ c và 0 – 5.0 – 2 = - 2 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 5y – 2 < 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 5y – 2 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ c, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

d) Vẽ đường thẳng d: -3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B($\frac{2}{3}$; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ d và -3.0 + 0 + 2 = 2 > 0.

Suy ra (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, không chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0

⇔ - 2x + 4y – 8 < 0

. ⇔ - x + 2y – 4 < 0.

Vẽ đường thẳng e: - x + 2y – 4 = 0.đi qua hai điểm A(0; 2) và B(-4 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ e và - 0 + 2. 0 - 4 = - 4 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình - x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ e, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ:

- Vẽ đường thẳng a : x - 2y = 0 đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A (2 ; 1).

Xét điểm B (0 ; 1). Ta có B ∉ a và 0 – 2.1 = - 2 < 0.

Do đó (0 ; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình: x – 2y > 0

Miền nghiệm của bất phương trình x – 2y > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng a (không kể bờ a) và không chứa điểm B (0 ; 1).

- Vẽ đường thẳng b : x + 3y = 3 đi qua hai điểm B(0 ; 1) và C (3 ; 0).

Xét điểm gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta có O ∉ b và 0 + 3.0 = 0 < 3.

Do đó (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3.

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng b (không kể bờ b) và chứa điểm O (0 ; 0).

Ta có hình sau :

Vậy, miền không tô màu (không bao gồm các đường thẳng a và b) là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm A, y (kg) là khối lượng sản phẩm B mà công ty sản xuất.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 2x (kg).

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự,

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 4x (kg).

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 4y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 4x + 4y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 24 kg, nên ta có bất phương trình : 4x + 4y ≤ 24, tức là x + y ≤ 6.

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là x (kg).

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại III cần dùng là x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại III là 8 kg, nên ta có bất phương trình : x + 2y ≤ 8.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :

$\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ 2x\ +\ y\le 8 \\ \begin{matrix}x\ +\ y\le 6 \\ x\ +\ 2y\le 8\end{matrix}\end{matrix}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 4) ; B($\frac{8}{3}$ ; $\frac{8}{3}$) ; C(4 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta có:

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại A là : 30x (triệu đồng) .

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại B là : 50y (triệu đồng).

Khi đó F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 30.0 +50.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 4) : F = 30 . 0 + 50 . 4 = 200 ;

Tại B($\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$) : F = 30 . $\frac{8}{3}$ + 50 . $\frac{8}{3}$ = $\frac{640}{3}\approx 213$

Tại C(4 ; 0) : F = 30 . 4 + 50 . 0 =120.

F đạt lớn nhất bằng 213 tại B($\frac{8}{3}$ ; $\frac{8}{3}$).

Vậy công ty nên sản xuất $\frac{8}{3}$ kg sản phẩm loại A và $\frac{8}{3}$ kg sản phẩm loại B để thu về tiền lãi lớn nhất.

Gọi x (chiếc) là số tủ loại A, y (chiếc) là số tủ loại B mà công ty cần mua.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Khi đó, x chiếc tủ loại A chiếm 3x m$^{2}$ sàn ; y chiếc tủ loại B chiếm 6y m$^{2}$ sàn.

Tổng mặt bằng hai loại tủ chiếm : 3x + 6y (m$^{2}$)

Do công ty chỉ thu xếp được 60 m$^{2}$ mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ nên ta có bất phương trình : 3x + 6y ≤ 60 hay x + 2y ≤ 20.

Số tiền cần dùng để mua x chiếc tủ loại A là : 7,5x (triệu đồng) ; mua y chiếc tủ loại B cần số tiền là 5y (triệu đồng).

Tổng số tiền dùng mua hai loại tủ trên là : 7,5x + 5y (triệu đồng).

Do ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên ta có bất phương trình :

7,5x + 5y ≤ 60 hay 1,5x + y ≤ 12.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

$\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x\ +\ 2y\le 20 \\ 1{,}5x\ +\ y\le 12.\end{matrix}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh).

Các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 10) ; B(2 ; 9) ; C(8 ; 0).

Gọi F là thể tích đựng hồ sơ của công ty.

Ta có x chiếc tủ loại A sẽ có sức chứa 12x (m$^{3}$); y chiếc tủ loại B có sức chứa 18y (m$^{3}$).

Tổng sức chứa của hai loại tủ là : 12x + 18y (m$^{3}$).

Do đó F = 12x + 18y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 12.0 + 18.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 10) : F= 12.0 + 18.10 = 180 ;

Tại B(2 ; 9) : F = 12.2 + 18.9= 186;

Tại C(8 ; 0): F = 12.8 + 18.0= 96.

F đạt giá trị lớn nhất là 186 tại B(2 ; 9).

Vậy để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất thì công ty cần mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B.

Gọi x (hũ) là số hũ tương cà loại A, y (hũ) là số hũ tương cà loại B.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0, y ≥ 0 và x ∈$ℕ$.

Để làm x hũ tương cà loại A cần 10x (kg) cà chua và x (kg) hành tây.

Để làm y hũ tương cà loại B cần 5y (kg) cà chua và 0,25y (kg) hành tây.

Khi đó tổng khối lượng cà chua cần dùng là : 10x + 5y (kg) ; tổng khối lượng hành tây cần dùng là x + 0,25 (kg).

Do nông trại chỉ thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây nên ta có các bất phương trình sau :

10x + 5y ≤ 180, tức là 2x + y ≤ 36.

Và x + 0,25y ≤ 15.

Mặt khác, số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên ta có bất phương trình x ≥ 3,5y.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau: $\{\begin{matrix}x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ 2x\ +\ y\le \ 36 \\ \begin{matrix}x\ +\ 0{,}25y\le 15 \\ x\ge 3{,}5y\end{matrix}\end{matrix}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta có hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (14 ; 4) ; B(15 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị : nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ x hũ tương cà loại A là: 200x (nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ y hũ tương cà loại B là: 150y (nghìn đồng).

Tổng số tiền lãi là 200x + 150y (nghìn đồng). Tức là F = 200x + 150y.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác OAB :

Tại O (0 ; 0) : F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A (14 ; 4) : F= 200. 14 + 150. 4 = 3 400 ;

Tại B(15 ; 0): F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

F đạt giá trị lớn nhất là 3 400 tại A (14 ; 4).

Vậy để nông trại có nhiều tiền lãi nhất thì nông trại phải sản xuất 14 hũ loại A và 4 hũ loại B.