Bài tập Chứng minh đường thẳng song song lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Theo định lí Thalès đảo nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nên C sai.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác ABC, ta có: $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{5}{2};\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{7{,}5}}{3} = \frac{5}{2}$.

Vì $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{5}{2}$ nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:

$\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN}}}} = \frac{1}{3}$, do đó $\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN + CN}}}} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$ (1).

Vì BC = 4CM nên $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}$ nên MN // AB (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{{21}}{{18}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$

Suy ra $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{7}{6}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}}$ nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác OAB có DE // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$ (1)

Xét tam giác OAC có DF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}$.

Trong tam giác OBC có $\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}}$ nên EF // BC (định lí Thalès đảo).

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: D

Gọi B là trung điểm của NP.

Vì K là trọng tâm tam giác MNP nên ${\rm{BK}} = \frac{1}{3}{\rm{MB}}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) hay $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{1}{3}$(1).

Vì L là trọng tâm tam giác NPQ nên ${\rm{BL}} = \frac{1}{3}{\rm{QB}}$(tính chất trọng tâm của tam giác) hay $\frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}$.

Trong tam giác BMQ có $\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}}$ nên MQ // KL (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABK có IM // BK nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}}$(1)

Xét tam giác AIC có IC // NK nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}$(2)

Nhân theo vế (1) với (2) ta được:

$\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} \cdot \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}} \cdot \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}$

Suy ra $\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên MN // BC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}$ do đó $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{2}{3}$.

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{KC}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên IK // BC (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: C

Có DE ⊥ DC nên DE ⊥ BC (D ∈ BC).

Vì AH ⊥ BC nên AH // DE.

Lại có DK ⊥ AC , AB ⊥ AC nên DK // AB.

Xét tam giác ABC có DK // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CA}}}}$(1)

Xét tam giác AHC có DE // AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CH}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{CA}}}}$(2)

Chia theo vế (1) cho (2) ta được:

$\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CB}}}}:\frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{CH}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CA}}}}:\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{CA}}}}$

Suy ra $\frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CE}}}}$.

Trong tam giác CEB có $\frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CK}}}}{{{\rm{CE}}}}$ nên HK // BE (định lí Thaslès đảo).

Đáp án đúng là: A

Ta có QD ⊥ AC, HE ⊥ AC (H ∈ BE) nên HE // QD hay BE // QD (H ∈ BE).

Xét tam giác ADQ có HE // DQ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HD}}}}$ (1).

Có HF ⊥ AB (H ∈ CF), DM ⊥ AB nên HF // DM hay CF // DM.

Xét tam giác AMD có HF // DM nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HD}}}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}}$.

Trong tam giác AMQ có $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EQ}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FM}}}}$ nên EF // MQ (định lí Thaslès đảo) (*).

Xét tam giác BFC có CF // DM nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BC}}}}$ (3).

Có DN ⊥ BE, BE ⊥ EC (E ∈ AC) nên DN // CE.

Xét tam giác BEC có DN // CE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{BC}}}}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}}$.

Trong tam giác BEF có $\frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{BF}}}} = \frac{{{\rm{BN}}}}{{{\rm{BE}}}}$ nên MN // EF (định lí Thaslès đảo) (**).

Xét tam giác BEC có QD // BE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{DB}}}}$ (5).

Có DP ⊥ CF, BF ⊥ CF (F ∈ AB) nên DP // BF.

Xét tam giác BFC có DP // BF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{DB}}}}$ (6).

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}}$.

Trong tam giác CEF có $\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QE}}}} = \frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{PF}}}}$ nên PQ // EF (định lí Thaslès đảo)(***)

Từ (*), (**), (***) suy ra M, N, P, Q thẳng hàng.

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: A

Theo định lí Thalès đảo, nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Tỉ lệ thức $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}$ có các đoạn thẳng tương ứng đúng vị trí, do đó suy ra được DE // BC.

Đáp án đúng là: B

Ta xét các tỉ số trên hai cạnh của ∆MNP: $\frac{{ME}}{{EN}} = \frac{2}{3}$; $\frac{{MF}}{{FP}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Xét ∆MNP có $\frac{{ME}}{{EN}} = \frac{{MF}}{{FP}} = \frac{2}{3}$ nên theo định lí Thalès đảo, ta có EF // NP.

Đáp án đúng là: C

Ta kiểm tra các tỉ số theo định lí Thalès đảo ở từng phương án:

Phương án A: $\frac{{DM}}{{ME}} = \frac{3}{5}$; $\frac{{DN}}{{NF}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$. Suy ra $\frac{{DM}}{{ME}} = \frac{{DN}}{{NF}}$ nên MN // EF.

Phương án B: $\frac{{DM}}{{DE}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$; $\frac{{DN}}{{DF}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{{DM}}{{DE}} = \frac{{DN}}{{DF}}$ nên MN // EF.

Phương án C: $\frac{{ME}}{{DE}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$; $\frac{{NF}}{{DF}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{{ME}}{{DE}} \ne \frac{{NF}}{{DF}}$ nên MN không song song với EF.

Phương án D: $\frac{{DM}}{{DE}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$; $\frac{{DN}}{{DF}} = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}$. Suy ra MN // EF.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$; $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}$.

Suy ra $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{5}$, áp dụng định lí Thalès đảo, suy ra MN // BC.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{30}}{{45}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{40}}{{60}} = \frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{OC}}$, nên theo định lí Thalès đảo, ta có AB // CD.

Vậy hai mép gỗ AB và CD song song với nhau.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có NC = AC – AN = 18 – 6 = 12 cm.

b) Đúng. Ta có MB = AB – AM = 12 – 4 = 8 cm.

Suy ra $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

c) Sai. Ta có $\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\,\,\left( { = \frac{1}{2}} \right).$

d) Đúng. Xét ∆ABC có $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$ nên theo định lí Thalès đảo ta có MN // BC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Do M nằm trên tia đối của tia ED nên điểm E nằm giữa D và M.

b) Đúng. Ta có $\frac{{DE}}{{EM}} = \frac{{10}}{2} = 5$.

c) Sai. Ta có $\frac{{DF}}{{FN}} = \frac{{15}}{3} = 5$.

d) Sai. Xét ∆DMN, có $\frac{{DE}}{{EM}} = \frac{{DF}}{{FN}} = 5$ nên theo định lí Thalès đảo ta có EF // MN.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có AD = 5 cm, DB = 3 cm nên $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{5}{3}$.

b) Sai. Ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{7{,}5}}{{4{,}5}} = \frac{5}{3}$. Suy ra $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{5}{3}$.

c) Đúng. Xét ∆ABC có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}}$, theo định lí Thalès đảo, ta kết luận được DE // BC.

d) Đúng. Xét ∆ABI có DK // BI ta có $\frac{{AK}}{{KI}} = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{5}{3}.$

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. C'C = AC – AC' = 21 – 9 = 12 cm.

b) Sai. Ta có $\frac{{AC'}}{{C'C}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}$.

c) Sai. Xét ∆ABC có $\frac{{AB'}}{{B'B}} = \frac{{AC'}}{{C'C}} = \frac{3}{4}$, theo định lí Thalès đảo, ta có B'C' // BC.

d) Đúng. Do B'C' // BC nên $\widehat {AB'C'} = \widehat {ABC}$; $\widehat {AC'B'} = \widehat {ACB}$ (các cặp góc đồng vị).

Hai tam giác AB'C' và ABC lại có $\widehat A$ chung nên hai tam giác này có các góc tương ứng bằng nhau.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

b) Sai. Ta có $NC = AC - AN = 8 - \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}$ cm.

Suy ra $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{8}{3}:8 = \frac{1}{3}$.

c) Đúng. Ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ nên theo định lí Thalès đảo thì MN // BC.

d) Đúng. Do MN // BC nên MK // BI.

Áp dụng định lí Thalès trong ∆ABI, ta có $\frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}$.

Đáp án: 6.

Theo định lí Thalès đảo, để DE // BC, ta phải có tỉ lệ $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}$.

Thay số vào ta được: $\frac{4}{6} = \frac{x}{9}$.

Suy ra $x = \frac{{4 \cdot 9}}{6} = \frac{{36}}{6} = 6$ (cm).

Đáp án: 8.

Theo định lí Thalès đảo, để DE // BC, ta phải có tỉ lệ: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

Thay số vào ta được: $\frac{6}{{15}} = \frac{y}{{20}}$.

Suy ra $y = \frac{{6 \cdot 20}}{{15}} = \frac{{120}}{{15}} = 8$ (cm).

Đáp án: 7,5.

Theo định lí Thalès đảo, để AC // BD, ta phải có tỉ lệ: $\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{CD}}$

Thay số vào ta được: $\frac{5}{7} = \frac{m}{{10{,}5}}$.

Suy ra $m = \frac{{5 \cdot 10{,}5}}{7} = \frac{{52{,}5}}{7} = 7{,}5$ (cm).

Đáp án: 7,5.

Trên tia OC lấy điểm B sao cho OB’ = OB. Trên tia OD lấy điểm A’ sao cho OA’ = OA.

Dễ dàng chứng minh được ∆OAB = ∆OA’B’ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OAB} = \widehat {OA'B'}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // A'B'.

Theo bài, để AB // CD thì A'B' // CD, tức là cần $\frac{{OB'}}{{OC}} = \frac{{OA'}}{{OD}}$

Mà OB' = OB và OA' = OA nên $\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{OA}}{{OD}}$

Suy ra $\frac{{OB}}{{OC + OB}} = \frac{{OA}}{{OD + OA}}$ hay $\frac{{OB}}{{BC}} = \frac{{OA}}{{OD + OA}}$

Thay số: $\frac{{OB}}{{18}} = \frac{5}{{7 + 5}} = \frac{5}{{12}}$

Suy ra $OB = \frac{{18 \cdot 5}}{{12}} = 7{,}5$ (cm).

Đáp án: 2.

Ta có $NC = AC - AN = 8 - \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}$ cm.

Suy ra $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{8}{3}:8 = \frac{1}{3}$.

Mà $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$

Xét ∆ABC có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ nên theo định lí Thalès đảo thì MN // BC.

Qua K, kẻ KP // AB (P ∈ BC).

Tứ giác MKPB có MK // BP và KP // MB nên nó là hình bình hành.

Khi đó MK = BP.

Áp dụng định lí Thalès cho ∆ABI:

⦁ với MK // BI có $\frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}$

⦁ với KP // AB có $\frac{{BP}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}}$

Do đó $\frac{{BP}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}$.

Lại có MK = BP nên $\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}$.

Suy ra $\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{1}{3}$ nên $MK = \frac{1}{3}BI.$

Mặt khác, I là trung điểm của BC nên $BI = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ cm.

Do đó $MK = \frac{1}{3}BI = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ (cm).

Chú ý: Tỉ lệ $\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}$ chính là hệ quả của định lí Thalès.