Bài tập Chuyên đề Parabol có đáp án

a) Toạ độ tiêu điểm F của parabol (P) là $(\frac{p}{2};0).$

b) Toạ độ điểm H là $(-\frac{p}{2};0).$ Phương trình đường chuẩn của parabol là $Δ:x=-\frac{p}{2}.$

c) M$_{1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox thì M$_{1}$ có toạ độ là (x; –y).

Ta có (–y)$^{2}$ = y$^{2}$ = 2px. Vậy M$_{1}$ cũng nằm trên parabol (P).

a) Khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ.

b) Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\Leftrightarrow x+0.y+\frac{p}{2}=0.$

Khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ là:

MK = $\frac{|x+0.y+\frac{p}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=|x+\frac{p}{2}|=x+\frac{p}{2}.$

Vậy MF = MK = $x+\frac{p}{2}.$

a) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Theo đề bài, phương trình đường chuẩn của (P) là x = –2 $\Rightarrow \frac{p}{2}=2\Rightarrow p=4.$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y$^{2}$ = 8x.

b) Toạ độ tiêu điểm của (P) là $F(2;0).$

c) Gọi toạ độ của M là (x; y).

Khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6

$\Rightarrow x+\frac{p}{2}=6\Rightarrow x+\frac{4}{2}=6\Rightarrow x=4\Rightarrow {y}^{2}=8.4=32\Rightarrow y=\pm 4\sqrt{2}.$

Vậy $M(4;4\sqrt{2})$ hoặc $M(4;-4\sqrt{2}).$

Để vẽ parabol y$^{2}$ = 4x, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bước 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Parabol có tiêu điểm $F(\frac{1}{4};0)\Rightarrow \frac{p}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{2}\Rightarrow$ (P): y$^{2}$ = x.

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F$_{2}$(5; 0) $\Rightarrow \frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 20x.

b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = –4 $\Rightarrow \frac{p}{2}=4\Rightarrow p=8.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9) $\Rightarrow {9}^{2}=2p.4\Rightarrow p=\frac{81}{8}.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = $\frac{81}{4}$x.

a) Parabol có phương trình chính tắc y$^{2}$ = 8x $\Rightarrow$ 2p = 8 $\Rightarrow$ p = 4 $\Rightarrow$ $\frac{p}{2}=2.$

Do đó:

– Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(2; 0).

– Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

b)

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn OO', A$_{1}$A$_{2}$, B$_{1}$B$_{2}$, C$_{1}$C$_{2}$.

Dễ thấy OO' = AA' = BB' = CC' = 9.

– Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên 40$^{2}$ = 2p . 21 $\Rightarrow 2p=\frac{1600}{21}.$

Vậy phương trình của (P) là ${y}^{2}=\frac{1600}{21}x.$

+) Với y = 10 ta có ${10}^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=1{,}3125\Rightarrow A{A}_{1}=1{,}3125.$

+) Với y = 20 ta có ${20}^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=5{,}25\Rightarrow B{B}_{1}=5{,}25.$

+) Với y = 30 ta có ${30}^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=11{,}8125\Rightarrow C{C}_{1}=11{,}8125.$

– Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: y'$^{2}$ = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên 40$^{2}$ = 2p . 12 $\Rightarrow 2p=\frac{400}{3}.$

Vậy phương trình của (P') là $y{'}^{2}=\frac{400}{3}x.$

+) Với y' = 10 ta có ${10}^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=0{,}75\Rightarrow A'{A}_{2}=0{,}75.$

+) Với y' = 20 ta có ${20}^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=3\Rightarrow B'{B}_{2}=3.$

+) Với y' = 30 ta có ${30}^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=6{,}75\Rightarrow C'{C}_{2}=6{,}75.$

– Tính các đoạn A$_{1}$A$_{2}$, B$_{1}$B$_{2}$, C$_{1}$C$_{2}$:

A$_{1}$A$_{2}$ = AA$_{2}$ – AA$_{1}$ = (AA' + A'A$_{2}$) – AA$_{1}$ = (9 + 0,75) – 1,3125 = 8,3475.

B$_{1}$B$_{2}$ = BB$_{2}$ – BB$_{1}$ = (BB' + B'B$_{2}$) – BB$_{1}$ = (9 + 3) – 5,25 = 6,75.

C$_{1}$C$_{2}$ = CC$_{2}$ – CC$_{1}$ = (CC' + C'C$_{2}$) – CC$_{1}$ = (9 + 6,75) – 11,8125 = 3,9375.

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:

OO' + 2A$_{1}$A$_{2}$ + 2B$_{1}$B$_{2}$ + 2C$_{1}$C$_{2}$

= 9 + 2 . 8,3475 + 2 . 6,75 + 2 . 3,9375

= 47,07.

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.