Bài tập Chuyên đề Ba đường Conic có đáp án

- Với mọi điểm M thuộc elip (E): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b >0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,Δ)}=e$ (0 < e < 1), trong đó F là một trong hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

- Với mọi điểm M thuộc hypebol (H): $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,Δ)}=e$ (e > 1), trong đó F là một trong hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

- Với mọi điểm M thuộc parabol (P): y$^{2}$ = 2px (p > 0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,Δ)}=1$, trong đó F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Toạ độ của M là $({x}_{M};{y}_{M})=(\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2};\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2})=(\frac{-4+4}{2};\frac{3+3}{2})=(0;3).$

Toạ độ của N là $({x}_{N};{y}_{N})=(\frac{{x}_{B}+{x}_{C}}{2};\frac{{y}_{B}+{y}_{C}}{2})=(\frac{4+4}{2};\frac{3+(-3)}{2})=(4;0).$

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật cơ sở của elip nên M, N là hai đỉnh của elip.

Lại có: M(0; 3) $\Rightarrow$ b = 3, N(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

+) Vẽ elip:

Ta thấy a = 4, b = 3. Toạ độ các đỉnh của elip là (–4; 0), (5; 0), (0; – 3), (0; 3).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = 3.

Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm $X(\frac{12}{5};\frac{12}{5})$ và điểm $Y(\frac{16}{5};\frac{9}{5})$ thuộc (E). Do đó các điểm ${X}_{1}(\frac{12}{5};-\frac{12}{5}),$ ${X}_{2}(-\frac{12}{5};\frac{12}{5}),$ ${X}_{3}(-\frac{12}{5};-\frac{12}{5})$, ${Y}_{1}(\frac{16}{5};-\frac{9}{5}),$ ${Y}_{2}(-\frac{16}{5};\frac{9}{5}),$${Y}_{3}(-\frac{16}{5};-\frac{9}{5})$ cũng thuộc (E).

Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là
(–4; 0), (4; 0), (0; –3), (0; 3).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì M(0; 3) và N(4;0) là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở nên a = 4, b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

+) Vẽ hypebol:

Ta thấy a = 4, b = 3. (H) có các đỉnh là (–4; 0), (4; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = 3.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm $X(\frac{20}{3};4)$ thuộc (H). Do đó các điểm ${X}_{1}(\frac{20}{3};-4),{X}_{2}(-\frac{20}{3};4),{X}_{3}(-\frac{20}{3};-4)$ thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm (–4; 0) và đi qua X$_{2}$, X$_{3}$; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm (4; 0) và đi qua X, X$_{1}$. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thì càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.

a) Đây là đường elip.

Ta có a = 10, b = 8 $\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=6.$

Độ dài trục lớn là 2a = 20, độ dài trục bé là 2b = 16.

Toạ độ các tiêu điểm là F$_{1}$(–6; 0) và F$_{2}$(6; 0).

Tiêu cự là 2c = 12.

Tâm sai là $\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10.$

b) Đây là đường hypebol.

Ta có a = 6, b = 8 $\Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10.$

Độ dài trục thực là 2a = 12, độ dài trục ảo là 2b = 16.

Toạ độ các tiêu điểm là F$_{1}$(–10; 0) và F$_{2}$(10; 0).

Tiêu cự là 2c = 20.

Tâm sai là $e=\frac{c}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.$

Ta có: 2p = 2 $\Rightarrow p=1\Rightarrow \frac{p}{2}=\frac{1}{2}.$

Vậy tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{2};0)$ và đường chuẩn của parabol là $x=-\frac{1}{2}.$

Vẽ parabol:

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bước 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ: x + 0 . y + 5 = 0. Khi đó

$\frac{AF}{d(A,Δ)}=\frac{\sqrt{{(-4-(-3))}^{2}+{(0-1)}^{2}}}{\frac{|-3+0.1+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$\frac{BF}{d(B,Δ)}=\frac{\sqrt{{(-4-2)}^{2}+{(0-8)}^{2}}}{\frac{|2+0.8+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}}=\frac{10}{7};$

$\frac{CF}{d(C,Δ)}=\frac{\sqrt{{(-4-0)}^{2}+{(0-3)}^{2}}}{\frac{|0+0.3+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}}=1.$

b)

– Vì $\frac{AF}{d(A,Δ)}=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ nên A nằm trên elip nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.

– Vì $\frac{BF}{d(B,Δ)}=\frac{10}{7}>1$ nên A nằm trên hypebol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.

– Vì $\frac{CF}{d(C,Δ)}=1$ nên A nằm trên parabol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F$_{1}$ của elip.

Khi đó elip có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm, mà bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần nhất là 583 + 4000 = 4583 dặm và xa nhất là 1342 + 4000 = 5342 dặm.

Giả sử vệ tinh có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: MF$_{1}$ = a + $\frac{c}{a}$x.

Vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF$_{1}$ ≤ a + c.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất từ vệ tinh đến tâm Trái Đất lần lượt là a – c và a + c.

$\Rightarrow \{\begin{matrix}a-c=4583 \\ a+c=5342\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}a=4962{,}5 \\ c=379{,}5\end{matrix}\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{379{,}5}{4962{,}5}\approx 0{,}076.$

Vậy tâm sai của quỹ đạo này xấp xỉ 0,076.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F$_{1}$ của elip.

Khi đó elip có phương trình là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10$^{6}$ km và tâm sai e ≈ 0,249

Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: MF$_{1}$ = a + ex.

Vì x ≥ –a nên MF$_{1}$ ≥ a – ea ≈ 5,906 . 10$^{6}$ – 0,249 . 5,906 . 10$^{6}$ = 4435406 (km).

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho điểm O trùng với gốc toạ độ và trục Ox trùng với đường thẳng OH.

Giả sử M có toạ độ (x; y) thì K có toạ độ là (–1; y).

Khi đó:

MK$^{2}$ – MO$^{2}$ = 1

$\Leftrightarrow${[x – (–1)]$^{2}$ + (y – y)$^{2}$} – [(0 – x)$^{2}$ + (0 – y)$^{2}$] = 1

$\Leftrightarrow${(x + 1)$^{2}$ + 0$^{2}$} – [x$^{2}$ + y$^{2}$] = 1

$\Leftrightarrow$(x$^{2}$ + 2x +1) – (x$^{2}$ + y$^{2}$) = 1

$\Leftrightarrow$ 2x +1 – y$^{2}$ = 1

$\Leftrightarrow$ y$^{2}$ = 2x.

Vậy tập hợp các điểm M là parabol có phương trình y$^{2}$ = 2x.