Bài tập Chứng minh tỉ lệ thức lớp 7 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Từ đó ta có:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$ (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$

Do đó $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$. Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có b$^{2}$ = ac hay b . b = ac

Do đó $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ (1)

Mặt khác c$^{2}$ = bd hay c . c = bd

Do đó $\frac{b}{c} = \frac{c}{d}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}$

${\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^3} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}$

$= \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}}$ (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}}$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{a}{{2020}} = \frac{b}{{2021}} = \frac{c}{{2022}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{a}{{2020}} = \frac{b}{{2021}} = \frac{c}{{2022}}$

$= \frac{{a - b}}{{2020 - 2021}} = \frac{{b - c}}{{2021 - 2022}} = \frac{{c - a}}{{2022 - 2020}}$

$= \frac{{a - b}}{{ - 1}} = \frac{{b - c}}{{ - 1}} = \frac{{c - a}}{2}$.

Từ đó suy ra: $\frac{{2(a - b)}}{{ - 1}} = \frac{{2(b - c)}}{{ - 1}} = \frac{{2(c - a)}}{2} = c - a$.

Do đó $\frac{{2(a - b)}}{{ - 1}}.\frac{{2(b - c)}}{{ - 1}} = (c - a).(c - a)$.

Vậy 4(a – b)(b – c) = (c – a)$^{2}$ .

Vậy chọn C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{a}{a'}+\frac{b}{b'}=1$

$\frac{ab}{a'b}+\frac{a'b'}{a'b}=1$

$\frac{ab+a'b'}{a'b}=1$

ab + a’b’ = a’b (1)

Nhân cả 2 vế của (1) với c ta được: abc + a’b’c = a’bc (2)

Lại có:

$\frac{b}{b'}+\frac{c'}{c}=1$

$\frac{bc}{b'c}+\frac{b'c'}{b'c}=1$

$\frac{bc+b'c'}{b'c}=1$

bc + b’c’ = b’c (3)

Nhân cả 2 vế của (3) với a’ ta được: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4)

Cộng cả 2 vế của (2) và (4) ta được: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc + a’b’c’

Suy ra: abc + a’b’c’ = 0.

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}$

$\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}$

$\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

Mà $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$

Nên $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

$= \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$= \frac{{abz - baz + bcx - cbx + cay - acy}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$= \frac{0}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}bz - cy = 0 \Rightarrow bz = cy \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\\ay - bx = 0 \Rightarrow ay = bx \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{x}{a}\end{array} \right.$

Vậy $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Vì a, b, c ≠ 0 nên chia các vế của (1) cho abc ta được:

$\frac{{a(y + z)}}{{abc}} = \frac{{b(z + x)}}{{abc}} = \frac{{c(x + y)}}{{abc}}$

$\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}$

$= \frac{{(x + y) - (z + x)}}{{ab - ac}}$

$= \frac{{(y + z) - (x + y)}}{{bc - ab}}$

$= \frac{{(z + x) - (y + z)}}{{ac - bc}}$

Vậy: $\frac{{y - z}}{{a(b - c)}} = \frac{{z - x}}{{b(c - a)}} = \frac{{x - y}}{{c(a - b)}}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên ad = bc.

Ta có: $\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}$

a(c + d) = (a + b)c

ac + ad = ac + bc

ad = bc (đúng)

Vậy $\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}.$

Chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Đặt $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ = k hay a = ck; b = dk.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{ck + c}}{{dk + d}} = \frac{{c(k + 1)}}{{d(k + 1)}} = \frac{c}{d}$;

$\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{ck - c}}{{dk - d}} = \frac{{c(k - 1)}}{{d(k - 1)}} = \frac{c}{d}$.

Do đó $\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{c}{d}$.

Vậy $\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}$.

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ hay a = bk; c = dk.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{a + 3b}}{b} = \frac{{bk + 3b}}{b} = \frac{{b(k + 3)}}{b} = k + 3;$

$\frac{{c + 3d}}{d} = \frac{{dk + 3d}}{d} = \frac{{d(k + 3)}}{d} = k + 3$.

Do đó $\frac{{a + 3b}}{b} = \frac{{c + 3d}}{d} = k + 3$.

Vậy $\frac{{a + 3b}}{b} = \frac{{c + 3d}}{d}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{{c + d}}$.

Suy ra: ${\left( {\frac{a}{c}} \right)^3} = {\left( {\frac{b}{d}} \right)^3} = {\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3}$

Hay $\frac{{{a^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3}$.

Vậy ${\left( {\frac{{a + b}}{{c + d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{c^3} - {d^3}}}$.

Chọn đáp án A.