Bài tập cuối chương I có đáp án

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì {a} là kí hiệu tập hợp, do đó không thể viết thuộc {a; b; c; d} mà phải viết là {a} $\subset$ {a; b; c; d}.

b) Tập $\emptyset$ là tập không có phần tử nào nên $\emptyset${0}. Do đó mệnh đề b) sai.

c) Ta có {a; b; c; d} = {b; a; d; c}. Do đó mệnh đề c) đúng.

d) Tập {a; b; c} là tập con của chính nó. Do đó mệnh đề d) sai.

a) Với a là số thực cho trước, ta có 2a – 1 > 0 ⇔ a > $\frac{1}{2}$ > 0 hay a > 0. Do đó mệnh đề đã cho đúng.

b) Với a, b là hai số thực cho trước, ta có:

a – 2 > b

⇔ a – 2 + 2 > b + 2 (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)

⇔ a > b + 2

Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, các định lí được phát biểu như sau:

B $\subset$ A là điều kiện đủ để có A ∪ B = A.

A ∪ B = A là điểu kiện cần để có B $\subset$ A.

b) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, các định lí được phát biểu như sau:

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để nó là hình thoi.

Hình bình hành ABCD là hình thoi là điều kiện cần để nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bằng cách sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”. Định lí trên được phát biểu sau:

Với mọi số thực x, điều kiện cần và đủ để là x $\in ℤ$ là x + 1 $\in ℤ$.

a) Ta thấy rằng với x = 0 là số tự nhiên nhưng x$^{3}$ = 0 = x. Do đó tồn tại giá trị của x không thỏa mãn x$^{3}$ > x. Vì vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

b) Chọn x = 1 $\in ℤ$ nhưng 1 vẫn là số tự nhiên. Do đó tồn tại số nguyên là số tự nhiên. Vì vậy mệnh đề b) sai.

c) Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ nên mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Tất cả các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông đều là tứ giác. Do đó các tập B, C, D, E đều là tập con của tập A.

Hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều là hình bình hành. Do đó các tập C, D, E là tập con của tập B.

Hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật nên tập D = C ∩ E.

Khi đó, ta có sơ đồ Ven sau:

) Các tập con của tập A gồm:

- Tập không có phần tử nào $\emptyset$;

- Tập có một phần tử: {a}, {b}, {c};

- Tập có hai phần tử: {a; b}, {a; c}, {b; c};

- Tập có ba phần tử: {a; b; c}.

Vậy các tập hợp con của tập A là: $\emptyset$, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c}.

b) Tất cả các tập hợp B thỏa mãn điều kiện {a; b} $\subset$ B $\subset$ {a; b; c; d} là:

B = {a; b}, B = {a; b; c}, B = {a; b; d}, B = {a; b; c; d}.

Vậy B = {a; b}, B = {a; b; c}, B = {a; b; d}, B = {a; b; c; d}.

+) Xét phương trình x$^{2}$ – 5x – 6 = 0 ⇔ $[\begin{matrix}x=-1 \\ x=6\end{matrix}$

Suy ra A = {-1; 6}.

+) Xét phương trình x$^{2}$ = 1⇔ $[\begin{matrix}x=-1 \\ x=1\end{matrix}$

Suy ra B = {-1; 1}.

Khi đó ta có: A∩B = {-1}; A∪B = {-1; 1; 6}; A\B = {6}; B\A = {1}.

+) Xét bất phương trình 1 – 2x ≤ 0 ⇔ x ≥ $\frac{1}{2}$.

Suy ra A = $[\frac{1}{2};+\infty )$.

+) Xét bất phương trình x – 2 < 0 ⇔ x < 2

Suy ra B =(-∞; 2).

Để xác định tập A∩B ta có sơ đồ sau:

Do đó A∩B = $[\frac{1}{2};2)$.

Để xác định tập A∪B

Do đó A∪B = (-∞; +∞).

Vậy A∩B = $[\frac{1}{2};2)$ và A∪B = (-∞; +∞).

Gọi A là tập hợp học sinh tham gia cuộc thi thiết kế đồ họa trên máy tính, B là tập hợp học sinh tham gia cuộc thi văn phòng cấp trường.

Số học sinh tham gia ít nhất một cuộc thi là: 45 – 9 = 36 (học sinh). Khi đó, ta có n(A∪B) = 36.

Theo đầu bài, ta có: n(A) = 18, n(B) = 24.

Số học sinh tham gia đồng thời cả hai cuộc thi là:

n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B) = 18 + 24 – 36 = 6 (học sinh).

Vậy có tất cả là 6 học sinh tham gia đồng thời cả hai kì thi.