Bài tập Chứng minh các yếu tố hình học liên quan lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Vì AC = CE nên CE = 6 cm.

Từ giả thiết, ta có tam giác ADE có B là trung điểm của AD, C là trung điểm của AE.

Do đó BC là đường trung bình của tam giác ADE.

Suy ra ${\rm{BC}} = \frac{1}{2}{\rm{DE}}$, BC // DE (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay DE = 2BC = 2 ⋅ 8 = 16 (cm).

Trong tam giác ADF có B là trung điểm của AD, M là trung điểm của AF.

Do đó BM là đường trung bình của tam giác ADF.

Suy ra BM // DF (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay BC // DF (M ∈ BC).

Vì BC // DE và BC // DF nên D, E, F thẳng hàng.

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác MNP có:

+ D là trung điểm của NP, DE // MP, E ∈ MN.

Do đó E là trung điểm của MN (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra ME = EN = $\frac{1}{2}$MN (1).

+ D là trung điểm của NP, DF // MN, F ∈ MP.

Do đó F là trung điểm của MP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra MF = FP = $\frac{1}{2}$MP (2).

Mà tam giác MNP cân tại M nên MN = MP (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra ME = EN = MF = FP.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra H là trung điểm của BC.

Trong tam giác ABC có H là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC.

Do đó HI là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra HI // AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vì K ∈ HI nên HK // AB.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác OMN cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra H là trung điểm của MN.

Trong tam giác MKN có H là trung điểm của MN, DH // KN, D ∈ MK.

Do đó D là trung điểm của MK.

Suy ra MD = DK (1).

Trong tam giác ODH có I là trung điểm của OH, KI // DH (do I ∈ NK), K ∈ OD.

Do đó K là trung điểm của OD.

Suy ra OK = DK (2).

Lại có OK + DK + MD = OM (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra OM = 3OK.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABD có E là trung điểm của AB, G là trung điểm của AD

Do đó EG là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra ${\rm{EG}} = \frac{1}{2}{\rm{BD}}$(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác CBD có F là trung điểm của BC, H là trung điểm của CD

Do đó FH là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra ${\rm{FH}} = \frac{1}{2}{\rm{BD}}$(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ADC có H là trung điểm của DC, G là trung điểm của AD

Do đó HG là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra ${\rm{HG}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}$(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ABC có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra ${\rm{EF}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}$(tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có EF + FH + HG + GE =$\frac{1}{2}{\rm{AC + }}\frac{1}{2}{\rm{BD}}\,{\rm{ + }}\frac{1}{2}{\rm{AC + }}\frac{1}{2}{\rm{BD}}$ = AC + BD.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có I là trung điểm BC, HI // AC, H ∈ AB.

Do đó H là trung điểm của AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra HI là đường trung bình của tam giác ABC.

Nên ${\rm{HI}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Chứng minh tương tự ta có HK, IK là đường trung bình của tam giác ABC.

Nên ${\rm{HK}} = \frac{1}{2}{\rm{BC, KI}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vì tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

Suy ra HI = HK = KI.

Vậy tam giác HIK là tam giác đều.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác NDP có I là trung điểm NP, E là trung điểm DN (DE = EN).

Do đó EI là đường trung bình của tam giác NDP.

Suy ra EI // PD và ${\rm{EI}} = \frac{1}{2}{\rm{PD}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác MEI có D là trung điểm ME (MD = DE), DH // EI (H ∈ DP).

Suy ra H là trung điểm của MI.

Nên HD là đường trung bình của tam giác MEI.

Suy ra ${\rm{HD}} = \frac{1}{2}{\rm{EI}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra ${\rm{HD = }}\frac{1}{3}EI = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}PD = \frac{1}{4}{\rm{PD}}$.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, N là trung điểm AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra MN // DC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó, MN // BI. Suy ra tứ giác BMNI là hình thang.

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, I là trung điểm DC.

Do đó MI là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra ${\rm{MI}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác ABC vuông tại B, có BN là trung tuyến nên ${\rm{BN}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra MI = BN.

Vậy BMNI là hình thang cân (hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân).

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác ABC có D là trung điểm AB, E là trung điểm AC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC và ${\rm{DE}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác GBC có I là trung điểm GB, K là trung điểm GC.

Do đó IK là đường trung bình của tam giác GBC.

Suy ra IK // BC và ${\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra IK // DE và IK = DE.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của AC.

Trong tam giác ADC có E là trung điểm AD, I là trung điểm của AC.

Do đó EI là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra ${\rm{EI}} = \frac{1}{2}{\rm{CD}}$hay ${\rm{EI}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{2b = b}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ABC có F là trung điểm BC, I là trung điểm của AC.

Do đó FI là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra ${\rm{FI}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}$ hay ${\rm{FI}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{2a = a}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác EFI có: EF ≤ EI + FI (bất đẳng thức tam giác) hay EF ≤ b + a.

Đáp án đúng là: C

Vì D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của ∆ABC. Theo định lí, DE // BC. Tứ giác BDEC có hai cạnh đối DE và BC song song nên được suy ra là hình thang.

Đáp án đúng là: A

Theo định lí đảo về đường trung bình của tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MP là đường trung bình của ∆ABC. Suy ra MP // AC và $MP = \frac{1}{2}AC.$

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên $AM = \frac{1}{2}AB$ và $AN = \frac{1}{2}AC$.

Suy ra AM = AN.

Mặt khác, vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN // BC và $MN = \frac{1}{2}BC$.

Không đủ cơ sở để khẳng định $\widehat A = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Để chứng minh EFGH là hình bình hành, ta kẻ đường chéo AC.

Trong ∆ABC, EF là đường trung bình nên EF song song và $EF = \frac{1}{2}AC$.

Trong ∆ADC, HG là đường trung bình nên HG song song và bằng $HG = \frac{1}{2}AC$.

Suy ra EF song song và bằng HG, tứ giác EFGH là hình bình hành.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do M, N là trung điểm nên MN là đường trung bình, suy ra MN // BC.

b) Đúng. Tính chất đường trung bình khẳng định $MN = \frac{1}{2}BC$.

c) Đúng. MN // BC nên MN // BP.

Vì P là trung điểm của BC nên $BP = \frac{1}{2}BC$

Mà $MN = \frac{1}{2}BC$ nên MN = BP.

d) Sai. Tứ giác MNPB có MN // BP và MN = BP nên MNPB là hình bình hành.

Chưa đủ cơ sở để MNPB là hình chữ nhật.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tứ giác ADCF có E là trung điểm của hai đường chéo AC và DF nên ADCF là hình bình hành.

b) Đúng. Vì ADCF là hình bình hành nên AD // CF.

c) Đúng. Xét ∆ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE là đường trung bình, suy ra DE // BC.

d) Sai. Xét tứ giác BCFD có BD // CF và DF // BC nên BCFD là hình bình hành.

Hình bình hành BCFD không thể là hình thoi vì để nó là hình thoi thì cần thêm điều kiện BD = DC, tức đường trung tuyến CD bằng nửa cạnh AB, điều này xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC vuông tại C, mâu thuẫn với giả thiết ∆ABC vuông tại A.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

b) Đúng. Tương tự, PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC.

c) Sai. Tương tự, MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra MQ // BD.

Lại có AC ⊥ BD nên MQ ⊥ AC.

Mà MN // AC (vì MN là đường trung bình của ∆ABC) nên MN ⊥ MQ suy ra $\widehat {NMQ} = 90^\circ .$

d) Sai. Ta có MN // AC và PQ // AC nên MN // PQ.

Lại có $MN = \frac{1}{2}AC,\,\,PQ = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình) nên MN = PQ.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ và MN = PQ nên MNPQ là hình bình hành.

Lại có $\widehat {NMQ} = 90^\circ$ nên MNPQ là hình chữ nhật.

Để MNPQ là hình vuông cần thêm điều kiện MN = MQ, mà $MN = \frac{1}{2}AC,\,\,MQ = \frac{1}{2}BD$ nên ta cần AC = BD (điều này giả thiết đề bài không đưa ra).

Vậy chưa đủ cơ sở để khẳng định MNPQ là hình vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABD có M là trung điểm của AD và MI // AB, do đó MI là đường trung bình của ∆ABD.

b) Đúng. Từ lập luận ở ý a) ta cũng có I chính là trung điểm của BD.

c) Sai. Xét ∆BCD có I là trung điểm BD và IN // CD (do cùng song song với AB) nên IN là đường trung bình ∆BDC, suy ra $IN = \frac{1}{2}CD.$

d) Sai. Vì MI là đường trung bình của ∆ABD nên $MI = \frac{1}{2}AB.$

Khi đó $MN = MI + IN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).$

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABK có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AK nên MN là đường trung bình của tam giác.

b) Đúng. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABK nên MN // BK.

c) Sai. Vì $CK = \frac{1}{3}AC$ hay AC = 3CK.

Lại có AK = 2NK (vì N là trung điểm của AK) và AC = AK + CK nên:

3CK = 2NK + CK nên NK = CK

Do đó K là trung điểm của NC.

d) Sai. Xét ∆MNC có K là trung điểm của NC và KI // MN nên I là trung điểm của MC.

Khi đó ∆MNC có hai đường trung tuyến MK, NI cắt nhau tại trọng tâm của tam giác.

Vì ∆MNC không phải tam giác đặc biệt nên trọng tâm không phải trực tâm của tam giác.

Đáp án: 3.

Dễ dàng chứng minh được DE, EF, FD là các đường trung bình của ∆ABC.

Do đó, ta có DE // AF, EF // AD. Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành (1).

Tương tự, tứ giác BDFE là hình bình hành do BD // EF và DF // BE (2); tứ giác CEDF là hình bình hành do CE // DF và DE // CF (3).

Tổng cộng có 3 hình bình hành.

Đáp án: 1.

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình, suy ra $MN = \frac{1}{2}BC$.

Xét ∆GBC có I, K lần lượt là trung điểm GB, GC nên IK là đường trung bình, suy ra $IK = \frac{1}{2}BC$.

Từ hai điều trên suy ra MN = IK.

Vậy $\frac{{MN}}{{IK}} = 1$.

Đáp án: 4.

(1) Đúng. Xét ∆DEF có H, K lần lượt là trung điểm của DE, DF nên HK là đường trung bình của tam giác.

(2) Đúng. Vì HK là đường trung bình của ∆DEF nên HK // EF, do đó HKFE là hình thang.

Vì ∆DEF cân tại D nên $\widehat E = \widehat F,$ suy ra HKFE là hình thang cân.

(3) Đúng. Tương tự, MH và MK là các đường trung bình của ∆DEF nên MH // DK, MK // DH.

Như vậy, tứ giác DHMK là hình bình hành.

Lại có DH = DK (vì $DH = \frac{1}{2}DE,\,\,DK = \frac{1}{2}DF$ và DE = DF)

Khi đó hình bình hành DHMK có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình thoi.

(4) Đúng. Theo tính chất đường trung bình, $MH = \frac{1}{2}DF$ và $MK = \frac{1}{2}DE$.

Do DE = DF nên MH = MK. Suy ra ∆HMK cân tại M.

Tất cả 4 khẳng định đều chứng minh được là đúng.

Đáp án: 60.

Xét ∆ABC có I và K là trung điểm của AB, AC nên IK là đường trung bình của tam giác, suy ra $IK = \frac{1}{2}BC$.

Xét ∆ACD có J và K là trung điểm của CD, AC nên JK là đường trung bình của tam giác, suy ra $JK = \frac{1}{2}AD$.

Vì AD = BC nên IK = JK. Suy ra ∆IJK cân tại K.

∆IJK cân tại K có $\widehat {IKJ} = 60^\circ$ nên được chứng minh là tam giác đều.

Trong tam giác đều, 3 góc bằng nhau và bằng 60°, do đó góc lớn nhất cũng bằng 60°.

Đáp án: 1,5.

Gọi E là trung điểm của cạnh bên AD.

Xét ∆ADC có E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của tam giác.

Suy ra EK // CD và $EK = \frac{1}{2}CD = 4$ (cm).

Xét ∆ABD có E, I lần lượt là trung điểm của AD, BD nên EI là đường trung bình của tam giác.

Suy ra EI // AB và $EI = \frac{1}{2}AB = 2{,}5$ (cm).

Mặt khác, hình thang ABCD có AB // CD nên EI // CD.

Qua điểm E có EK // CD và EI // CD nên theo tiên đề Euclid, ba điểm E, I, K thẳng hàng (I nằm giữa E và K).

Khi đó, ta có EK = EI + IK.

Suy ra IK = EK – EI = 4 – 2,5 = 1,5 (cm).