Ngân hàng đề / … / Lớp 10 / Toán / Toán 10 – Cánh diều / Chuyên đề Toán 10 / Nhị thức Newton
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:
( a + b ) 3 = C 3 ? a 3 − ? + C 3 ? a 3 − ? b 1 + C 3 ? a 3 − ? b 2 + C 3 ? a 3 − ? b 3 . {(a+b)}^{3}={C}_{3}^{?}{a}^{3-?}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{1}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{2}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{3}. ( a + b ) 3 = C 3 ? a 3 − ? + C 3 ? a 3 − ? b 1 + C 3 ? a 3 − ? b 2 + C 3 ? a 3 − ? b 3 .
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)3 ^{3} 3
b) Xét biểu thức (a + b)n ^{n} n
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)n ^{n} n
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
a) ( a + b ) 3 = C 3 0 a 3 − 0 + C 3 1 a 3 − 1 b 1 + C 3 2 a 3 − 2 b 2 + C 3 3 a 3 − 3 b 3 . {(a+b)}^{3}={C}_{3}^{0}{a}^{3-0}+{C}_{3}^{1}{a}^{3-1}{b}^{1}+{C}_{3}^{2}{a}^{3-2}{b}^{2}+{C}_{3}^{3}{a}^{3-3}{b}^{3}. ( a + b ) 3 = C 3 0 a 3 − 0 + C 3 1 a 3 − 1 b 1 + C 3 2 a 3 − 2 b 2 + C 3 3 a 3 − 3 b 3 .
Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)3 ^{3} 3 C 3 k a 3 − k b k . {C}_{3}^{k}{a}^{3-k}{b}^{k}. C 3 k a 3 − k b k .
b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển
biểu thức (a + b)n ^{n} n C n k a n − k b k . {C}_{n}^{k}{a}^{n-k}{b}^{k}. C n k a n − k b k .
Khai triển biểu thức (x + 2)
7 ^{7} 7 .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
( x + 2 ) 7 = x 7 + C 7 1 x 6 2 + C 7 2 x 5 2 2 + C 7 3 x 4 2 3 + C 7 4 x 3 2 4 + C 7 5 x 2 2 5 + C 7 6 x 2 6 + 2 7 . {(x+2)}^{7}={x}^{7}+{C}_{7}^{1}{x}^{6}\ 2+{C}_{7}^{2}{x}^{5}\ {2}^{2}+{C}_{7}^{3}{x}^{4}\ {2}^{3}+{C}_{7}^{4}{x}^{3}\ {2}^{4}+{C}_{7}^{5}{x}^{2}\ {2}^{5}+{C}_{7}^{6}x\ {2}^{6}+\ {2}^{7}. ( x + 2 ) 7 = x 7 + C 7 1 x 6 2 + C 7 2 x 5 2 2 + C 7 3 x 4 2 3 + C 7 4 x 3 2 4 + C 7 5 x 2 2 5 + C 7 6 x 2 6 + 2 7 .
Cho
n ∈ N ∗ n\in {ℕ}^{*} n ∈ N ∗ . Chứng minh
C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n = 2 n . {C}_{n}^{0}+{\text{C}}_{n}^{1}+{\text{C}}_{n}^{2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{n}={2}^{n}. C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n = 2 n .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Ta có:
( x + 1 ) n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 . 1 + C n 2 x n − 2 . 1 2 + . . . + C n n − 1 x . 1 n − 1 + C n n . 1 n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 + . . . + C n n − 1 x + C n n . {(x+1)}^{n}={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}\ .\ 1+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}\ .\ {1}^{2}+...+{C}_{n}^{n-1}x\ .\ {1}^{n-1}+{C}_{n}^{n}\ .\ {1}^{n}\ ={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}+...+{C}_{n}^{n-1}x\ +{C}_{n}^{n}. ( x + 1 ) n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 . 1 + C n 2 x n − 2 . 1 2 + ... + C n n − 1 x . 1 n − 1 + C n n . 1 n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 + ... + C n n − 1 x + C n n .
Cho x = 1, ta được:
( 1 + 1 ) n = C n 0 1 n + C n 1 1 n − 1 + C n 2 1 n − 2 + . . . + C n n − 1 1 + C n n = C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n . {(1+1)}^{n}={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}+...+{C}_{n}^{n-1}1\ +{C}_{n}^{n}={C}_{n}^{0}+{\text{C}}_{n}^{1}+{\text{C}}_{n}^{2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{n}. ( 1 + 1 ) n = C n 0 1 n + C n 1 1 n − 1 + C n 2 1 n − 2 + ... + C n n − 1 1 + C n n = C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n .
Vậy C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n = ( 1 + 1 ) n = 2 n . {C}_{n}^{0}+{\text{C}}_{n}^{1}+{\text{C}}_{n}^{2}+\ldots +{\text{C}}_{n}^{n-1}+{\text{C}}_{n}^{n}={(1+1)}^{n}={2}^{n}. C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n − 1 + C n n = ( 1 + 1 ) n = 2 n .
Ta đã biết:
( a + b ) 2 = C 2 0 a 2 + C 2 1 a b + C 2 2 b 2 ; {(a+b)}^{2}={C}_{2}^{0}{a}^{2}+{C}_{2}^{1}ab+{C}_{2}^{2}{b}^{2}; ( a + b ) 2 = C 2 0 a 2 + C 2 1 ab + C 2 2 b 2 ;
( a + b ) 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3 ; {(a+b)}^{3}={C}_{3}^{0}{a}^{3}+{C}_{3}^{1}{a}^{2}b+{C}_{3}^{2}a{b}^{2}+{C}_{3}^{3}{b}^{3}; ( a + b ) 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3 ;
( a + b ) 4 = C 4 0 a 4 + C 4 1 a 3 b + C 4 2 a 2 b 2 + C 4 3 a b 3 + C 4 4 b 4 ; {(a+b)}^{4}={C}_{4}^{0}{a}^{4}+{C}_{4}^{1}{a}^{3}b+{C}_{4}^{2}{a}^{2}{b}^{2}+{C}_{4}^{3}a{b}^{3}+{C}_{4}^{4}{b}^{4}; ( a + b ) 4 = C 4 0 a 4 + C 4 1 a 3 b + C 4 2 a 2 b 2 + C 4 3 a b 3 + C 4 4 b 4 ;
( a + b ) 5 = C 5 0 a 5 + C 5 1 a 4 b + C 5 2 a 3 b 2 + C 5 3 a 2 b 3 + C 5 4 a b 4 + C 5 5 b 5 . {(a+b)}^{5}={C}_{5}^{0}{a}^{5}+{C}_{5}^{1}{a}^{4}b+{C}_{5}^{2}{a}^{3}{b}^{2}+{C}_{5}^{3}{a}^{2}{b}^{3}+{C}_{5}^{4}a{b}^{4}+{C}_{5}^{5}{b}^{5}. ( a + b ) 5 = C 5 0 a 5 + C 5 1 a 4 b + C 5 2 a 3 b 2 + C 5 3 a 2 b 3 + C 5 4 a b 4 + C 5 5 b 5 .
Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:
Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Tổng của hai số hạng của dòng trên bằng số hạng tương ứng ở dòng dưới.
Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:
a) (x + y)7 ^{7} 7
b) (x – 2)7 ^{7} 7
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Tam giác Pascal ứng với n ≤ 7 là:
Vậy:
a) ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 . {(x+y)}^{7}={x}^{7}+7{x}^{6}y+21{x}^{5}{y}^{2}+35{x}^{4}{y}^{3}+35{x}^{3}{y}^{4}+21{x}^{2}{y}^{5}+7x{y}^{6}+{y}^{7}. ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 .
b) ( x − 2 ) 7 {(x-2)}^{7} ( x − 2 ) 7
= x 7 + 7 x 6 . ( − 2 ) + 21 x 5 ( − 2 ) 2 + 35 x 4 ( − 2 ) 3 + 35 x 3 ( − 2 ) 4 + 21 x 2 ( − 2 ) 5 + 7 x ( − 2 ) 6 + ( − 2 ) 7 ={x}^{7}+7{x}^{6}.\ (-2)+21{x}^{5}{(-2)}^{2}+35{x}^{4}{(-2)}^{3}+35{x}^{3}{(-2)}^{4}+21{x}^{2}{(-2)}^{5}+7x{(-2)}^{6}+{(-2)}^{7} = x 7 + 7 x 6 . ( − 2 ) + 21 x 5 ( − 2 ) 2 + 35 x 4 ( − 2 ) 3 + 35 x 3 ( − 2 ) 4 + 21 x 2 ( − 2 ) 5 + 7 x ( − 2 ) 6 + ( − 2 ) 7
= x 7 − 14 x 6 + 84 x 5 − 280 x 4 + 560 x 3 − 672 x 2 + 448 x − 128. ={x}^{7}-14{x}^{6}+84{x}^{5}-280{x}^{4}+560{x}^{3}-672{x}^{2}+448x-128. = x 7 − 14 x 6 + 84 x 5 − 280 x 4 + 560 x 3 − 672 x 2 + 448 x − 128.
Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)4 ^{4} 4 5 ^{5} 5
a) So sánh từng cặp hệ số C 4 0 {C}_{4}^{0} C 4 0 C 4 4 ; C 4 1 {C}_{4}^{4};{C}_{4}^{1} C 4 4 ; C 4 1 C 4 3 {C}_{4}^{3} C 4 3
So sánh từng cặp hệ số C 5 0 {C}_{5}^{0} C 5 0 C 5 5 ; C 5 1 v a ˋ C 5 4 ; C 5 2 v a ˋ C 5 3 {C}_{5}^{5};{C}_{5}^{1}và{C}_{5}^{4};{C}_{5}^{2}và{C}_{5}^{3} C 5 5 ; C 5 1 v a ˋ C 5 4 ; C 5 2 v a ˋ C 5 3
b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:
C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 {C}_{4}^{0}\text{}{C}_{4}^{1}\text{}{C}_{4}^{2}\text{}{C}_{4}^{3}\text{}{C}_{4}^{4} C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 4 ^{4} 4
C 5 0 C 5 1 C 5 2 C 5 3 C 5 4 C 5 5 {C}_{5}^{0}\text{}{C}_{5}^{1}\text{}{C}_{5}^{2}\text{}{C}_{5}^{3}\text{}{C}_{5}^{4}\text{}{C}_{5}^{5} C 5 0 C 5 1 C 5 2 C 5 3 C 5 4 C 5 5 5 ^{5} 5
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)2022 ^{2022} 2022
b) (a + b)2023 ^{2023} 2023
Quan sát khai triển nhị thức:
( a x + b ) n = C n 0 ( a x ) n + C n 1 ( a x ) n − 1 b + C n 2 ( a x ) n − 2 b 2 + . . . + C n n − 1 ( a x ) b n − 1 + C n n b n {(ax+b)}^{n}={C}_{n}^{0}{(ax)}^{n}+{C}_{n}^{1}{(ax)}^{n-1}b+{C}_{n}^{2}{(ax)}^{n-2}{b}^{2}+...+{C}_{n}^{n-1}(ax){b}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{b}^{n} ( a x + b ) n = C n 0 ( a x ) n + C n 1 ( a x ) n − 1 b + C n 2 ( a x ) n − 2 b 2 + ... + C n n − 1 ( a x ) b n − 1 + C n n b n
= C n 0 a n x n + C n 1 a n − 1 b x n − 1 + C n 2 a n − 2 b 2 x n − 2 + . . . + C n n − 1 a b n − 1 x + C n n b n . ={C}_{n}^{0}{a}^{n}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{a}^{n-1}b{x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{a}^{n-2}{b}^{2}{x}^{n-2}+...+{C}_{n}^{n-1}a{b}^{n-1}x+{C}_{n}^{n}{b}^{n}. = C n 0 a n x n + C n 1 a n − 1 b x n − 1 + C n 2 a n − 2 b 2 x n − 2 + ... + C n n − 1 a b n − 1 x + C n n b n .
Nêu công thức tính hệ số của xk ^{k} k
Xét khai triển của (x + 5)15 ^{15} 15
a) Nêu số hạng chứa x7 ^{7} 7 7 ^{7} 7
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak _{k} k k ^{k} k
Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + y)6 ^{6} 6
b) (x – 3y)6 ^{6} 6
c) (x – 1)n ^{n} n
d) (x + 2)n ^{n} n
e) (x + y)2 n ^{2n} 2 n
g) (x – y)2 n ^{2n} 2 n
trong đó n lả số nguyên dương.
Tính:
a) S = C 2022 0 9 2022 + C 2022 1 9 2021 + . . . + C 2022 k 9 2022 − k + . . . + C 2022 2021 9 + C 2022 2022 . S={C}_{{}_{2022}}^{0}{9}^{2022}+{C}_{{}_{2022}}^{1}{9}^{2021}+...+{C}_{{}_{2022}}^{k}{9}^{2022-k}+...+{C}_{{}_{2022}}^{2021}9+{C}_{2022}^{2022}. S = C 2022 0 9 2022 + C 2022 1 9 2021 + ... + C 2022 k 9 2022 − k + ... + C 2022 2021 9 + C 2022 2022 .
b) T = C 2022 0 4 2022 − C 2022 1 4 2021 . 3 + . . . − C 2022 2021 4 . 3 2021 + C 2022 2022 3 2022 . T={C}_{2022}^{0}{4}^{2022}-{C}_{2022}^{1}{4}^{2021}\ .\ 3+...-{C}_{2022}^{2021}4\ .\ {3}^{2021}+{C}_{2022}^{2022}{3}^{2022}. T = C 2022 0 4 2022 − C 2022 1 4 2021 . 3 + ... − C 2022 2021 4 . 3 2021 + C 2022 2022 3 2022 .
Chứng minh:
C n 0 3 n + C n 1 3 n − 1 + . . . + C n k 3 n − k + . . . + C n n − 1 3 + C n n = C n 0 + C n 1 3 + . . . + C n k 3 k + . . . + C n n − 1 3 n − 1 + C n n 3 n {C}_{n}^{0}{3}^{n}+{C}_{n}^{1}{3}^{n-1}+...+{C}_{n}^{k}{3}^{n-k}+...+{C}_{n}^{n-1}3+{C}_{n}^{n}\ ={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}3+...+{C}_{n}^{k}{3}^{k}+...+{C}_{n}^{n-1}{3}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{3}^{n} C n 0 3 n + C n 1 3 n − 1 + ... + C n k 3 n − k + ... + C n n − 1 3 + C n n = C n 0 + C n 1 3 + ... + C n k 3 k + ... + C n n − 1 3 n − 1 + C n n 3 n
Xác định hệ số của:
a) x12 ^{12} 12 30 ^{30} 30
b) x10 ^{10} 10 30 ^{30} 30
c) x15 ^{15} 15 16 ^{16} 16 ( 2 x 3 − 1 7 ) 51 . {(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7})}^{51}. ( 3 2 x − 7 1 ) 51 .
Xét khai triển của ( x + 5 2 ) 12 . {(x+\frac{5}{2})}^{12}. ( x + 2 5 ) 12 .
a) Xác định hệ số của x7 ^{7} 7
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak _{k} k k ^{k} k
Xét khai triển của ( x 2 + 1 5 ) 21 . {(\frac{x}{2}+\frac{1}{5})}^{21}. ( 2 x + 5 1 ) 21 .
a) Xác định hệ số của x10 ^{10} 10
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số ak _{k} k k ^{k} k
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)8 ^{8} 8
b) (a + b)9 ^{9} 9
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + . . . + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n {(a+b)}^{n}={C}_{n}^{0}{a}^{n}+{C}_{n}^{1}{a}^{n-1}b+...+{C}_{n}^{n-1}a{b}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{b}^{n} ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + ... + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n ∈ \in ∈ ∗ ^{*} ∗
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) n5 ^{5} 5 ∀ \forall ∀ ∈ \in ∈ ∗ ^{*} ∗
b) n7 ^{7} 7 ∀ \forall ∀ ∈ \in ∈ ∗ ^{*} ∗
Cho tập hợp A = {x
1 _{1} 1 ; x
2 _{2} 2 ; x
3 _{3} 3 ; ... ; x
n _{n} n } có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.
Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?
Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?
Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?
Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A1 _{1} 1 1 _{1} 1 2 _{2} 2 2 _{2} 2 n _{n} n n _{n} n 1 _{1} 1 2 _{2} 2 2 n ^{2n} 2 n 2 _{2} 2 C 2 n 0 : C 2 n 1 : C 2 n 2 : . . . : C 2 n 2 n − 2 : C 2 n 2 b − 1 : C 2 n 2 n . {C}_{2n}^{0}:{C}_{2n}^{1}:{C}_{2n}^{2}:...:{C}_{2n}^{2n-2}:{C}_{2n}^{2b-1}:{C}_{2n}^{2n}. C 2 n 0 : C 2 n 1 : C 2 n 2 : ... : C 2 n 2 n − 2 : C 2 n 2 b − 1 : C 2 n 2 n .
Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 _{2} 2 1 _{1} 1
Tất cả đề Nhị thức Newton · Các bộ sách Toán Lớp 10
