Bài tập Công sai, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u$_{n}$) là: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n − 1)d.

$\Rightarrow$ số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u$_{10}$ = 0,4 + (10 − 1) . 1 = 9,4.

Đáp án đúng là: C

Cấp số cộng có u$_{1}$ = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n − 1) . d = −2 + 3(n − 1) = 3n – 5.

Để u$_{n}$ < 11 thì 3n − 5 < 11

$\Leftrightarrow$ 3n < 16 $\Leftrightarrow$ n < $\frac{{16}}{3}$.

Mà n nguyên dương nên n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện.

Đáp án đúng là: A

Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:

u$_{1}$ = 2 và u$_{5}$ = 22.

+ Lại có: u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 − 1).d nên 22 = 2 + 4.d $\Leftrightarrow$ 20 = 4.d $\Leftrightarrow$ d = 5.

+ Suy ra: u$_{2}$ = u$_{1}$ + d = 2 + 5 = 7;

u$_{3}$ = u$_{1}$ + 2d = 2 + 2 . 5 = 12;

Và u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d = 2 + 3 . 5 = 17.

$\Rightarrow$ u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$ = 7 + 12 + 17 = 36.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{1}$ = 7 – 2.1 = 5; u$_{2}$ = 7 – 2.2 = 3;

u$_{3}$ = 7 – 2.3 = 1; u$_{4}$ = 7 – 2.4 = –1.

$\Rightarrow$ Đáp án A, D đúng.

Số hạng thứ n+1 là: u$_{n + 1}$ = 7 − 2(n + 1) = 5 − 2n.

$\Rightarrow$ B sai.

Xét hiệu: u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = (5 − 2n) − (7 − 2n) = −2

$\Rightarrow$ (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = −2.

$\Rightarrow$ C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = {u_1} + 2d\\{u_{14}} = {u_1} + 13d\end{array} \right.$

Từ giả thiết suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} - 15 = {u_1} + 2d\\18 = {u_1} + 13d\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_5} = 19}\\{{u_9} = 35}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 4d = 19}\\{{u_1} + 8d = 35}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 3}\\{d = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u$_{10}$ = u$_{1}$ + 9d = 3 + 9 . 4 = 39.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + d - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10}\\{{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+3d=10 \\ 2{u}_{2}+8d=26\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=1 \\ d=3\end{matrix}$

Ta có: 301 = 1 + (n − 1) . 3 $\Leftrightarrow$ 300 = 3(n – 1)

$\Leftrightarrow$ n − 1 = 100 $\Leftrightarrow$ n = 101.

Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.

Đáp án đúng là: B

Do số đo ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.

Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180° nên : A + B + C = 180°.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{A + B + C = 180^\circ }\\{A + C = 2B}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3B = 180^\circ }\\{A + C = 2B}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{A = 20^\circ }\\{B = 60^\circ }\\{C = 100^\circ }\end{array}} \right.} \right.$$

Suy ra tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 120°.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 20}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 = 170}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d + {u_1} + 3d + {u_1} + 4d = 20}\\{u_1^2 + {{\left( {{u_1} + d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 2d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 3d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 4d} \right)}^2} = 170}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5{u_1} + 10d = 20 \,\, (1)}\\{u_1^2 + {{\left( {{u_1} + d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 2d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 3d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 4d} \right)}^2} = 170\,\,(2)}\end{array}} \right.$

Từ (1) suy ra: u$_{1}$ + 2d = 4 $\Leftrightarrow$ u$_{1}$ = 4 − 2d thế vào (2) ta được:

${(4 - 2d)^2} + {(4 - 2d + d)^2} + {(4 - 2d + 2d)^2} + {(4 - 2d + 3d)^2} + {\left( {4 - 2d + 4d} \right)^2} = 170$ $\Leftrightarrow {(4 - 2\;{\rm{d}})^2} + {(4 - {\rm{d}})^2} + 16 + {(4 + {\rm{d}})^2} + {(4 + 2\;{\rm{d}})^2} = 170$$\Leftrightarrow 16 - 16\;{\rm{d}} + 4\;{{\rm{d}}^2} + 16 - 8\;{\rm{d}} + {{\rm{d}}^2} + 16 + 16 + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{d}}^2} + 16 + 16\;{\rm{d}} + 4\;{{\rm{d}}^2} = 170$

$\Leftrightarrow 10\;{{\rm{d}}^2} + 80 = 170 \Leftrightarrow {{\rm{d}}^2} = 9$$\Leftrightarrow {\rm{d}} = \pm 3$.

• Với d = 3 $\Rightarrow$ u$_{1}$ = 4 − 6 = −2.

• Với d = −3 $\Rightarrow$ u$_{1}$ = 4 + 6 = 10.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11 \,\, (1)}\\{u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101 \,\, (2)}\end{array}} \right.$

Từ (1) suy ra : u$_{31}$ = 11 − u$_{34}$ thế vào (2) ta được:

${\left( {11 - {u_{34}}} \right)^2} + u_{34}^2 = 101$

$\Leftrightarrow 121 - 22{{\rm{u}}_{34}} + 2 \cdot u_{34}^2 = 101$

$\Leftrightarrow 2u_{34}^2 - 22{u_{34}} + 20 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_{34}} = 1 \Rightarrow {u_{31}} = 10}\\{{u_{34}} = 10 \Rightarrow {u_{31}} = 1}\end{array}} \right.$

+ Mà công sai d > 0 nên u$_{34}$ > u$_{31}$

$\Rightarrow$ u$_{34}$ = 10 và u$_{31}$ = 1

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 33d = 10}\\{{u_1} + 30d = 1}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = - 89}\\{d = 3}\end{array}} \right.$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = −89 + 3(n – 1) = 3n – 92.

Đáp án đúng là: B

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d.

Đáp án đúng là: A

Ta có u$_{2}$ = u$_{1}$ + d = −5 + 3 = −2.

Đáp án đúng là: C

Ta có d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 7 − 42 – (7 − 41) = −4.

Đáp án đúng là: B

Có u$_{5}$ = u$_{1}$ + 4d => 14 = 2 + 4d => d = 3.

Đáp án đúng: A

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {{u_1} + d} \right) - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10}\\{\left( {{u_1} + 3d} \right) + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 26}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 3d = 10}\\{2{u_1} + 8d = 26}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 7 + (n – 1)(−2) = 2n + 9.

b) Đúng. u$_{3}$ = −23 + 9 = 3.

c) Đúng. u$_{10}$ = 210 + 9 = 11.

d) Đúng. u$_{5}$ = u$_{2}$ + 3d.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{5}$ = u$_{2}$ + 3d => u$_{5}$ u$_{2}$ = 3d.

b) Đúng. Thay số vào hệ thức ý a ta được 17 – 5 = 3d => d = 4.

c) Đúng. Ta có u$_{2}$ = u$_{1}$ + d => u$_{1}$ = u$_{2}$ – d = 5 – 4 = 1.

d) Đúng. Số hạng tổng quát: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 1 + (n – 1)4 = 4n – 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${u_1} = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{2} = 1$.

b) Đúng. ${u_2} = \frac{{3 \cdot 2 - 1}}{2} = \frac{5}{2}$.

c) Đúng. $d = {u_2} - {u_1} = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

d) Đúng. Vì $d = \frac{3}{2} = 1{,}5$ nên theo định nghĩa kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm hằng số 1,5.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có u$_{1}$ = 21$^{2}$ + 1 = 3; u$_{2}$ = 22$^{2}$ + 1 = 9; u$_{3}$ = 23$^{2}$ + 1 = 19.

b) Đúng. Hiệu số u$_{2}$ – u$_{1}$ = 9 – 3 = 6.

c) Đúng. Hiệu số u$_{3}$ – u$_{2}$ = 19 – 9 = 10.

d) Sai. Vì u$_{2}$ – u$_{1}$ ≠ u$_{3}$ – u$_{2}$ nên dãy số này không phải là cấp số cộng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d và u$_{12}$ = u$_{1}$ + 11d => u$_{4}$ + u$_{12}$ = 2u$_{1}$ + 14d = 40.

b) Đúng. 2u$_{1}$ + 14d = 40 => u$_{1}$ + 7d = 20.

Mà u$_{8}$= u$_{1}$ + 7d = 20. Do đó u$_{8}$ = 20.

c) Đúng. Thay d = 3 vào biểu thức u$_{1}$ + 7d = 20 => u$_{1}$= 1.

d) Đúng. Công thức số hạng tổng quát: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = −1 + (n – 1)3 = 3n – 4.

Đáp án: 58

u$_{15}$ = u$_{1}$ + 14d = −12 + 145 = 58.

Đáp án: −6

Ta có u$_{1}$ = 5; u$_{2}$ = −1. Do đó d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = −1 – 5 = 6.

Đáp án: −14

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = - 4\\{u_{10}} = 31\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = - 4\\{u_1} + 9d = 31\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 14\\d = 5\end{array} \right.$.

Đáp án: 30

Ta có u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = −3 + (n – 1)4 = 4n – 7.

Khi đó ta có 4n – 7 = 113 ⇔ n = 30.

Đáp án: 20

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = - 7\\{u_6} = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = - 7\\{u_1} + 5d = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 10\\d = 3\end{array} \right.$.

Suy ra u$_{11}$ = u$_{1}$ + 10d = −10 + 103 = 20.