Bài tập Chứng minh đường thẳng song song lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC có:

+ D là trung điểm AB, E là trung điểm BC

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

+ D là trung điểm AB, F là trung điểm AC

Do đó DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC (tính chất đường trung bình của tam giác).

+ F là trung điểm AC, E là trung điểm BC

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra EF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vậy trong hình trên có 3 đoạn thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC.

Trong tam giác MNP có H là trung điểm của NP, I là trung điểm của MP.

Do đó HI là đường trung bình của tam giác MNP.

Suy ra HI // MN (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vậy A đúng.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác AHN có M là trung điểm của AN, G là trung điểm của AH.

Do đó MG là đường trung bình của tam giác AHN.

Suy ra MG // HN (tính chất đường trung bình của tam giác).

Đáp án đúng là: C

Vì AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.

Trong tam giác ABC có M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // AB và ${\rm{MN}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác GAB có I là trung điểm của GA, K là trung điểm của GB.

Do đó IK là đường trung bình của tam giác GAB.

Suy ra IK // AB và ${\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra IK // MN và IK = MN.

Đáp án đúng là: B

Có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.

Trong tam giác ABC có

+ M là trung điểm BC, ME // AC, E ∈ AB.

Do đó E là trung điểm AB (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

+ M là trung điểm BC, MF // AB, F ∈ AC.

Do đó F là trung điểm AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra EF // BC và ${\rm{EF}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}$.

Suy ra EF // BM và ${\rm{EF = BM}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}$ (vì M là trung điểm BC).

Vậy B sai.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có D là trung điểm AB, E lần lượt là trung điểm của AC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC và ${\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vậy B, C, D đúng và A sai do mới khẳng định được DECB là hình thang, hình thang này là hình thang cân nếu có thêm điều kiện tam giác ABC cân tại A.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABG có D là trung điểm AB, F là trung điểm AG.

Do đó DF là đường trung bình của tam giác ABG.

Suy ra DF // BG (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác CBG có H là trung điểm CG, E là trung điểm CB.

Do đó HE là đường trung bình của tam giác CBG.

Suy ra HE // BG (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra DF // HE // BG.

Vậy C sai.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC có

+ D là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB.

Do đó FD là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra FD // BC hay FD // BE (E ∈ BC) (tính chất đường trung bình của tam giác).

+ D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AB hay DE // BF (F ∈ AB) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét tứ giác BFDE có:

FD // BE, DE // BF

$\widehat {\rm{B}} = 90^\circ$

Suy ra BFDE là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: A

Vì MG = 3 cm, MN = 6 cm, do đó ${\rm{MG}} = \frac{1}{2}{\rm{MN}}$hay G là trung điểm của MN.

MI = 4,5 cm, MP = 9 cm, do đó ${\rm{MI}} = \frac{1}{2}{\rm{MP}}$hay I là trung điểm của MP.

Trong tam giác MNP có G là trung điểm của MN, I là trung điểm của MP.

Do đó GI là đường trung bình của tam giác MNP.

Suy ra GI // NP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác MNP có D là trung điểm MN, E là trung điểm NP.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác MNP.

Suy ra DE // MP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $\widehat {{\rm{NPM}}} = \widehat {{\rm{DEN}}}$ (2 góc đồng vị) (1).

Mà $\widehat {{\rm{NPM}}} = \widehat {{\rm{MNP}}}$ (tam giác MNP cân tại M) hay $\widehat {{\rm{NPM}}} = \widehat {{\rm{DNE}}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {{\rm{DNE}}} = \widehat {{\rm{DEN}}}$.

Vậy C đúng.

Đáp án đúng là: C

Vì D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên DE là đường trung bình của ∆ABC. Theo định lí về tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng DE // BC.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có đường thẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB và song song với cạnh thứ hai BC nên đường thẳng này phải đi qua trung điểm của cạnh thứ ba AC. Vậy N là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có D là trung điểm AB, E là trung điểm AC.

Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC.

Theo tính chất đường trung bình, DE // BC.

Đáp án đúng là: A

Ta có DA = 5 cm, DE = 10 cm suy ra $DA = \frac{1}{2}DE$, do đó A là trung điểm của DE.

Tương tự, DB = 7 cm, DF = 14 cm suy ra $DB = \frac{1}{2}DF$, do đó B là trung điểm của DF.

Vì A, B là trung điểm của hai cạnh DE và DF nên AB là đường trung bình của ∆DEF. Suy ra AB // EF.

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết, AG = 2GM suy ra $AG = \frac{2}{3}AM$, hay $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Tương tự, vì AE = 2EB nên $AE = \frac{2}{3}AB$, hay $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét ∆ABM có $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$ nên theo định lí Thalès đảo suy ra EG // BM.

Xét ∆ABC có I, K lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IK là đường trung bình của ∆ABC. Theo tính chất đường trung bình, IK // BC.

Như vậy, EG // IK.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì MN = NP nên N là trung điểm của MP.

Xét tứ giác AMCP, ta có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên nó là một hình bình hành.

Chưa đủ cơ sở để khẳng định AMCP là hình thoi.

b) Đúng. Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác.

Suy ra MN // BC hay MP // BC.

c) Đúng. Vì AMCP là hình bình hành nên BM // CP.

Xét tứ giác BMPC có BM // CP và MP // BC nên BMPC là hình bình hành.

Khi đó BP và MC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆BMP có N, O lần lượt là trung điểm của MP, BP nên NO là đường trung bình của tam giác. Suy ra NO // BM hay NO // AB.

d) Đúng. Chứng minh tương tự ý c), ta có OI là đường trung bình của tam giác BMC nên OI // BM.

Qua điểm O có hai đường thẳng NO, OI song song với BM nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng NO, OI trùng nhau hay ba điểm N, O, I thẳng hàng.

Mặt khác, vì NO là đường trung bình của ∆BMP nên $NO = \frac{1}{2}BM.$

Vì OI là đường trung bình của ∆BMC nên $OI = \frac{1}{2}BM.$

Như vậy, NO = OI. Do đó O là trung điểm của NI.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Xét ∆ABH có M và K lần lượt là trung điểm của AB và AH nên MK là đường trung bình của tam giác. Từ đó suy ra MK // BH hay MK // BC.

b) Đúng. Xét ∆AHC có N và K lần lượt là trung điểm của AC và AH nên KN là đường trung bình của tam giác. Từ đó suy ra KN // HC hay KN // BC.

c) Sai. Từ lập luận ở câu a và b, qua cùng một điểm K nằm ngoài đường thẳng BC có hai đường thẳng chứa đoạn MK và KN cùng song song với BC. Theo Tiên đề Euclid, hai đường thẳng này buộc phải trùng nhau. Do đó, ba điểm M, K, N thẳng hàng.

d) Đúng. Theo tính chất đường trung bình, ta có $MK = \frac{1}{2}BH$ và $KN = \frac{1}{2}HC.$

Khi bổ sung điều kiện tam giác ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến, nên H trở thành trung điểm của BC.

Khi đó, BH = HC, từ đó suy ra MK = KN. Kết hợp với việc M, K, N thẳng hàng (đã chứng minh ở ý c), ta có K là trung điểm của MN.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có AH ⊥ BC nên $\widehat {AHC} = 90^\circ$.

b) Đúng. Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MN // BC.

c) Đúng. Xét ∆AHC có N, I lần lượt là trung điểm AC, HC nên NI là đường trung bình của ∆AHC.

Suy ra NI // AH.

d) Sai. Vì ON // HI và NI // OH nên tứ giác OHIN là hình bình hành.

Lại có $\widehat {OHI} = 90^\circ$ nên OHIN là hình chữ nhật.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. ME // BD.

b) Đúng. Xét ∆BDC, có M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến) và ME // BD suy ra E là trung điểm của DC.

c) Sai. Xét ∆AME, có I là trung điểm của AM và ID // ME, suy ra D là trung điểm của AE. Do đó $AD = DE = \frac{1}{2}AE$.

d) Sai. Vì E là trung điểm của DC nên $EC = DE = \frac{1}{2}CD$.

Ta có AC = AD + DE + EC = 3AD nên $AD = \frac{1}{3}AC.$

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABC cân tại A có AH là đường phân giác góc A nên AH đồng thời là đường cao. Suy ra AH ⊥ BC.

b) Đúng. Xét ∆ABH có D, I lần lượt là trung điểm của AB, BH nên DI là đường trung bình của tam giác. Suy ra DI // AH.

c) Đúng. Xét ∆ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác. Suy ra DE // BC.

d) Sai. ⦁ Tứ giác IDOH có DI // OH và DO // IH nên IDOH là hình bình hành.

Lại có $\widehat {OHI} = 90^\circ$ (do AH ⊥ BC) nên IDOH là hình chữ nhật.

⦁ Xét ∆ABH có D là trung điểm của AB và DO // BH nên O là trung điểm của AH và DO là đường trung bình của tam giác, suy ra $DO= \frac{1}{2}BH$.

Vì DI là đường trung bình của ∆ABH nên $DI = \frac{1}{2}AH$.

Để hình chữ nhật IDOH trở thành hình vuông thì DI = DO suy ra AH = BH (điều này đòi hỏi ∆ABC vuông tại A, tức là ∆ABC phải là tam giác vuông cân tại A.

Thật vậy, ∆ABC vuông cân tại A thì IDOH là hình vuông.

Đáp án: 100.

Xét ∆AMN có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AN. Suy ra IK là đường trung bình của ∆AMN. Suy ra IK // MN.

Theo giả thiết, MN // BC nên IK // BC.

Suy ra $\widehat {AIK} = \widehat {ABC}$.

Tam giác ABC có $\widehat A = 80^\circ$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Mà $\widehat {AIK} = \widehat {ABC}$. Vậy $\widehat {AIK} + \widehat {ACB} = 100^\circ$.

Đáp án: 150.

Xét ∆ABC có M là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên MN là đường trung bình.

Suy ra MN // BC.

Do đó $\widehat {BIM} = \widehat {IBC}$ (so le trong).

Vì BI là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {IBC} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {BIM}$ = 30°.

Lại có $\widehat {BIM}$ và $\widehat {BIN}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {BIN} = 180^\circ - \widehat {BIM} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Đáp án: 7.

Xét ∆ABC có M là trung điểm AB và MN // BC nên N là trung điểm của AC.

Mặt khác, N là trung điểm AC và NP // AB nên P là trung điểm của BC.

Suy ra $BP = \frac{1}{2}BC = \frac{{14}}{2} = 7$ (cm).

Đáp án: 120.

Xét ∆ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $AM = BM = CM = \frac{1}{2}BC.$

Khi đó ∆ABM cân tại M, lại có $\widehat B = 60^\circ$ nên ∆ABM là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {AMB} = 60^\circ .$

Mà $\widehat {AMB} + \widehat {BMD} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {BMD} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .$

Xét ∆BCD có E và F lần lượt là trung điểm của BD và CD nên EF là đường trung bình của tam giác, suy ra EF // BC.

Khi đó $\widehat {EID} = \widehat {BMD} = 120^\circ$ (đồng vị).

Đáp án: 80.

Xét ∆ABC có E, F là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình. Suy ra EF // AC.

Xét ∆BCD có F, G là trung điểm của BC, CD nên FG là đường trung bình. Suy ra FG // BD.

Gọi I là giao điểm của BD và EF, K là giao điểm của AC và FG.

Xét tứ giác OIFK có IF // OK, FK // OI nên OIFK là hình bình hành.

Khi đó $\widehat {EFG} = \widehat {IFK} = \widehat {IOK}$ (hai góc đối của hình bình hành)

Mà $\widehat {IOK} = \widehat {AOD} = 80^\circ$ (đối đỉnh) nên $\widehat {EFG} = 80^\circ .$