Bài tập cuối chương 4 lớp 9 (có lời giải)

Vẽ $AH \bot CD$ và $BK \bot CD$, dễ thấy $AHKB$ là hình chữ nhật.

Do đó $AH = BK$ và $AB = HK$.

Xét $\Delta ADH$ vuông tại $H$, ta có

$DH=AD\cdot \cos \widehat{ADH}=6\cdot \cos {50}^{^{\circ}}\approx 4{,}6(\text{cm}).$

Tương tự, xét $\Delta BKC$ vuông tại $K$, ta có $KC=BK\cdot \cot \widehat{BCK}=4{,}6\cdot \cot {36}^{^{\circ}}\approx 6{,}3(\text{cm})$

và $BC=\frac{BK}{\sin \widehat{KCB}}=\frac{4{,}6}{\sin {36}^{^{\circ}}}\approx 7{,}8(\text{cm})$

Ta có $DC = DH + HK + KC = 3{,}9 + 4 + 6{,}3 \approx 14{,}2(\;{\rm{cm}})$.

Do đó chu vi của hình thang là $4 + 7{,}8 + 14{,}2 + 614{,}2 \approx 32(\;{\rm{cm}})$.

a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $ABC$, ta có

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25{\rm{ suy ra }}\\BC = 5(\;{\rm{cm}}).\end{array}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$, ta có

$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}$

suy ra $AH = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = 2{,}4(\;{\rm{cm}})$.

Dễ thấy $AMHN$ là hình chữ nhật nên $MN = AH$ nên $MN = 2{,}4\;{\rm{cm}}$.

b) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có $A{H^2} = AM \cdot AB \Leftrightarrow AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{2{,}4}^2}}}{4} = 1{,}44(\;{\rm{cm}})$.

Ta xét $\Delta AMN$ vuông tại $A$, ta có $\tan \widehat{AMN}=\frac{AN}{AM}=\frac{1{,}44}{1{,}92}\approx \tan {36}^{^{\circ}}{52}^{'}$

Do đó $\widehat{AMN}={36}^{^{\circ}}{52}^{'}$

Mà $\widehat{ANM}={90}^{^{\circ}}=\widehat{AMN}={90}^{^{\circ}}-{36}^{^{\circ}}{52}^{'}={53}^{^{\circ}}{8}^{'}$

c) Gọi $S$ là diện tích tứ giác$BMNC$.

Ta có $S = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC - \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1{,}92 \cdot 1{,}44 \approx 4{,}6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích tứ giác $BMNC$ là $4{,}6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Lời giải

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Ta có:

$\begin{array}{l}AK = CH\\ \Rightarrow AD + DK = CH\\ \Rightarrow AD = CH - DK = 2{,}1 - 1 = 1{,}6m\end{array}$

Mà:

$\begin{array}{l}AB + AD = BD\\ \Rightarrow AB = BD - AD = 8{,}1 - 1{,}6 = 6{,}5m\end{array}$

Xét vuông tại $A$, ta có:

${\mathop{\rm sinC}\nolimits} = \frac{{AB}}{{BC}}$ ( tỷ số lượng giác của góc nhọn)

$\Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{6{,}5}}{{\sin {{40}^0}}} \approx 10{,}1m$.

Vậy cần cẩu phải dài 10,1 m.

Hình vẽ minh họa Câu toán

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

$\Rightarrow \tan B = \tan B' = \frac{{A'C'}}{{A'B'}} = \frac{{15}}{{2{,}64}}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$$\Rightarrow B = B' \approx {80^o}$$

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là ${80^o}$

b) Ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$

$$\Rightarrow AC = AB.tanB = 47{,}3.\frac{{15}}{{2{,}64}} \approx 268{,}8m$$

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, ta có

$\tan ADB = \frac{{AB}}{{AD}}$ (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

$AD = \frac{{AB}}{{\tan ADB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{40}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có

$\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}}$ (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

$AC = \frac{{AB}}{{\tan ACB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có: $AD + DC = AC$(vì $D$thuộc $AC$)

$$\frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} + 89 = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}$$

$\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} = 89$

$$\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right) = 89$$

$AB = \frac{{89}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}}}$

Do đó $AB \approx 164{,}7\,m$

Xét $\Delta ABC$vuông tại B, ta có: $\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$ $\Rightarrow \widehat {BAC} \approx 38{,}7^\circ$

Ta có: $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = 38{,}7^\circ + 20^\circ = 58{,}7^\circ$

Xét $\Delta ABD$vuông tại B, Ta có: $BD = AB.\tan BAD = 2{,}5.\tan 58{,}7^\circ \approx 4{,}1\left( m \right)$

$$\Rightarrow CD = BD - BC = 4{,}1 - 2 = 2{,}1\left( m \right)$$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1 (m).

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: O10-2024-GV154 $AC = \sqrt {B{C^2} - B{A^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12cm$

Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: O10-2024-GV154.$\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}$;${\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$;

$\tan \widehat {ACB} = \frac{{\sin \widehat {ACB}}}{{{\rm{cos}}\widehat {ACB}}} = \frac{5}{{12}}$;$\cot \widehat {ACB} = \frac{1}{{{\rm{tan}}\widehat {ACB}}} = \frac{{12}}{5}$.

b)Áp dụng tính chất đường phân giác trong $\Delta ABC$ ta có: O10-2024-GV154

$$\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{AE}}{5} = \frac{{CE}}{{13}} = \frac{{AE + CE}}{{5 + 13}} = \frac{{AC}}{{18}} = \frac{2}{3}$$

Vậy$A{\rm{E}} = \frac{{10}}{3}cm.$${\rm{CE}} = \frac{{26}}{3}cm.$

$$\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{CB}}{{BF}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{12}} = \frac{{BF}}{{13}} = \frac{{AF + BF}}{{12 + 13}} = \frac{{AC}}{{25}} = \frac{1}{5}$$

Vậy ${\rm{AF}} = \frac{{12}}{5}cm.$${\rm{BF}} = \frac{{13}}{5}cm.$

a) Xét $\Delta AMB$ vuông tại $B$có: O10-2024-GV154.$AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13cm$

Ta có: O10-2024-GV154 $\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{12}}{{13}}$;$co{\mathop{\rm s}\nolimits} \widehat {AMB} = \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{5}{{13}}$;$\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{12}}{5}$;$\cot \widehat {AMB} = \frac{1}{{{\rm{tan}}\widehat {AMB}}} = \frac{5}{{12}}$.

b)Xét $\Delta AMB = \Delta DNA(c.g.c)$$\Rightarrow AM = DN$.

c)Ta có: O10-2024-GV154 $\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{AB}}$;$\cot \widehat {AND} = \frac{{AN}}{{AD}}$.Do$\Rightarrow BM = AN;AB = A{\rm{D}}$

$\Rightarrow \tan \widehat {BAM} = \cot \widehat {AND}$ nên trong $\Delta AKN$ có: O10-2024-GV154.$\widehat {BAM}$ và$\widehat {AND}$phụ nhau.Suy ra $\widehat {AKN} = {90^0}$.Vậy${\rm{AM}} \bot {\rm{DN}}$.

Ta có ${\sin ^2}80^\circ = {\cos ^2}10^\circ ;{\sin ^2}70^\circ = {\cos ^2}20^\circ ;{\sin ^2}60^\circ = {\cos ^2}30^\circ ;{\sin ^2}50^\circ = {\cos ^2}40^\circ$ và ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Nên ${\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\sin ^2}50^\circ + {\sin ^2}60^\circ + {\sin ^2}70^\circ + {\sin ^2}80^\circ$

$= {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\cos ^2}40^\circ + {\cos ^2}30^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\cos ^2}10^\circ$

$= ({\sin ^2}10^\circ + {\cos ^2}10^\circ ) + ({\sin ^2}20^\circ + {\cos ^2}20^\circ ) + ({\sin ^2}30^\circ + {\cos ^2}30^\circ ) + ({\sin ^2}40^\circ + {\cos ^2}40^\circ )$

$= 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Ta có $\tan 80^\circ = \cot 10^\circ ;\tan 70^\circ = \cot 20^\circ ;\tan 50^\circ = \cot 40^\circ ;\cot 60^\circ = \cot 30^\circ$ và $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$

Nên $B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .tan80^\circ$

$= \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ$

$= (\tan 10^\circ .\cot 10^\circ ).(\tan 20^\circ .\cot 20^\circ ).(\tan 30^\circ .\cot 30^\circ ).(\tan 40^\circ .\cot 40^\circ )$ $= 1.1.1.1 = 1$.Vậy $B = 1$.

Độ cao của diều là $CD$, độ dài $AB = 100\,m$. Trung đứng ở $A$, Dũng đứng ở $B$.

Gọi $AD = x\,(0 < x < 100)$ $\Rightarrow BD = 100 - x$

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có $CD = AD.\tan A = x.\tan 50^\circ$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có $CD = BD.\tan B = (100 - x).\tan 40^\circ$

Nên $x.\tan 50^\circ = (100 - x).\tan 40^\circ \Rightarrow x \simeq 41{,}32$ (thoả mãn)

$\Rightarrow CD = 41{,}32.tan50^\circ \approx 49{,}24\,m$.

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là $49{,}24\,m$.

Vẽ đường phân giác BD của $\Delta ABC$ (D $\in$ AC).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: O10-2024-GV154 $\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$

$\Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$.

Xét $\Delta ABD$ có $\widehat {BAD} = 90^\circ$ $\Rightarrow \tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}$

$$\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$$

Vậy $\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}$

Ta có $\cos A = \frac{{AE}}{{AB}};\,\,\cos B.cosC = \frac{{BD}}{{AB}}.\frac{{DC}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác

$\Rightarrow \frac{{DB}}{{DA}} = \frac{{DH}}{{DC}} \Rightarrow DB.DC = DA.DH$

Hay $DB.DC = DA.AH\,\,\left( 2 \right)$

Mà $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AD.DH\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)$ ta có ${\mathop{\rm cosB}\nolimits} .cosC = \frac{{AE.AC}}{{AB.AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}$ suy ra $\cos A = \cos B.cosC$