Bài tập cuối chương 1 lớp 9 (có đáp án)

a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + 5y = 2}\\{\frac{2}{5}x + y = 1}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + 5y = 2}\\{2x + 5y = 5}\end{array}} \right.$.

Hệ vô nghiệm.

Học sinh tự vẽ hình. Hai đường thẳng $2x + 5y = 2$ và $2x + 5y = 5$ song song với nhau.

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0{,}2x + 0{,}1y = 0{,}3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + y = 3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\end{array}$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.$$

Khi đó $y = \frac{1}{2}(3x - 1)$

Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {2\,;\,\, - 1} \right)$.

Hai đường thẳng $0{,}2x + 0{,}1y = 0{,}3$ và $3x + y = 5$cắt nhau tại điểm $\left( {2\,;\,\, - 1} \right)$.

c) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.$$

Khi đó $y = \frac{1}{2}\left( {3x - 1} \right)$

Hệ có vô số nghiệm $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = \frac{1}{2}(3x - 1)}\\{x \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.$.

Hai đường thẳng $\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}$ và $3x - 2y = 1$ trùng nhau.

a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x\sqrt 5 - (1 + \sqrt 3 )y = 1}\\{(1 - \sqrt 3 )x + y\sqrt 5 = 1}\end{array}} \right.$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5x - \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = \sqrt 5 }\\{ - 2x + \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1}\\{3x = 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{2 + \sqrt 5 + \sqrt {15} }}{{3\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3}} \right)$.

b) Điều kiện: $x \ne - 1\,;y \ne - 1$

Đặt: ${\rm{u}} = \frac{x}{{x + {\rm{l}}}};{\rm{v}} = \frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + {\rm{l}}}}$. Ta có hệ phương trình:

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2u + v = \sqrt 2 }\\{u + 3v = - 1}\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{u}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{{\rm{v}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x}} + 1}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + 1}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{x}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}}\\{{\rm{y}} = - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}}\end{array}} \right.$$

Hệ có nghiệm duy nhất: $\left( {\frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}; - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y = m}\\{4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 }\end{array}\,\,} \right.$

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 2x - m}\\{4x - {m^2}\left( {2x - m} \right) = 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.$$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 2x - m}\\{2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 - {m^3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

a) Với ${\rm{m}} = - \sqrt 2$phương trình (1) trở thành $0.x = 4\sqrt 2$, vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

b) Với ${\rm{m}} = \sqrt 2$phương trình (1) trở thành $0.x = 0$, đúng với mọi $x$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \in \mathbb{R}}\\{y = 2x - \sqrt 2 }\end{array}} \right.$.

c) Với ${\rm{m}} = 1$ phương trình (1) trở thành $2x = 2\sqrt 2 - 1$ hay $x = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}}\\{y = 2\sqrt 2 - 2}\end{array}} \right.$.

Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là ${{\rm{v}}_1}$(m/phút), của người đi từ B là ${{\rm{v}}_2}$ (m/phút). Điều kiện ${{\rm{v}}_1} > 0,{{\rm{v}}_2} > 0$,

Khi gặp nhau tại địa điểm cách A là 2 km, người xuất phát từ A đi được 2000 m, người xuất phát từ B đi được 1600.

Ta có phương trình: $\frac{{2000}}{{{v_1}}} = \frac{{1600}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Điều đó còn cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn.

Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8 km = 1800 m. Ta có phương trình: $\frac{{1800}}{{{v_1}}} + 6 = \frac{{1800}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.

Đặt $\frac{{100}}{{{v_1}}} = x\,\,$ và $\frac{{100}}{{{v_2}}} = y$, từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{20x = 16y}\\{18x + 6 = 18y}\end{array}} \right.$

Hệ phương trình này có nghiệm $(x,y) = \left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)$.

Từ đó suy ra $\frac{{100}}{{{v_1}}} = \frac{4}{3}$ nên ${v_1} = 75;\frac{{100}}{{{v_2}}} = \frac{5}{3}$, suy ra ${v_2} = 60$.

Các giá trị tìm được ${v_1}$và ${v_2}$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Vậy vận tốc đi từ A là 75 m/phút, của người đi từ B là 60 m/phút.

Gọi x và y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó ${\rm{(x}}{\rm{, y}}\,{\rm{ > 0)}}$.

Vì khối lượng của vật là 124g nên ta có phương trình ${\rm{x}}\,{\rm{ + y = 124}}$.

Thể tích của x gam đồng là $\frac{{10}}{{89}}x\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$. Thể tích của y gam kẽm là $\frac{1}{7}y\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Vì thể tích của vật là $15\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$ nên ta có phương trình: $\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15$

Từ đó ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 89\,;\,y = \,35$

Vậy số gam đồng trong vật là $89\,\,{\rm{gam}}\,$và số gam kẽm trong vật là $35\,\,{\rm{gam}}$.

Giải

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong x ngày, đội II làm trong y ngày $\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)$

Theo dự định hai đội hoàn thành công việc trong 12 ngày nên có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$.

Trong 8 ngày, cả hai đội làm được $\frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}$ (công việc); còn lại $\frac{1}{3}$công việc do đội II làm.

Do năng suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được $\frac{2}{y}$công việc và hoàn thành nốt $\frac{1}{3}$ công việc nói trên trong 3,5 ngày.

Do đó ta có phương trình: $3{,}5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}$ hay $y = 21$

Ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.$.

Vậy đội I làm trong 28 ngày và đội II làm trong 21 ngày.

Gọi x, y (tấn) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái ( x, y > 0).

Khi đó ta có: $x + y = 720$ (1)

Năm năy đơn vị thứ nhất vượt 15% mà đơn vị thứ hai vượt 12% nên số tấn thọc thu được của mỗi đơn vị trong năm nay lần lượt là:$\frac{{115}}{{100}}x\,;\,\,\,\frac{{112}}{{100}}y$

Do đó ta có phương trình: $\frac{{115}}{{100}}x\, + \frac{{112}}{{100}}y = 819$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{115}}{{100}}x\, + \frac{{112}}{{100}}y = 819\\x + y = 720\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được: $x = 420\,;\,y = 300$.

Vậy năm ngoái đội I thu hoạch được 420 tấn thóc, đội II thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đội I thu hoạch được 483 tấn thóc, đội II thu hoạch được 336 tấn thóc.

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có $4y - 4 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1$.

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| + y - 1 = 5\\\left| {x + 1} \right| = 4y - 4\end{array} \right.$

Giải tìm $y = 2$. Hệ có hai nghiệm $\left( {3;2} \right),\left( { - 5;2} \right).$

Gọi vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc lần lượt là $x$ và $y$ $\left( {km/h} \right)$ $\left( {x,y > 0} \right)$.

Thời gian đi từ A đến B là: $\frac{4}{x} + \frac{5}{y}\left( h \right)$và thời gian đi từ B về A là: $\frac{5}{x} + \frac{4}{y}\left( h \right)$. Ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = \frac{2}{3}\\\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = \frac{{41}}{{60}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.$

Gọi $x,y$ lần lượt là tuổi anh và em hiện nay.

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\x - y = y - \frac{x}{2}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 9\end{array} \right.$.

Hệ có nghiệm $\left( { - 1\,;\,\,0} \right)$ khi và chỉ khi cặp số trên thỏa mãn cả hai phương trình của hệ, hay

$m.(\, - 1\,) - 0 = 1$và $(\, - 1\,) + 0 = n$

Từ đó $m = - 1;n = - 1$.

1. Tọa độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2y = - 3}\\{\sqrt 2 x + y = \sqrt 2 + 2}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( {\,{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là $M(\,1;2\,)$.

Ba đường thẳng $\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}} \right)$ và $\left( {\,{d_m}} \right)$ đồng quy khi và chỉ khi $M \in \left( {\,{d_m}\,} \right)$ nên

$m \cdot 1 - (\,1 - 2m\,) \cdot 2 = 5 - m$ hay $m = \frac{7}{6}.$

Vậy với $m = \frac{7}{6}$ thì ba đường thẳng $\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}\,} \right)$ và $\left( {\,{d_m}\,} \right)$ đồng quy.

2. Đặt $E\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định thuộc $\left( {{d_m}} \right)$.

Khi đó $m{x_0} - (\,1 - 2m\,){y_0} = 5 - m,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

$\left( {\,{x_0} + 2{y_0} + 1\,} \right)m = {y_0} + 5,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} + 2{y_0} + 1 = 0}\\{{y_0} + 5 = 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} = 9}\\{{y_0} = - 5.}\end{array}} \right.$

Vậy điểm cố định mà $\left( {{d_m}} \right)$ luôn đi qua là $E(9; - 5)$.